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23 與角相關的問題 閱讀與思考 角也是一種基本的幾何圖形，凡是由直線組成的圖形都出現(xiàn)角. 角既可以看成有公共端點的兩條射線組成的圖形，也可以看成是一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形. 按角的大小可以分成銳角、直角和鈍角. 由于直角和平角在角中顯得特別重要，所以處于不同位置，但兩角的和是一個直角或是一個平角的角仍然得到我們的特別關注. 兩角之和為直角的，這兩個角叫做互為余角；而兩角之和為平角的，這兩個角叫做互為補角，余角和補角的概念及其應用在幾何計算和證明中都有十分重要的地位. 解與角有關的問題常用到以下知識與方法： 1. 角的分類； 2. 角平分線的概念； 3. 互余、互補等數量關系角； 4. 用方程的觀點來進行角的計算. 例題與求解 【例1】如圖，在33的網格上標出了∠1和∠2，則 . （“希望杯”邀請賽試題） 解題思路：對圖形進行恰當的處理，通過拼補求出的值. 【例2】如果與互補，且，則下列表示的余角的式子中：①；②；③；④. 其中正確的有（ ） A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個 （xx年浙江省衢江市數學競賽試題） 解題思路：彼此互余的角只要滿足一定的數量關系即可，而與位置無關. 【例3】已知，OC是不在直線OA，OB上的任一條射線. OM，ON分別平分∠AOC，∠BOC. 求∠MON的大小.（題目中考慮的角都小于平角） （湖北省武漢市武昌區(qū)調考試題） 解題思路：因OC位置不確定，故分類討論是解本例的關鍵. 【例4】鐘表在12點鐘時三針重合，經過x分鐘秒針第一次將分鐘和時針所夾的銳角平分，求x的值. （湖北省黃岡市競賽試題） 解題思路：把秒針第一次將分鐘和時針所夾的銳角平分所得的兩個角用x的代數式表示，通過解方程求出x的值. 【例5】（1）現(xiàn)有一個19的“模板”（如圖），請你設計一種辦法，只用這個“模板”和鉛筆在紙上畫出1的角來. （2）現(xiàn)有一個17的“模板”與鉛筆，你能否在紙上畫出一個1的角來？ （3）用一個21的“模板”與鉛筆，你能否在紙上畫出一個1的角來？ 對（2）（3）兩問，如果能，請你簡述畫法步驟；如果不能，請你說明理由. （“希望杯”邀請賽試題） 解題思路：若只連續(xù)使用模板，則得到的是一個19（或17或21）的整數倍的角，其實，解題的關鍵是在于能否找到19（或17或21）的一個倍數與某個特殊角的某個倍數相差1. 【例6】如圖所示，O是直線AB上的一點，∠COD是直角，OE平分∠BOC. （1）如圖①，若，求∠DOE的度數； （2）在圖①中，若，直接寫出∠DOE的度數 （用含α的代數式表示）； （3）將圖①中的∠DOC繞頂點O順時針旋轉至圖②的位置. ① 探究∠AOC和∠DOE的度數之間的關系，寫出你的結論，并說明理由； ② 在∠AOC的內部有一條射線OF，滿足，試確定∠AOF與∠DOE的度數之間的關系，說明理由 圖 ① 圖 ② （湖北省武漢市模擬試題） 解題思路：（1）利用互余、互補關系易求出∠DOE的度數； （2）先根據∠DOE與∠COE的互余關系列出相應的關系式，然后用∠BOC表示出∠COE，再根據互補角的關系用α表示出所求角的度數； （3）①可設∠BOC為一個未知數，分別表示出∠AOC與∠DOE，可得相應關系；②結合①把所給等式整理為只含所求角的關系式即可. 能力訓練 A 級 1. 已知一個角的補角等于這個角余角的6倍，那么這個角等于 . （“祖沖之杯”邀請賽試題） 2. 如圖，，，那么不大于90的角有 個，它們的度數之和是 . （“希望杯”邀請賽試題） 3. 如圖，，若，則等于 . 4. 如圖，O是直線AB上一點，，，OE平分∠BOD，則圖中彼此互補的角有 對. （北京市“迎春杯”競賽試題） 5. 一個角的補角的是6，則這個角是（ ） A. 68 B. 78 C. 88 D. 98 （“希望杯”邀請賽試題） 6. 用一副三角板可以畫出大于0且小于176的不同角度有（ ）種 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 如圖，若，∠1是銳角，則∠1的余角是（ ） A. B. C. D. （甘肅省蘭州市競賽試題） 8. 