2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 立體幾何小題（精解精析） 一、選擇題 1．(2021年高考全國乙卷理科)在正方體中，P為中點(diǎn)，則直線與所成的角為 (　　) A． B． C． D． 【答案】D 解析： 如圖，連接，因?yàn)椤危? 所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角， 因?yàn)槠矫?，所以，又，? 所以平面，所以， 設(shè)正方體棱長為2，則， ，所以． 故選：D 2．(2021年高考全國甲卷理科)在一個正方體中，過頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G．該正方體截去三棱錐后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是 (　　) (　　) A． B． C． D． 【答案】D 解析：由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖，如圖所示， 所以其側(cè)視圖為 故選：D 3．(2021年高考全國甲卷理科)已如A． B．C是半徑為1的球O的球面上的三個點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 解析：，為等腰直角三角形，， 則外接圓的半徑為，又球的半徑為1， 設(shè)到平面的距離為， 則， 所以． 故選：A． 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查球內(nèi)幾何體問題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾股關(guān)系求解． 4．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)已知為球球面上的三個點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意， 得，為等邊三角形， 由正弦定理可得， ，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面， ， 球的表面積． 故選：A 【點(diǎn)睛】 本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題． 5．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為 (　　) (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如圖，設(shè)，則， 由題意，即，化簡得， 解得（負(fù)值舍去）． 故選：C． 【點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計算能力，是一道容易題． 6．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)已知△ABC是面積為等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上．若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為 (　　) A． B． C．1 D． 【答案】C 解析： 設(shè)球的半徑為，則，解得：． 設(shè)外接圓半徑為，邊長為， 是面積為的等邊三角形， ，解得：，， 球心到平面的距離． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查球的相關(guān)問題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是明確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平面． 7．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點(diǎn)在正視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為，在俯視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為 (　　) (　　) A． B． C． D． 【答案】A 解析：根據(jù)三視圖，畫出多面體立體圖形， 上的點(diǎn)在正視圖中都對應(yīng)點(diǎn)M,直線上的點(diǎn)在俯視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為N, ∴在正視圖中對應(yīng),在俯視圖中對應(yīng)的點(diǎn)是,線段,上的所有點(diǎn)在側(cè)試圖中都對應(yīng),∴點(diǎn)在側(cè)視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為． 故選：A 【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖判斷點(diǎn)的位置，解題關(guān)鍵是掌握三視圖的基礎(chǔ)知識和根據(jù)三視圖能還原立體圖形的方法，考查了分析能力和空間想象，屬于基礎(chǔ)題． 8．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是 (　　) (　　) A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2 【答案】C 解析：根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形 根據(jù)立體圖形可得： 根據(jù)勾股定理可得： 是邊長為的等邊三角形 根據(jù)三角形面積公式可得： 該幾何體的表面積是：． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視圖畫出立體圖形，考查了分析能力和空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題． 9．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)如圖，點(diǎn)為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點(diǎn)，則 (　　) A．，且直線是相交直線 B．，且直線是相交直線 C．，且直線是異面直線 D．，且直線是異面直線 【答案】B 【解析】 取中點(diǎn)，如圖連接輔助線，在中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，所以，共面相交，選項(xiàng)C，D錯誤．平面平面，，平面，又,∴平面，從而，．所以與均為直角三角形．不妨設(shè)正方形邊長，易知，所以，,，故選B． 【點(diǎn)評】本題比較具有綜合性，既考查了面面垂直、線面垂直等線面關(guān)系，還考查了三角形中的一些計算問題，是一個比較經(jīng)典的題目． 