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  2008 To a of of of of to of of a NC it be in                                                           of to in of is At in of a of to to of it of of is to of of 950s is in to to be in In to of a of a in or of a of  of of is  1 A of a of a . C. H. as  on of  P1 is a of a of θ1 to e(θ1) in of a a of as  (e(θ1θ1) = 0θ1); e(θ1) to of to θ1), be θ1) = | | P (θ1) - g (θ1)| |, e (θ1) we of of a to as to as It a of as rc  e（ θ1） = θ） , is of 2s 2)( 10101 ??   is of e(θ1) in   1.2 be ,                                                     of 1       )c o s ()c o s (1111 ?? x ??(1)  )s i n ()s i n (1111 ?? y ??(2)  - ψ as g of is a 1    1'' ?? ?? 1'1 ?? ?? )(t a n 2'21'1a c?????????? 11111 )( ????  )2/0( 1 ?? ??          （ 3）  In to to e(θ1) to do (1) To of |) 11 ?           （ 4）  (2) To 3) 212'                  （ 5）  (3) To  'in a g1 at p, e( be  (4) To in e(θ1) be  (5) In to 1 a , of of 1  11 n??? ?   2 of a of of as , in o  o 's c  2c  g in to be )c o s ()c o s (1111 ?? x ??（ 6）  )s )s  1111 ?? y ??                 （ 7）  ???? ????? )(t a n)(2'21'1111       )2/( 1 ??? ??                （ 8）  )c o s ()c o s (2222 ?? x ??（ 9）  )s i n ()s i n (2222 ?? y ??（ 10）         12122 )( ?????? ????               （ 11）   - g in o  o  in of 1o  o  2 1 1 2 is in g x  in of on on in of of to of e at g of of AC in o 2o  , o  o  to AC n2 1111 ?2222 ?, n t  12112221 ????(12) we be  rc of of )1()(21121 ??? ???（ 13）  )(t a '21'1????（ 14）  of e(θ1) = (θ), e = a.  3 In of of of a is to of of   , to a of be a, a 'b, b' in a ', b' is a, b a b of it be in of to at  is of to of 26wb ??（ 15）  - ω h b, t to  g of in is 21212 )1(2 ???????（ 16）  g2 at in of ??'12'211 ??（ 17）        ????'112'212 )/( ??