如圖，，OD是∠COB的平分線，OE是∠AOC的平分線，設，則與α的余角相等的角是（ ） A.∠COD B.∠COE C.∠DOA D.∠COA 9. 如圖，已知，OD平分∠AOB，且，求∠AOB的度數. （北京市“迎春杯”競賽試題） 10. 如圖，已知∠AOB與∠BOC互為補角，OD是∠AOB的平分線，OE在∠BOC內，，. 求∠EOC的度數. 11. 已知，OC平分∠AOB，，OE平分∠COD. 求∠AOE的大小. 12. 如圖，已知OB，OC，OD為∠AOE內三條射線. （1）圖中共有多少個角？ （2）若OB，OC，OD為∠AOE四等分線，且圖中所有銳角的和為400，求∠AOE的度數. （3）若，，求圖中所有銳角的和. B 級 1. 已知一個角的補角比這個角余角的3倍大10，則這個角的度數是 . （浙江省杭州市競賽試題） 2. α，β，γ中有兩個銳角和一個鈍角，其數值已經給出，在計算的值時，有三位同學分別算出了23，24，25這三個不同的結果. 其中只有一個是正確的答案，則 . （江蘇省競賽試題） 3. 如圖，點O在直線AB上，OC，OD，OE，OF是位于AB同一側的射線，那么在這個圖形中，不大于平角的角共有 個. （五城市聯(lián)賽試題） 4. 如圖，射線OC，OD，OE，OF分別平分∠AOB，∠COB，∠AOC，∠EOC，若，則 . （xx年“希望杯”數學邀請賽試題） 5. 4點鐘后，從時針到分針第二次成90角，共經過（ ）分鐘（答案四舍五入到整數） A. 60 B. 30 C. 40 D. 33 （“五羊杯”競賽試題） 6. 如圖是一個33的正方形，則圖中的和等于（ ） A. 270 B. 315 C. 360 D. 405 （廣西省競賽試題） 7. 已知，OM，ON，OP分別是∠AOB，∠BOC，∠AOC的平分線，則下列各式中成立的是（ ） A. B. C. D.以上情況都有可能 8. 如圖，∠AOC是直角，，且OB，OD分別是∠AOC，∠BOE的平分線，則∠AOE等于（ ） A. 111.5 B. 138 C. 134.5 D. 178 （五城市聯(lián)賽試題） 9. 如圖，在直線AB上取一點O，在AB同側引射線OC，OD，OE，OF，使∠COE和∠BOE互余，射線OF和OD分別平分∠COE和∠BOE. 求證：. 10. 如圖，∠A1OA11是一個平角， . 求的度數. （山東省競賽試題） 11. 在一個圓形時鐘的表面，OA表示秒針，OB表示分針（O為兩針的選擇中心）. 若現(xiàn)在時間恰好是12點整，問經過多少秒后，△OAB的面積第一次達到最大？ （“CASIO杯”全國初中數學競賽試題） 專題23 與角相關的問題 例1 45 提示：如圖，通過拼補得∠1+∠2=45. 例2．B 提示：①（90－∠）+∠=90符合； ②（∠－90）+∠=∠+∠－90=180－90=90符合； ③ ④符合. 故①②④能表示的余角. 13．∵OM、ON平分∠AOC，∠BOC， ∴∠AOM=∠COM=，∠CON=∠BON= （1）如圖①，若OC在∠AOB內，設∠BOC=x，則 圖? 圖? 圖? 例6 （1），，且與互為相反數。 且。，，即， （2）有兩種情況，如圖?? 當在上時， ；當在的延長線上時， ，綜上可 知， （3） 作圖如圖?，結論?正確，設，則， ，當然對于?我們也不難找出其值不為 定值的原因。，變化，其值也變化 A級 1 或 提示：當，在點兩側時，；當，在同一側 時， 2 20 3 41.6 提示：所有線段長度總和為∠AOC＝80－x，∴∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝40． （2）如圖②，若OC在A′OB內，設∠BOC＝x，則∠AOC＝80＋x． ∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝40． （3）如圖③，若OC在∠A′OB′內，設∠BOC ＝x，則 ∠AOC＝280－x． ∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝140． （4）如圖④，若OC在∠AOB′內，設∠BOC＝x，則∠AOC＝x－80． ∴∠MON＝∠NOC－∠MOC＝40．