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專題03 高考考前調(diào)研卷（三） 【試題說明】命題者在認真研究近幾年新課標全國卷高考試題，命題時嚴格按照全國Ⅰ卷格式編排，以最新發(fā)布的2018年全國卷《考試說明》為依據(jù)，內(nèi)容確保不超綱。調(diào)研卷體現(xiàn)高考“前瞻性”和“預(yù)測性”。試卷力爭做到形、神與新課標全國卷風(fēng)格一致，讓學(xué)生和教師有“高考卷”的感覺。試卷中知識點分布、試卷的總字數(shù)（包括各科選擇題的題干字數(shù)、大題材料的長度、信息的有效性）、選項文字的長度、答案的規(guī)范、難易度的梯度等，都要符合高考試卷特點。 一．選擇題 1. 已知集合A=，，若A∪B=B，則實數(shù)a的取值范圍是（　?。? A．（﹣∞，2） B．（﹣，﹣2] C．（2，+） D．[1，+） 【答案】C 【解析】：∵A==[﹣2，2]，，若A∪B=B， ∴A?B，∴a＞2，故選：C． 2. 復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 3. 若函數(shù)存在兩個零點，則k的范圍是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】：∵函數(shù)有兩個零點，∴函數(shù)的圖象與函數(shù)y=k的圖象有兩個交點，如圖所示： 數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng)0＜k＜1時，函數(shù)的圖象與函數(shù)y=k的圖象有兩個交點，故k的范圍是 （0，1）。 4. 中國的高儲蓄率世界聞名。為了解收入與存款的情況，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表： 收入x （萬元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 存款y （萬元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 據(jù)上表得回歸直線方程，據(jù)此估計，該社區(qū)一戶收入為20萬元家庭年存款為（　?。? A．11.4萬元 B．15.6萬元 C．12.0萬元 D．12.2萬元 【答案】B 5. 若為實數(shù)，則“”是“”或的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】因為，所以a、b同號，且ab<1; 當(dāng)時，由兩邊同除可得成立；當(dāng)時，兩邊同除以可得成立，∴“”是“或”的充分條件，反過來，由或得不到.如取a=-1，b=1，顯然有，但是不能推出，故“”是“”或的充分而不必要條件 . 6.如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E為線段的中點，點F，G分別是線段A1D與BC1上的動點，當(dāng)三棱錐E﹣FGC的俯視圖的面積最大時，該三棱錐的正視圖是（ ）． 【答案】A 7.已知傾斜角是的直線經(jīng)過拋物線C：的焦點F，拋物線C上存在點P與x軸上一點Q(5,0)關(guān)于直線對稱，若拋物線C上存在一點M，并且|MF|=2,K是拋物線C的準線與x軸的交點，則∠MKF=（ ）。 A.30 B.45 C.60 D.75 【答案】B 【解析】根據(jù)題意可得，設(shè)，直線PQ的方程是 ，所以，所以，又因為 ，聯(lián)立方程可得：，所以拋物線方程是，根據(jù)題意可得M（1，2），因為K（-1，0），所以。所以選擇B。 8.命題p：函數(shù)為奇函數(shù)；命題q：；則下列命題為假命題的是（　?。? A．p∨q B．p∧（￢q） C．（￢p）∧q D．（￢p）∨（￢q） 【答案】C 9. 更相減損術(shù)是出自中國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》的一種算法，其內(nèi)容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也．以等數(shù)約之．”若輸入的a，b分別為8，12，則輸出的a=（　　） A．2 B．0 C．4 D．16 【答案】C 【解析】：由a=8，b=12，不滿足a＞b， 則b變?yōu)?2﹣8=4，由b＜a，則a變?yōu)?﹣4=4， 由a=b=4，則輸出的a=4．故選：C． 10.函數(shù)的部分圖象如圖所示， 將f（x）圖象上每個點的橫坐標縮短為原來的一半之后成為函數(shù)y=g（x），則g（x）的圖象的一條對稱軸方程為（　?。? A．x= B．