（ 18）  2'21'''1 1 ??we of is to of of a rc he we of rc in a of of in to be in of on is a of rc in to a  rc do  is of of of if we to e (θ) a  C to 3) in of to is a of  to  4 rc of in to of of of 1) to so  2) to a  3)  4) of of .  is a in of of of l, a of a l / 2, )o s (4)( 11 ??? ?? 19）  )o s ()o s (4c o 111 ????? ???? x)i n ()o s (4c o 111 ????? ???? y（ 20）   of  to of in in an  5 a of on of on be  rc to it in of of  By be of in It a be       is to in it NC  of   in of in of u  of in of a in Au of in a in of p2 so to , c, it  of 1 ﹑  K'1,   K'2 ﹑    K'3…… of   A in is is in to a of is (1) of of of .5 .5 2) of of a up 3) of to a (4) be of   of of on a on on of In   of  of u to of of of to s of u, in t of in so In of of of 0% be to he As in to be to NC  1 an of 1984  2  1992 變圓弧齒輪的形成原理及特性  摘要：  提出了一類變圓弧齒輪。利用偏差函數(shù)法，給出了齒廓的完整構(gòu)造過程，證明了它滿足齒廓嚙合基本定律；推導(dǎo)了齒廓方程等基本公式，討論了變圓弧齒輪的特性，給 出了變圓弧齒廓的實例；這種齒輪具有較高的承載能力，特別便于高速、高精度數(shù)控加工，它將在重載傳動場合得到應(yīng)用。  關(guān)鍵詞：  齒輪   齒廓   偏差函數(shù)   嚙合原理   齒輪強(qiáng)度   引言   隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，對齒輪傳動的要求也不斷提高，特別在重載和小型化方面尤為突出。目前，在齒輪設(shè)計中常用的有漸開線、擺線和圓弧 3 種齒廓；其中，漸開線齒輪由于制造簡單，對中心距偏差不敏感等優(yōu)點，得到廣泛使用，但是，它承載能力較差，較少用于重載傳動中；擺線齒輪接觸應(yīng)力小，齒廓的重合度較大，有利于彎曲強(qiáng)度的改善，但對嚙合齒輪的 制造和裝配精度要求較高；上世紀(jì) 50 年代出現(xiàn)的圓弧類齒輪彎曲強(qiáng)度不高，為了實現(xiàn)連續(xù)接觸，一般需做成斜齒輪，在制造和小型化方面受到了極大地限制。為了提高齒輪的承載能力，研究人員提出了許多新型齒廓，例如：微線段齒輪齒廓，分階式雙漸開線齒輪等，對提高齒輪的強(qiáng)度能起到一定作用，但是，這些新齒廓在制造或裝配等方面還存在某些不足。本文從偏差函數(shù)概念出發(fā)，提出了一種新型齒輪 —— 變圓弧齒輪。文中介紹了變圓弧齒輪的形成原理，推導(dǎo)了齒廓計算公式，討論了變圓弧齒輪的特性，給出了齒廓實例。  1 變圓弧齒廓的形成原理  圓弧齒 廓的形成原理  下面根據(jù)美國學(xué)者 D. C. H. 提出的偏差函數(shù)（ ，介紹變圓弧齒廓的形成原理。  設(shè) 半徑為 1 的齒輪節(jié)圓， θ1 為轉(zhuǎn)角，以 e（ θ1）為半徑，圓心均勻分布在節(jié)圓上，畫出一系列的圓，如圖 1 所示（這里取 e（ θ1） =2θ1） ,當(dāng) e（ θ1）滿足一定的約束條件時，這一系列的圓可以包絡(luò)出光滑的齒廓 θ1），從圖中可看出， θ1） =||P（ θ1） θ1） ||，稱 e（ θ1）為偏差函數(shù)。我們將滿足上述生成原理的一類齒廓統(tǒng)稱為變圓弧包絡(luò)齒廓，簡稱為變圓弧 齒廓，由它構(gòu)成的齒輪副稱為變圓弧齒輪副。  當(dāng)取偏差函數(shù) e（ θ 1） =θ ） 時，變圓弧齒廓就是常見的漸開線齒廓；而當(dāng)偏差函數(shù)取  )2s 2)( 10101 ??   