綜上所述：∠MON＝40或 140． 例4 x＝ 提示：顯然x的值大于1小于2， 依題意得6x－360(x—1)＝360(x—1)—0. 5x． 例5 提示：設“模板”角度為α，假設可由k個α角與t個 180角畫出1的角來，即k，t滿足等式kα－180t＝1． （1）當α＝19時，取k＝19，t＝2，即用模板連續(xù)畫出19個19的角，得到361的角，去掉360的周角， 即得1的角． （2）當α＝17時，即17k一180t＝1，此時，k＝53，t＝5是一組解，即用模板連續(xù)畫53個17的角，得到901的角，除去兩個周角和一個平角，即得1的角． （3）當α＝21時，即21k—180t＝1無整數解，不能用21的模板與鉛筆畫出1的角． 例6 (1) ∠BOC＝180－∠AOC＝180－30＝150． 又∵QE 平分∠BOC，∠COE＝∠BOC＝75， ∠DOE＝90－75＝15． （2）∠DOE＝90－＝α． （3）①∠AOC＝180－2∠COE＝180—2(90—∠DOE)＝2∠DOE；②設∠DOE＝x，∠AOF＝y(tǒng)．則 ∠AOC－4∠AOF＝2∠DOE－4∠AOF＝2x－4y．2∠BOE＋∠AOF＝2∠COE＋∠AOF＝2 ( 90—∠DOE) ＋∠AOF＝2 ( 90一 x )＋y＝180一2x＋y．故 2x—4y＝180—2x ＋y，即 4x—5y＝180．所以 4∠DOE－5∠AOF＝180． A級 1．72 2．10 450 提示：一共有10個角，其中∠AOE＝90， ∠BOD＝45，∠AOB十∠BOE＝90，∠AOC＋∠COE＝90，∠AOD＋∠DOE＝90，∠BOC＋∠COD＝45．故這10個角的度數和為904＋452＝360＋90＝450． 3．30 4．6 提示：∠AOC 和∠BOC，∠AOD 和∠BOD，∠AOE和∠BOE，∠AOE 和∠DOE ，∠AOE和∠COD，∠AOD 和∠COE． 5．B 6．A 7．C 8．B 9．114 提示：設∠AOC＝x，是∠BOC＝2x，∠AOD＝(x)，∠COD＝(x)，∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝114 10．設∠AOD＝∠BOD＝x，則∠BOC＝180—2x． 又∵∠BOE＝∠EOC，∴∠BOE＝∠BOC＝(180－2x)． 又∵∠BOD＋∠BOE＝∠DOE＝72，∴x＋(180－2x)＝72，解得x＝36． 則∠EOC＝∠BOC＝(180—2x)＝72． 11．（1）如圖①，若 OD在∠A′OB 內時，∵∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝40，∠COE＝∠DOE＝∠COD＝30，∴∠AOE＝∠AOC＋∠COE＝70． （2）如圖②，若OD在∠AOB′內時，同理，∠AOC＝40，∠OOE＝30，∴∠AOE＝∠AOC－∠COE＝10． 綜上所述：∠AOE＝70或10． 12．（1）共有：4＋3＋2＋l＝10 個角． （2）∠AOE＝80． （3）所有銳角度數和為：416． B級 1．50 2．345 3．15 4．64 提示：設∠EOF＝∠COF＝x，則∠AOE＝2x．∴∠BOC＝∠AOC＝2x＋x＋x＝4x，∠COD＝∠BOD＝∠BOC＝2x，又∵∠FOD＝∠FOC＋∠COD＝x＋2x＝3x＝24，x＝80，∴∠AOB＝8x＝64． 5．D 6．D 沿AB對折，上下圖形能夠完全重合，則∠1＋∠9＝∠4＋∠8＝∠2＋∠6＝90． 7．B 8．D 9．提示：∠COE＋∠BOE＝90，∠DOF＝45，∠AOF＋∠BOD＝135． 10．由題中條件知∠A3OA2—∠A2OA1＝2①，∠A4OA3—∠A3OA2＝2 ②，∠A5OA4—∠A4OA3＝2③，…， ∠A11OA10－∠A10OA9＝2⑨，以上9個等式相加得∠A11OA10—∠A2 OA1 ＝92＝18．.即∠A11OA10＝∠A2OA1＋18．由題設知，∠A1OA11＝∠A2OA1＋∠A3OA2 ＋∠A4OA3＋…＋∠A11OA10＝(∠A2OA1＋∠A11OA10)10＝180． ∴∠A2OA1＋∠A11OA10＝36，∴∠A11OA10＝27． 11．經過x秒時，OA與OB第一次垂直．由(6－0. 1)x＝90得x＝15．