10．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅱ卷理科)設(shè)、為兩個平面，則的充要條件是 (　　) A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．內(nèi)有兩條相交直線與平行 C．，平行于同一條直線 D．，垂直于同一平面 【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B. 【點(diǎn)評】本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷．面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯誤． 11．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)已知三棱錐的四個頂點(diǎn)在球的球面上，，是邊長為2的正三角形，，分別是，的中點(diǎn)，，則球的體積為 (　　) A． B． C． D． 【答案】D 解析：三棱錐為正三棱錐，取中點(diǎn)，連接，則， ，可得平面，從而，又，可得， 又，所以平面，從而，從而正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且，可將該三棱錐還原成一個以為棱的正方體，正方體的體對角線即為球的直徑，即，所以球的體積為． 12．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)設(shè)是同一個半徑為的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 解析：設(shè)的邊長為，則，此時外接圓的半徑為，故球心到面的距離為，故點(diǎn)到面的最大距離為，此時，故選B． 點(diǎn)評：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)平面時，三棱錐體積最大很關(guān)鍵，由為三角形的重心，計算得到，再由勾股定理得到，進(jìn)而得到結(jié)果，屬于較難題型． 13．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭，若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體．則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是 (　　) (　　) 【答案】A 解析：依題意，結(jié)合三視圖的知識易知，帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是A圖． 14．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 解析：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以 因?yàn)? 所以異面直線與所成角的余弦值為，故選C． 15．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ（理）)已知正方體的校長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面而積的最大值為 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析一】根據(jù)題意，平面與正方體對角線垂直，記正方體為不妨設(shè)平面與垂直，且交于點(diǎn)．平面與平面與分別交于．正方體中心為,則容易證明當(dāng)從運(yùn)動到時，截面為三角形且周長逐漸增大:當(dāng)從運(yùn)動到時，截面為六邊形且周長不變;當(dāng)從運(yùn)動到時，截面為三角形且周長還漸減小。我們熟知周長一定的多邊形中，正多邊形的面積最大，因此當(dāng)運(yùn)動到點(diǎn)時，截面為邊長為的正大邊形，此時截面面積最大，為 【解析二】由題意可知，該平面與在正方體的截面為對邊平行的六邊形，如圖所示，則截面面積為 所以當(dāng)時， 16．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ（理）)某圓柱的高為，底面周長為,其三視圖如右圈，圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為．圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為,則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 解析：由題意可知幾何體是圓柱，底面周長16，高為：2，直觀圖以及側(cè)面展開圖如圖： 圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長度：，故選B． 17．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)某多面體的三視圖如圖所示,其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個面中有若干個是梯形,這些梯形的面積之和為 (　　) A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】由題意該幾何體的直觀圖是由一個三棱錐和三棱柱構(gòu)成,則表面中含梯形的面積之和為,故選B． 【考點(diǎn)】簡單幾何體的三視圖 【點(diǎn)評】三視圖往往與幾何體的體積、表面積及空間線面關(guān)系、角、距離等問題相結(jié)合,解決此類問題的關(guān)鍵是由三視圖準(zhǔn)確確定空間幾何體的形狀及其結(jié)構(gòu)特征并且熟悉常見幾何體的三視圖． 18．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知圓柱的高為，它的兩個底面的圓周在直徑為的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為 (　　) A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】法一：如圖，畫出圓柱的軸截面 ，所以，那么圓柱的體積是，故選B． 法二：設(shè)圓柱的底面圓的半徑為，圓柱的高，而該圓柱的外接球的半徑為 根據(jù)球與圓柱的對稱性，可得即，故該圓柱的體積為，故選B． 【考點(diǎn)】圓柱的體積公式 【點(diǎn)評】（1）求解空間幾何體體積的關(guān)鍵是確定幾何體的元素以及線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；（2）若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解． 19．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【命題意圖】本題考查立體幾何中的異面直線角度的求解，意在考查考生的空間想象能力 【解析】解法一：常規(guī)解法 在邊﹑﹑﹑上分別取中點(diǎn)﹑ ﹑﹑，并相互連接． 