時，這時的變圓弧齒廓就是擺線齒廓；而對于普通圓弧齒輪來說，相當(dāng)于偏差函數(shù) e（ θ1）只在某些離散點取值。   圓弧齒廓的計算  從圖 2 可以看出，用坐標(biāo)分量表示的變圓弧齒輪齒廓 方程為  )c o s ()c o s (1111 ?? x ??(1)  )s i n ()s i n (1111 ?? y ??(2)  式中，  ψ定義為在 g 點齒廓的法線與 x 軸之間的夾角，它是 θ1 的函數(shù)，由圖 2知  1'' ?? ?? 1'1 ?? ?? )(t a n 2'21'1a c?????????? 11111 )( ????  )2/0( 1 ?? ??              （ 3）   為了使獲得的上述齒廓能夠?qū)嶋H應(yīng)用，還必須對偏差函數(shù)  e(θ1）的選擇做某些限制  （ 1）為保證齒廓曲線不相交，要求  |) 11 ?                   （ 4）  （ 2）為確保方程式（ 3）有解 ，要求  212'                          （ 5）  （ 3）為保證輪廓曲線 C′連續(xù)，在節(jié)圓 齒廓 交叉點 ， e（必須等于零。  （ 4）為了保證齒廓光順，在 e（ θ1）最小、最大值之間必須單調(diào)變化。  （ 5）為了使齒輪齒數(shù) 整數(shù)并且保證有一定的重合系數(shù)   μ，兩個交匯點之間的角度范圍 Φ1 應(yīng)滿足  11 n??? ?  2 變圓弧齒輪齒廓的嚙合原理  設(shè)一對變圓弧齒輪的齒廓相互嚙合，如圖 3 所示，在某一瞬時，這對共軛齒輪  齒廓  g 點處嚙合，根據(jù)齒廓嚙合原理，共軛齒廓方程可寫成  )c o s ()c o s (1111 ?? x ??（ 6）  )s )s  1111 ?? y ??                 （ 7）  ???? ????? )(t a n)(2'21'1111       )2/( 1 ??? ??                  （ 8）  )c o s ()c o s (2222 ?? x ??（ 9）  )s i n ()s i n (2222 ?? y ??(10）  12122 )( ?????? ????                 （ 11）  式中，  別是嚙合點 g 在齒輪隨體直角坐標(biāo)系 0l 和 02中的坐標(biāo)分量，  齒輪 θ1 和 θ2 的轉(zhuǎn)角，而 φ1 和 φ2 是齒廓在 g 點的法線與兩個 x 坐標(biāo)軸的夾角。  兩齒廓嚙合過程中保持接觸的條件是齒廓 的 g 點速度 齒廓 的 g 點速度 公法線方向的速度分量相等，即 齒廓的生成原理可知，兩齒輪的齒廓在任意嚙合點 g 處存在公法線 與連心線 于節(jié)點 P，由  分別 向 垂線，交于  ，則  ，      1111 ?2222 ?如圖 3，則傳動比為  n t  12112221 ????（ 12）  因此，我們得出結(jié)論：變圓弧齒輪能夠?qū)崿F(xiàn)恒定轉(zhuǎn)速比傳動。  變圓弧齒輪副齒廓間的相對滑動速度為                  )1()(21121 ??? ???（ 13）  )(t a '21'1????（ 14）   一般情況下，變圓弧齒輪的壓力角是與齒輪轉(zhuǎn)角有關(guān)的變量，對漸開線齒廓， e（ θ 1） = θ ），帶入上述壓力角計算公式可得 e=a。   3 變圓弧齒輪齒廓的特點  從理論上講，變圓弧齒輪包括外嚙合齒輪副和內(nèi)嚙合齒輪副。由于外嚙合的漸開線齒輪具有制造簡單，對誤差不敏感等優(yōu)點，因此，下面討論的變圓弧齒輪是以提高齒輪強(qiáng)度為目的，用于重載場合的凸凹型內(nèi)嚙合變圓弧齒輪。  如圖 4 所示，以節(jié)圓為分界面可以將變圓弧齒廓分割成 r 凸 齒 a， a′和 b， b′齒兩部分，其中 a′， b′是 a， b 的鏡像， a 段和 b 段可以用不同的偏差函數(shù)分別進(jìn)行設(shè)計，但必須在節(jié)圓上相交并保證在交點處至少一階連續(xù)。   