第28講　概率 重難點(diǎn)　概率的計(jì)算 　(2018·遵義)某超市在端午節(jié)期間開展優(yōu)惠活動(dòng)，凡購物者可以通過轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的方式享受折扣優(yōu)惠，本次活動(dòng)共有兩種方式，方式一：轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤甲，指針指向A區(qū)域時(shí)，所購買物品享受9折優(yōu)惠，指針指向其他區(qū)域無優(yōu)惠；方式二：同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤甲和轉(zhuǎn)盤乙，若兩個(gè)轉(zhuǎn)盤的指針指向每個(gè)區(qū)域的字母相同，所購買物品享受8折優(yōu)惠，其它情況無優(yōu)惠．在每個(gè)轉(zhuǎn)盤中，指針指向每個(gè)區(qū)城的可能性相同(若指針指向分界線，則重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤)． (1)若顧客選擇方式一，則享受9折優(yōu)惠的概率為； (2)若顧客選擇方式二，請(qǐng)用樹狀圖或列表法列出所有可能，并求顧客享受8折優(yōu)惠的概率． 　 　 　　　　　　　　　　 　轉(zhuǎn)盤甲　　　　　　 轉(zhuǎn)盤乙 【自主解答】　解：畫樹狀圖如下： 由樹狀圖可知共有12種等可能結(jié)果，其中指針指向每個(gè)區(qū)域的字母相同的有2種結(jié)果， 所以P(顧客享受8折優(yōu)惠)＝＝. 1．對(duì)于一步試驗(yàn)，可直接采用概率公式P＝求解． 2．對(duì)于兩步試驗(yàn)，常以摸球、轉(zhuǎn)盤、拋硬幣等為背景，解決此類問題的關(guān)鍵是列表或畫樹狀圖，然后確定所求事件包含的結(jié)果數(shù)，最后用概率公式求解． 3．對(duì)于三步試驗(yàn)，只能通過畫樹狀圖計(jì)算． 4．對(duì)于幾何圖形中陰影部分的事件的概率問題，求出陰影部分面積占總面積的幾分之幾，那么其概率就是幾分之幾． 5．與代數(shù)、幾何結(jié)合或?qū)W科間的概率問題的本質(zhì)還是求概率，只不過需要用到相應(yīng)的知識(shí)來確定有限制條件的事件數(shù)． 【變式訓(xùn)練】　(2018·岳陽)為了樹立文明鄉(xiāng)風(fēng)，推進(jìn)社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)，某村決定組建村民文體團(tuán)隊(duì)，現(xiàn)圍繞“你最喜歡的文體活動(dòng)項(xiàng)目(每人僅限一項(xiàng))”，在全村范圍內(nèi)隨機(jī)抽取部分村民進(jìn)行問卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題： 　　 (1)這次參與調(diào)查的村民人數(shù)為120人； (2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整； (3)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中“劃龍舟”所在扇形的圓心角的度數(shù)； (4)若在“廣場(chǎng)舞、腰鼓、花鼓戲、劃龍舟”這四個(gè)項(xiàng)目中任選兩項(xiàng)組隊(duì)參加端午節(jié)慶典活動(dòng)，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好選中“花鼓戲、劃龍舟”這兩個(gè)項(xiàng)目的概率． 解： (2)喜歡廣場(chǎng)舞的人數(shù)為：120－24－15－30－9＝42(人)， 補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖． (3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中“劃龍舟”所在扇形的圓心角的度數(shù)為×360°＝90°. (4)畫樹狀圖如下： 由樹狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，恰好選中“花鼓戲、劃龍舟”這兩個(gè)項(xiàng)目的有2種，故P(恰好選中“花鼓戲、劃龍舟”這兩個(gè)項(xiàng)目)＝＝. 考點(diǎn)1　事件的分類 1．(2018·包頭)下列事件中，屬于不可能事件的是(C) A．某個(gè)數(shù)的絕對(duì)值大于0 B．某個(gè)數(shù)的相反數(shù)等于它本身 C．任意一個(gè)五邊形的外角和等于540° D．長分別為3，4，6的三條線段能圍成一個(gè)三角形 2. (2018·淄博)下列語句描述的事件中，是隨機(jī)事件的為(D) A．水能載舟，亦能覆舟 B．只手遮天，偷天換日 C．瓜熟蒂落，水到渠成 D．心想事成，萬事如意 考點(diǎn)2　概率的意義 3．(2018·泰州)小亮是一名職業(yè)足球隊(duì)員，根據(jù)以往比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，小亮進(jìn)球率為10%，他明天將參加一場(chǎng)比賽，下面幾種說法正確的是(C) A．小亮明天的進(jìn)球率為10% B．小亮明天每射球10次必進(jìn)球1次 C．小亮明天有可能進(jìn)球 D．小亮明天肯定進(jìn)球 考點(diǎn)3　概率公式 4．(2018·宜昌)在“綠水青山就是金山銀山”這句話中任選一個(gè)漢字，這個(gè)字是“綠”的概率為(B) A. B. C. D. 5．(2018·連云港)如圖，任意轉(zhuǎn)動(dòng)正六邊形轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針指向大于3的數(shù)的概率是(D) A. B. C. D. 6．(2018·張家界)在一個(gè)不透明的袋子里裝有3個(gè)白色乒乓球和若干個(gè)黃色乒乓球，若從這個(gè)袋子里隨機(jī)摸岀一個(gè)乒乓球，恰好是黃球的概率為，則袋子內(nèi)共有乒乓球的個(gè)數(shù)為10． 7．