x= C．x= D．x= 【答案】D 11. 過雙曲線（a＞0，b＞0）的上的點A(a,0)作傾斜角是135的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B、C，若，則雙曲線的漸近線方程為（　?。? A．y= B．y= C．y=2x D．y= 【答案】C 【解析】：由于A（a，0），根據(jù)點斜式可得直線方程為x+y﹣a=0，直線與漸近線的交點B，C，則B（），C（）， 則， 則，即4a2=b2，∴雙曲線的漸近線方程y=x，即有y=2x， 故選C． 12. 定義一種運算，若函數(shù)．若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）。 A.(0,1) B.(,2) C.(，1) D(，2) 【答案】C 二．填空題 13.已知兩個單位向量的夾角為60，則______。 【答案】； 【解析】：兩個單位向量的夾角為60， ∴， ∴ = =7 ∴． 14. 在等差數(shù)列中，，其前項和為，若，則=____． 【答案】2018 15. 實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是　　． 【答案】； 【解析】設(shè)k=，則k的幾何意義為過(-1,0)的直線的斜率： 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分ABC）： 則由圖象可知，過(-1,0)的直線,當(dāng)直線經(jīng)過點（-1,0）和點B時，直線的斜率最小， 當(dāng)經(jīng)過點（-1，0）與點A時，直線的斜率k最大， 由，解得A（2，2），此時k=． 由，解得B（3，1），此時k=， ∴直線的斜率的取值范圍是≤k≤. 16.已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，△ABC的外接圓半徑為1．則△ABC面積的最大值是_______． 【答案】 ; ∴c=（2R）sinC=2sin60=，∵ ，即， ∴，即ab≤3．故, ∴△ABC面積的最大值為. 三．解答題 17. 是等差數(shù)列的前n項和，．?dāng)?shù)列的前n項和為，且 ． （Ⅰ）求數(shù)列、的的通項公式； (II)求數(shù)列的前n項和。 【解析】（Ⅰ）由已知可得：…………（1分） ,即 解得： ∴……………………（3分） 當(dāng)時，,，又令n=1，得． ∴，是以2為首項和公比的等比數(shù)列， ．……………………6分 即 =…………12分 18.如圖甲，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AD=2，AB=BC=1，E是AD的中點，O是AC與BE的交點，將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如圖乙。 （1）證明：平面CD⊥平面A1OC （2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求三棱錐B-CD的體積． 【解析】證明：（1）證明：在圖甲中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中點，∠BAD=，∴BE⊥AC，即在圖乙中，BE⊥OA1，BE⊥OC． 又OA1∩OC=O，∴BE⊥平面A1OC． ∵BC∥DE，BC=DE， ∴BCDE是平行四邊形， ∴CD∥BE，∴CD⊥平面A1OC． …（6分） 19.微信是覆蓋中國94% 以上的智能手機，月活躍用戶達到 8.06億，[用戶覆蓋 200 多個國家、超過 20 種語言。微信是人們交流的一種形式，某機構(gòu)對：使用微信交流的態(tài)度進行調(diào)查，隨機抽取50人，調(diào)查年齡段頻率分布以及使用微信交流的情況如下表： 年齡 [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） [40，45） 調(diào)查人數(shù) 5 6 15 9 10 5 贊同使用微信交流 4 5 12 9 7 3 （1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的22列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，認為年齡與是否贊同使用微信支付有關(guān)系； 年齡低于35歲 年齡不低于35歲 合計 贊同 不贊同 合計 （2）若對年齡在[15，20）的被調(diào)查人中隨機選取兩人進行調(diào)查，求恰好這兩人都支持贊同使用微信的概率． 