2019-2020年高考數學大一輪復習 第九章 第42課 數列的綜合應用要點導學.doc
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2019-2020年高考數學大一輪復習 第九章 第42課 數列的綜合應用要點導學 數列與新背景、新定義的綜合問題 (xx東莞一模)如圖,有一個形如六邊形的點陣,它的中心是1個點(算第1層),第2層每邊有2個點,第3層每邊有3個點,依次類推. (1) 第n(n≥2)層的點數為 ; (2) 如果一個六邊形點陣共有169個點,那么它一共有 層. (例1) [思維引導](1) 可將第1,2,3,4,5層的點數一一列出,組成數列,然后判斷數列的特點,猜出結論;(2) 根據(1)的結果求解. [答案](1) 6(n-1) (2) 8 [解析](1) 第1層的點數為1,第2層的點數為6,第3層的點數為12,第4層的點數為18,第5層的點數為24,它們組成數列:1,6,12,18,24,分別記為a1,a2,a3,a4,a5. 因為a3-a2=6,a4-a3=6,a5-a4=6,猜想an-an-1=6(n≥2), 所以當n≥2時,由等差數列的通項公式可知an=a2+(n-2)d=6+(n-2)6=6(n-1),即an=6(n-1)(n≥2). (2) 由(1)得+1=169,解得n=8. [精要點評](1) 對于數列與新背景、新定義的綜合問題,此類問題出題背景廣、新穎,解題的關鍵是讀懂題意,有效地將信息轉化,能較好地考查學生分析、解決問題的能力和知識的遷移能力.一般以客觀題或解答題的形式出現,屬于低、中檔題. (2) 解決數列與新背景、新定義的綜合問題,可通過對新數表、圖象、新定義的分析、探究,將問題轉化為等差(比)數列的問題. 根據圖中的5個圖形及相應點的個數的變化規(guī)律,試猜測第n個圖中有 個點. (變式) [答案]n2-n+1 [解析]序號n決定了每個圖的分支數,而第n個分支有(n-1)個點,中心再加1點,故有n(n-1)+1=n2-n+1個點. 數列與函數、不等式等綜合問題 若數列{an}的前n項和記為Sn,a1=t,點(Sn,an+1)在直線y=2x+1上,n∈N*. (1) 當實數t為何值時,數列{an}是等比數列? (2) 在(1) 的結論下,設bn=log3an+1,Tn是數列的前n項和,求T2 015的值. [思維引導]解答本題需要掌握以下幾個關鍵的知識點:(1) 利用前n項和與通項的關系;(2) 用裂項相消法求數列的前n項和. [解答](1) 由題意得an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2), 兩式相減,得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2), 所以當n≥2時,{an}是等比數列. 要使{an}是等比數列,則需==3, 從而得出t=1. (2) 由(1)知an=3n-1,bn=log3an+1=n, ==-, T2 015=+…+=++…+=. [精要點評]本題以函數為背景,考查數列前n項和與通項的關系、等比數列、對數知識、裂項求前n項和等問題,內容較綜合,但難度一般. (xx揚州模擬)設函數f(x)=(x>0),數列{an}滿足a1=1,an=f(n∈N*,n≥2),求數列{an}的通項公式. [解答]因為an=f==an-1+(n∈N*,且n≥2), 所以an-an-1=(n≥2). 因為a1=1,所以數列{an}是以1為首項、為公差的等差數列, 所以an=. 數列型的實際應用問題 某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產品的生產.該企業(yè)第一年年初有資金xx萬元,將其投入生產,到當年年底資金增長了50%.預計以后每年資金年增長率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始,每年年底上繳資金d萬元,并將剩余資金全部投入下一年生產.設第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元. (1) 用d表示a1,a2,并寫出an+1與an的關系式; (2) 若公司希望經過n(n≥3)年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元,試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用n表示). [解答](1)由題意得a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d, a2=a1(1+50%)-d=a1-d, an+1=an(1+50%)-d=an-d. (2) 由(1)得 an=an-1-d =an-2-d-d =-d =… =a1-d, 整理得an=(3 000-d)-2d=(3 000-3d)+2d. 由題意知an=4 000, 所以(3 000-3d)+2d=4 000, 解得d==. 故該企業(yè)每年上繳資金d的值為時,經過n(n≥3)年企業(yè)的剩余資金為4 000元. [精要點評]與一般應用題類似,審清題意是解決此類問題的前提.本題中出現了等差數列與等比數列的常見問題,即求通項公式,分清類別是解題的關鍵.題中還出現了數列的項的值與某數值的大小比較等,也屬常規(guī)問題,僅需常規(guī)處理即可. (xx北京房山區(qū)模擬)xx年,我國南方省市遭遇旱澇災害,為防洪抗旱,某地區(qū)大面積植樹造林.如圖,在區(qū)域{(x,y)|x≥0,y≥0}內植樹,第一棵樹在點A1(0,1),第二棵樹在點B1(1,1),第三棵樹在點C1(1,0),第四棵樹在點C2(2,0),接著按圖中箭頭方向,每隔一個單位種一棵樹,那么第xx棵樹所在的點的坐標是 . (變式) [答案](10,44) [解析]OA1B1C1設為第一個正方形,種植3棵樹,依次下去,第二個正方形種植5棵樹,第三個正方形種植7棵樹……它們構成一個首項為3、公差為2的等差數列,所以前n項和Sn=3n+2=n2+2n,因為S43=1 935,S44=2 024,所以2 024-xx=10,根據圖象知第2 014棵樹所在的點的坐標是(10,44). 1. 已知{an}為等差數列,若a1+a5+a9=2π,則cos(a2+a8)的值為 . [答案]- [解析]a1+a5+a9=3a5=2π,則a5=,a2+a8=2a5=. 所以cos(a2+a8)=cos=-. 2. 某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹的棵數是前一天的2倍,則需要的最少天數n= . [答案]6 3. (xx鹽城模擬)在數列{an}中,a1=0,-=1,設bn=,記Sn為數列{bn}的前n項和,則S99= . [答案] [解析]由題意可得,數列是以1為首項、1為公差的等差數列, 所以=n,從而有an=, 所以bn===-, 所以數列{bn}的前99項的和S99=++…+=1-=. 4. (xx湖北模擬)在△ABC中,三個內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若內角A,B,C依次成等差數列,且不等式-x2+6x-8>0的解集為{x|a
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