由三角形中位線定理和平行線平移功能，異面 直線和所成的夾角為或其補(bǔ)角， 通過幾何關(guān)系求得，， ，利用余弦定理可求得異面直線 和所成的夾角余弦值為． 解法二：補(bǔ)形 通過補(bǔ)形之后可知：或其補(bǔ)角為異面 直線和所成的角，通過幾何關(guān)系可知： ，，，由勾股定理 或余弦定理可得異面直線和所成的 夾角余弦值為． 解法三：建系 建立如左圖的空間直角坐標(biāo)系，，，， ∴ ， ∴ 解法四：投影平移-三垂線定理 設(shè)異面直線和所成的夾角為 利用三垂線定理可知： 異面直線和所成的夾角余弦值為． 【知識拓展】立體幾何位置關(guān)系中角度問題一直是理科的熱點(diǎn)問題，也是高頻考點(diǎn)，證明的方 法大體有兩個方向：1．幾何法；2．建系；幾何法步驟簡潔，但不易想到；建系容易想到，但計算 量偏大，平時復(fù)習(xí)應(yīng)注意各方法優(yōu)勢和不足，做到胸有成竹，方能事半功倍． 20．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為 (　　) A． B． C． D． 【答案】 B 【命題意圖】本題主要考查簡單幾何體三視圖及體積，以考查考生的空間想象能力為主目的． 【解析】解法一：常規(guī)解法 從三視圖可知：一個圓柱被一截面截取一部分而剩余的部分，具體圖像如下： 切割前圓柱 切割中 切割后幾何體 從上圖可以清晰的可出剩余幾何體形狀，該幾何體的體積分成兩部分，部分圖如下： 從左圖可知：剩下的體積分上下兩部分陰影的體積，下面陰影的體 積為，，，∴ ；上面陰影的體積是上 面部分體積的一半，即，與的比為高的比（同底）， 即，，故總體積． 第二種體積求法：，其余同上，故總體積 ． 【知識拓展】三視圖屬于高考必考點(diǎn)，幾乎年年考三視圖，題型一般有五方面，1．求體積；2．求面 積（表面積，側(cè)面積等）；3．求棱長；4．視圖本質(zhì)考查（推斷視圖，展開圖，空間直角坐標(biāo)系視 圖）；5．視圖與球體綜合聯(lián)立，其中前三個方面考的較多． 21．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個體積為的球,若,,,,則的最大值是 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使球的體積最大,必須球的半徑最大.由題意知球的與直三棱柱的上下底面都相切時,球的半徑取得最大值,此時球的體積為,故選B. 22．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)現(xiàn)畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為 (　　) A． B． C．90 D．81 【答案】B 【解析】由三視圖知該幾何體是以側(cè)視圖為底面的斜四棱柱,如圖 所以該幾何體的表面積為,故選B. 23．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】還原幾何體后是一個高為4底面半徑為2的圓柱與底面半徑為2高為 的圓錐的組合體 而圓錐的側(cè)面積為：，而圓柱的側(cè)面積為：，圓柱的底面積為： 所以幾何體的表面積為：，故選C 24．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)平面過正方體的頂點(diǎn)，平面CB1D1，平面，平面，則所成角的正弦值為 (　　) (A)(B)(C)(D) 【答案】A【解析】如圖所示： ∵，∴若設(shè)平面平面，則 又∵平面∥平面，結(jié)合平面平面 ∴，故 同理可得： 故、的所成角的大小與、所成角的大小相等，即的大?。? 而（均為面對交線），因此，即． 故選A． 25．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是 (　　) (　　) (A)(B)(C)(D) 【答案】A【解析】由三視圖知：該幾何體是個球，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以它的表面積是，故選A． 26．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)已知是球的球面上兩點(diǎn)，,為該球面上的動點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 解析：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選C． 考點(diǎn)：外接球表面積和椎體的體積． 27．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為 (　　) (　　) A． B． C． D． 【答案】D 解析：由三視圖得，在正方體中，截去四面體，如圖所示，，設(shè)正方體棱長為，則，故剩余幾何體體積為，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為，故選D． 考點(diǎn)：三視圖． 28．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為，則= A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 解析：由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r，其表面積為==16 + 20，解得r=2，故選B． 考點(diǎn)：簡單幾何體的三視圖；球的表面積公式、圓柱的測面積公式 29．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1．62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有 (　　) A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 【答案】B 解析：設(shè)圓錐底面半徑為r，則=，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1．62≈22，故選B． 考點(diǎn)：圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式 30．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1， 則BM與AN所成的角的余弦值為 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 解析：分別以軸，建立空間直角坐標(biāo)系，令，則， ，故選C。 考點(diǎn)：（1）異面直線所成的角；（2）利用空間向量求線線角。 難度：C 備注：一題多解 31．