(2018·聊城)某十字路口設(shè)有交通信號(hào)燈，東西向信號(hào)燈的開啟規(guī)律如下：紅燈開啟30秒后關(guān)閉，緊接著黃燈開啟3秒后關(guān)閉，再緊接著綠燈開啟42秒，按此規(guī)律循環(huán)下去．如果不考慮其他因素，當(dāng)一輛汽車沿東西方向隨機(jī)地行駛到該路口時(shí)，遇到紅燈的概率是． 考點(diǎn)4　用頻率估計(jì)概率 8．(2018·永州)在一個(gè)不透明的盒子中裝有n個(gè)球，它們除了顏色之外其他都沒有區(qū)別，其中含有3個(gè)紅球，每次摸球前，將盒中所有的球搖勻，然后隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回盒中．通過大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.03，那么可以推算出n的值大約是100． 考點(diǎn)5　用列表法或畫樹狀圖法求概率 9．(2018·山西)在一個(gè)不透明的袋子里裝有兩個(gè)黃球和一個(gè)白球，它們除顏色外都相同，隨機(jī)從中摸出一個(gè)球，記下顏色后放回袋子中，充分搖勻后 ，再隨機(jī)摸出一個(gè)球 ，兩次都摸到黃球的概率是(A) A. B. C. D. 10．(2018·河南)現(xiàn)有4張卡片，其中3張卡片正面上的圖案是“”，1張卡片正面上的圖案是“”，它們除此之外完全相同，把這4張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取兩張卡片，則這兩張卡片正面圖案相同的概率是(D) A. B. C. D. 11．(2018·黃石)在一個(gè)不透明的布袋中裝有標(biāo)著數(shù)字2，3，4，5的4個(gè)小球，這4個(gè)小球的材質(zhì)、大小和形狀完全相同，現(xiàn)從中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，這兩個(gè)小球上的數(shù)字之積大于9的概率為． 12．(2018·沈陽)經(jīng)過校園某路口的行人，可能左轉(zhuǎn)，也可能直行或右轉(zhuǎn)．假設(shè)這三種可能性相同，現(xiàn)有小明和小亮兩人經(jīng)過該路口，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法，求兩人之中至少有一人直行的概率． 解：畫樹狀圖： 共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩人之中至少有一人直行的結(jié)果數(shù)為5， 所以P(兩人之中至少有一人直行)＝. 13．(2017·東營)如圖，如圖共有12個(gè)大小相同的小正方形，其中陰影部分的5個(gè)小正方形是一個(gè)正方體的表面展開圖的一部分，現(xiàn)從其余的小正方形中任取一個(gè)涂上陰影，能構(gòu)成這個(gè)正方體的表面展開圖的概率是(A) A. B. C. D. 14．(2018·黃岡)在－4，－2，1，2四個(gè)數(shù)中，隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別作為函數(shù)y＝ax2＋bx＋1中a，b的值，則該二次函數(shù)圖象恰好經(jīng)過第一、二、四象限的概率為． 15．(2018·黔西南)目前“微信”、“支付寶”、“共享單車”和“網(wǎng)購”給我們的生活帶來了很多便利，初二數(shù)學(xué)小組在校內(nèi)對(duì)“你最認(rèn)可的四大新生事物”進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了m人(每名學(xué)生必選一種且只能從這四種中選擇一種)并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖． 　　 (1)根據(jù)圖中信息求出m＝100，n＝35； (2)請(qǐng)你幫助他們將這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)全； (3)根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，請(qǐng)估算全校2 000名學(xué)生中，大約有多少人最認(rèn)可“微信”這一新生事物？ (4)已知A，B兩位同學(xué)都最認(rèn)可“微信”，C同學(xué)最認(rèn)可“支付寶”，D同學(xué)最認(rèn)可“網(wǎng)購”，從這四名同學(xué)中抽取兩名同學(xué)，請(qǐng)你通過樹狀圖或表格，求出這兩位同學(xué)最認(rèn)可的新生事物不一樣的概率． 解： (2)網(wǎng)購人數(shù)為100×15%＝15人，微信對(duì)應(yīng)的百分比為×100%＝40%， 補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如圖． (3)估算全校2 000名學(xué)生中，最認(rèn)可“微信”這一新生事物的人數(shù)為2 000×40%＝800(人)． (4)列表如下： A B C D A —— A　B A　C A　D B A　B —— B　C B　D C A　C B　C —— C　D D A　D B　D C　D —— 共有12種情況，這兩位同學(xué)最認(rèn)可的新生事物不一樣的有10種， 所以P(這兩位同學(xué)最認(rèn)可的新生事物不一樣的)＝＝. 16．劉徽是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是中國最寶貴的文化遺產(chǎn)，他所提出的割圓術(shù)可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到任意的精度．割圓術(shù)的第一步是求圓的內(nèi)接正六邊形的面積．若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自該圓內(nèi)接正六邊形的概率是(B) A. B. C. D. 17．(2018·通遼)如圖，這個(gè)圖案是3世紀(jì)我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．已知AE＝3，BE＝2，若向正方形ABCD內(nèi)隨意投擲飛鏢(每次均落在正方形ABCD內(nèi)，且落在正方形ABCD內(nèi)任何一點(diǎn)的機(jī)會(huì)均等)，則恰好落在正方形EFGH內(nèi)的概率為． 4