齒輪的失效形式主要是斷齒和點蝕，反映他們的性能指標(biāo)包括：齒根彎曲強(qiáng)度和表面接觸強(qiáng)度；齒根彎曲應(yīng)力的近似計算公式為  26wb ??（ 15）  式中， ω為齒寬， h 和 b 分別為力 用點到齒根的距離和齒寬。  根據(jù) 觸應(yīng)力理論，假設(shè)兩個齒輪采用相同的材 料制造，內(nèi)嚙合齒廓在接觸點 g 處的接觸應(yīng)力計算公式為  21212 )1(2 ???????（ 16）  式中 ρρ別為兩齒廓在接觸點處的曲率半徑，它們的計算公式分別為  ??'12'211 ??（ 17）        ????'112'212 )/( ??（ 18）  2'21'''1 1 ??從上述公式可知，齒面接觸應(yīng)力的大小與接觸點處曲率半徑的差成正比，齒根彎曲應(yīng)力和齒面接觸應(yīng)力都與生成齒廓的偏差函數(shù)有關(guān)，因此，通過合理設(shè)計變圓弧齒輪的偏差函數(shù)，我們能夠獲得所需的齒根彎曲強(qiáng)度和表面接觸強(qiáng)度。變圓弧齒輪在某一瞬時的嚙合狀態(tài)與雙圓弧齒輪相似，但普通雙圓弧齒輪為了實現(xiàn)連續(xù)傳動必須做成斜齒輪的形式，而這里介紹的變圓弧齒輪是通過一系列不同半徑圓弧的包絡(luò)，在直齒情況下，實現(xiàn)了圓弧齒輪的連續(xù)傳動。變圓弧齒輪不存在根切現(xiàn)象，最小齒數(shù)可以做到兩個齒。  能否實現(xiàn)高精度、低成本制造是限制非漸開線齒輪應(yīng) 用的主要原因之一，如果我們以節(jié)點為原點，選齒輪轉(zhuǎn)角、偏差函數(shù) e（ θ）和壓力角 a 為 3 個進(jìn)給軸，那末，在數(shù)控插補(bǔ)加工時，法向刀具半徑補(bǔ)償變得非常簡單，另外，式（ 3）具有閔科夫斯基勾股速端曲線的形式，容易實現(xiàn)高速、高精度數(shù)控加工，這是變圓弧齒輪非常重要的優(yōu)點。  與其它內(nèi)嚙合齒輪相似，變圓弧齒輪也存在對誤差敏感等問題。   4 變圓弧齒輪齒廓舉例   變圓弧齒輪設(shè)計的主要內(nèi)容是在某些幾何約束條件下，設(shè)計出滿足強(qiáng)度性能要求的齒輪齒廓。變圓弧齒輪的設(shè)計大體上分為 4 個步驟  1）確定齒輪副參數(shù)，如：齒輪材料 特性、傳動比、重合系數(shù)、模數(shù)、中心距和負(fù)載力矩等。  2）生成偏差函數(shù)。  3）構(gòu)造齒廓。  4）評估齒輪副性能。滿足要求，結(jié)束；否則，轉(zhuǎn) 2。  下面給出一個采用偏差函數(shù)方法設(shè)計的內(nèi)嚙合正變圓弧齒輪副。設(shè)齒輪副的中心距為 l，節(jié)圓半徑同為 l/2，偏差函數(shù)選    )o s (4)( 11 ??? ?? 19）  )o s ()o s (4c o 111 ????? ???? x)i n ()o s (4c o 111 ????? ???? y（ 20）  圖 5 描繪了上述齒輪齒廓的連續(xù)凸凹接觸特性，它的重合系數(shù)為   5 結(jié)論   本文提出了一種新型的變圓弧齒輪，介紹了設(shè)計這種齒輪的新方法，為齒廓研究提供了新思路和更為廣闊的研究空間。由以上的推導(dǎo)、 論證以及計算可得出以下結(jié)論：  變圓弧齒輪副滿足齒輪傳動的基本條件，它主要采用凸凹型內(nèi)嚙合的傳動形式，用于重載傳動場合。  通過優(yōu)化設(shè)計偏差函數(shù)，變圓弧齒輪能獲得性能優(yōu)良的齒輪齒廓，特別是能使齒根彎曲應(yīng)力和表面接觸應(yīng)力明顯減小。它還具有結(jié)構(gòu)緊湊，最小齒數(shù)可做到兩齒等優(yōu)點。  齒廓設(shè)計方法物理意義明確，公式簡潔，便于進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計、計算機(jī)輔助設(shè)計和制造，特別是可以很容易地實現(xiàn)刀具半徑補(bǔ)償和進(jìn)行高速、高精度數(shù)控加工。  齒廓為圓弧形的點 嚙合 齒輪傳動 。 通常有兩種 嚙合 形﹕小齒輪為凸圓弧齒廓﹐大