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1cm),圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 解析：由三視圖知該零件由兩個半徑分別為3,2的圓柱構(gòu)成，用原來圓柱的體積減去現(xiàn)在零件的體積得到削掉部分的體積：利用體積公式可得答案為C。 考點(diǎn)：（1）三視圖；（2）圓柱的體積計算。 難度：B 備注：應(yīng)用題 32．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的個條棱中,最長的棱的長度為 (　　) (　　) A． B． C．6 D．4 【答案】C 【解析】:如圖所示,原幾何體為三棱錐, 其中,,故最長的棱的長度為, 選C． 考點(diǎn):(1)幾何體的三視圖(2)空間幾何體的直觀圖(3)數(shù)形結(jié)合的思想 難度:C 備注:典型題 33．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)一個四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以平面為投影面，則得到正視圖可以為 (　　) (　　) 【答案】A 解析：在空間直角坐標(biāo)系中，先畫出四面體的直觀圖，以平面為投影面，則得到正視圖，所以選A． 考點(diǎn)：（1）9．1．2幾何體的三視圖；（2）9．6．1空間直角坐標(biāo)系的運(yùn)算 難度： B 備注：高頻考點(diǎn) 34．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)已知為異面直線，平面，平面．直線滿足，，則 (　　) A．且 B．且 C．與相交，且交線垂直于 D．與相交，且交線平行于 【答案】D 解析：利用空間直線平面的平行與垂直的判定與性質(zhì)定理可得答案為D 考點(diǎn)：（1）9．5．1直線與平面垂直的判定與性質(zhì)；（2）9．5．2平面與平面垂直的判定與性質(zhì) （3）9．4．1直線與平面平行的判定與性質(zhì)；（4）9．3．2空間直線的位置關(guān)系 難度：A 備注：高頻考點(diǎn)、易錯題。 35．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 (　　) A． B． C． D． 【答案】Ａ 解析：將三視圖還原成直觀圖為： 由三視圖知，該幾何體為放到的半個圓柱底面半徑為2高為4，上邊放一個長為4寬為2高為2長方體，故其體積為 =，故選A． 考點(diǎn):（1）9．2．3由三視圖求幾何體的表面積、體積． 難度：Ｂ 備注：高頻考點(diǎn) 36．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為 (　　) A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3 【答案】Ａ 解析：設(shè)球的半徑為R，則由題知球被正方體上面截得圓的半徑為4，球心到截面圓的距離為R-2，則，解得R=5，∴球的體積為=，故選A． 考點(diǎn): （1）9．2．2幾何體的體積． 難度：Ａ 備注：高頻考點(diǎn) 37．(2012高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科)已知集合；,則中所含元素的個數(shù)為 (　　) A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】D 解析：以x為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類： 當(dāng)x=5時，滿足的y的可能取值為1,2,3,4，共有4個，（確定y的個數(shù)） 當(dāng)x=4時，滿足的y的可能取值為1,2,3，共有3個，（確定y的個數(shù)） 當(dāng)x=3時，滿足的y的可能取值為1,2，共有2個，（確定y的個數(shù)） 當(dāng)x=2時，滿足的y的可能取值為1，共有1個，（確定y的個數(shù)） 得中所含元素（x，y）的個數(shù)為4+3+2+1=10個。（確定中元素的個數(shù)） 考點(diǎn)：1．1．1集合的基本概念． 難度：A 備注：高頻考點(diǎn)． 二、填空題 38．(2021年高考全國乙卷理科)以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為_________(寫出符合要求的一組答案即可)． 【答案】③④ 解析：選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④， 如圖所示，長方體中，， 分別為棱的中點(diǎn)， 則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對應(yīng)的幾何體為三棱錐． 故答案為：③④． 【點(diǎn)睛】三視圖問題解決的關(guān)鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系． 39．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)設(shè)有下列四個命題： p1：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)． p2：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個平面． p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行． p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l． 則下述命題中所有真命題的序號是__________． ①②③④ 【答案】①③④ 解析：對于命題，可設(shè)與相交，這兩條直線確定的平面為； 若與相交，則交點(diǎn)在平面內(nèi)， 同理，與的交點(diǎn)也在平面內(nèi)， 所以，，即，命題為真命題； 對于命題，若三點(diǎn)共線，則過這三個點(diǎn)的平面有無數(shù)個， 命題為假命題； 對于命題，空間中兩條直線相交、平行或異面， 命題為假命題； 對于命題，若直線平面， 則垂直于平面內(nèi)所有直線， 直線平面，直線直線， 命題為真命題． 綜上可知，，為真命題，，為假命題， 真命題，為假命題， 為真命題，為真命題． 故答案為：①③④． 【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假，同時也考查了空間中線面關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能力，屬于中等題． 40．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________． 【答案】 解析：易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時的軸截面如圖所示， 其中，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)， 設(shè)內(nèi)切圓的圓心為， 由于，故， 設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則： ， 解得：，其體積：． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑． 41．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，分別為所在棱的中點(diǎn)，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________． 【答案】118.8 【解析】由題意得，四棱錐的底面積為，其高為點(diǎn)到底面的距離為，則此四棱錐的體積為．又長方體的體積為，所以該模型體積為，其質(zhì)量為． 【點(diǎn)評】此題牽涉到的是3D打印新時代背景下的幾何體質(zhì)量，忽略問題易致誤，理解題中信息聯(lián)系幾何體的體積和質(zhì)量關(guān)系，從而利用公式求解． 42．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅱ卷理科)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖是一個棱數(shù)為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為．則該半正多面體共有　　個面，其棱長為　　 (本題第一空分，第二空分). 【答案】共有個面；棱長為. 【解析】由圖可知第一層與第三層各有個面，計個面，第二層共有個面，所以該半正多面體共有個面．如圖，設(shè)該半正多面體的棱長為，則，延長與交于點(diǎn)，延長交正方體棱于，由半正多面體對稱性可知，為等腰直角三角形，∵， ∴，∴，即該半正多面體棱長為． 【點(diǎn)評】第一問可按題目數(shù)出來，第二問需在正方體中簡單還原出物體位置，利用對稱性，平面幾何解決． 本題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原是關(guān)鍵，遇到新題別慌亂，題目其實(shí)很簡單，穩(wěn)中求勝是關(guān)鍵．立體幾何平面化，無論多難都不怕，強(qiáng)大空間想象能力，快速還原圖形． 43．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若 的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為__________． 【答案】 解析：因?yàn)槟妇€、所成角的余弦值為，所以母線、所成角的正弦值為．設(shè)母線長為，則的面積為，解得，又與圓錐底面所成角為45°，可得底面半徑，所以該圓錐的側(cè)面積是． 44．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論： ①當(dāng)直線與成角時，與成角； ②當(dāng)直線與成角時，與成角； ③直線與所成角的最小值為； ④直線與所成角的最大值為． 其中正確的是 ．(填寫所有正確結(jié)論的編號) 【答案】②③ 【解析】法一:由題意, 是以為軸,為底面半徑的圓錐的母線,由 ,又圓錐底面,在底面內(nèi)可以過點(diǎn),作 ,交底面圓 于點(diǎn),如圖所示,連結(jié),則, ,連結(jié),等腰中, ,當(dāng)直線與成角時, ,故 ,又在 中, ,過點(diǎn)作,交圓于點(diǎn),連結(jié),由圓的對稱性可知, 為等邊三角形, ,即與成角,②正確,①錯誤． 由最小角定理可知③正確; 很明顯,可以滿足平面直線,直線 與 所成的最大角為,④錯誤． 正確的說法為②③． 法二:斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),可得一個圓錐,其中相當(dāng)于母線,并將平移到,經(jīng)過點(diǎn),依題意易知在圓錐的底面上,如下圖 直線不動,讓繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),設(shè)直線與直線所成的角為,直線與直線所成角為,則由三余弦公式可得,所以,即直線與直線所成角的最小值為,最大值為,故③正確,④不正確;當(dāng)時,有 ,此時直線即與直線所成的角也為,設(shè)直線與所成的角為,則有,所以即與成角,故②正確;綜上可知選②③． 法三:由題意知,三條直線兩兩相互垂直,畫出圖形如圖． 不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1,故,, 斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),則點(diǎn)保持不變,點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是以為圓心,1為半徑的圓． 以為坐標(biāo)原點(diǎn),以為軸的正方向,為軸的正方向,為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系 則,,直線的方向單位向量,．點(diǎn)起始坐標(biāo)為, 直線的方向單位向量,． 設(shè)點(diǎn)在運(yùn)動過程中的坐標(biāo), 其中為與的夾角,． 那么在運(yùn)動過程中的向量,． 設(shè)與所成夾角為, 則． 故,所以③正確,④錯誤． 設(shè)與所成夾角為, ． 當(dāng)與夾角為時,即, ． ∵, ∴． ∴． ∵． ∴,此時與夾角為． ∴②正確,①錯誤． 改進(jìn)一下法三:由題意知,三條直線兩兩相互垂直,如下圖,設(shè)為直線,為直線,不妨設(shè) 則,,,依題意可設(shè) 則有,,設(shè)直線與成角,直線與成角 則有, 當(dāng)直線與成角時,有,由,可得,此時 所以與成角,故②正確; 由,而,故,所以 所以③正確,④錯誤 綜上可知選②③． 【考點(diǎn)】異面直線所成的角 【點(diǎn)評】(1)平移線段法是求異面直線所成角的常用方法,其基本思路是通過平移直線,把異面問題化歸為共面問題來解決,具體步驟如下: ①平移:平移異面直線中的一條或兩條,作出異面直線所成的角; ②認(rèn)定:證明作出的角就是所求異面直線所成的角; ③計算:求該角的值,常利用解三角形; ④取舍:由異面直線所成的角的取值范圍是,當(dāng)所作的角為鈍角時,應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角． (2)求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍． 45．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)是兩個平面，是兩條直線，有下列四個命題： (1)如果，，，那么． (2)如果，，那么． (3)如果，，那么． (4)如果，，那么與所成的角和與所成的角相等． 其中正確的命題有 ．(填寫所有正確命題的編號) 【答案】②③④ 【解析】利用正方體模型可得：①錯誤，②正確，③正確，④正確，命題正確的有②③④．