參考數(shù)據(jù)： P（K2≥k） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 參考公式：，其中n=a+b+c+d． 【解析】：（1）的22列聯(lián)表： 年齡低于35歲 年齡不低于35歲 合計 贊同 30 10 40 不贊同 5 5 10 合計 35 15 50 K2=≈2.38＞2.706，…………4分 ∴能在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，認為年齡與是否贊同使用微信有關(guān)系；…………6分 （2）若對年齡在[15，20）的被調(diào)查人中隨機選取兩人進行調(diào)查，從5人A,B,C,D, a中隨機選取2人有：AB,AC,AD, BC,BD, CD, Aa,Ba,Ca,Da,一共十種情況，其中兩個人都贊成的是：AB,AC,AD, BC,BD, CD6種情況，所以根據(jù)古典概型公式P(A)=.………………12分 20.已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）與y軸的正半軸相交于點M，點F1，F(xiàn)2為橢圓的焦點，且△MF1F2是邊長為2的等邊三角形， （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）點P在橢圓E上，且在第一象限內(nèi)，直線PQ與圓相切于點M，且，證明點Q的縱坐標是定值． 【解析】（Ⅰ）∵橢圓E：與y軸的正半軸相交于點M，點F1，F(xiàn)2為橢圓的焦點，且△MF1F2是邊長為2的等邊三角形， ∴a=2，c=1，∴b2=4﹣1=3，∴橢圓E：．…………4分 由PQ于圓O：x2+y2=3相切，可得，…………7分 平方可得（kx0﹣y0）2=3（1+k2），即2kx0y0=k2x02+y02﹣3k2﹣3， 又Q（）， 所以有， 解得t=，………………9分 則 = =， 解得t=．…………11分 綜上可知，點Q的縱坐標是定值為?！?2分 21.已知函數(shù)． （Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程； （Ⅱ）令，在定義域上有且僅有一個極值點，求實數(shù)a的取值范圍； （Ⅲ）若，正實數(shù)滿足，證明：． 【解析】（Ⅰ）當(dāng)a=0時，f（x）=lnx+x，則f（1）=1，所以切點為（1，1）， 又，則切線斜率， 故切線方程為y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0．…………3分 ②若a＜0，， 該二次函數(shù)開口向下，對稱軸， 所以t（x）=0在（0，+∞）上有且僅有一根，故=0， 且當(dāng)0＜x＜x0時，t（x）＞0，g（x）＞0，函數(shù)g（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增； 當(dāng)x＞x0時，t（x）＜0，g（x）＜0，函數(shù)g（x）在（x0，+∞）上單調(diào)遞減； 所以a＜0時，函數(shù)g（x）在定義域上有且僅有一個極值點，符合題意； ………8分 ③若a＞0，，該二次函數(shù)開口向上，對稱軸． （?。┤?，即0＜a≤8，， 故g（x）≥0，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增， 所以函數(shù)g（x）在（0，+∞）上無極值點，故0＜a≤8不符題意，舍去； （Ⅲ）證明：當(dāng)時，， 由， 即, 從而， 令t=，則φ（t）=t﹣lnt，得， 可知φ（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增， ∴φ（t）≥φ（1）=1，∴， 因為x1＞0，x2＞0∴．………………14分 22. 直線與圓的參數(shù)方程（不涉及極坐標），利用參數(shù)方程求點的軌跡 在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)）．點P在曲線上，點A的坐標為（1，0），點Q滿足． （1）求點Q的軌跡方程； （2）已知直線和曲線交于M，N兩點，求弦MN中點的坐標． （Ⅱ）由，得x2﹣3x+2=0，，弦MN中點的橫坐標為，代入y=x得縱坐標為，所以弦MN中點的坐標為：…………10分 23.已知關(guān)于x的不等式有解，記實數(shù)m的最大值為M． （1）求M的值； （Ⅱ）在（I）的條件下，若正數(shù)a，b滿足，證明：。 【解析】（1）由絕對值不等式得， 若不等式有解， 則滿足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．…………3分 ∴M=4．………………5分 （Ⅱ）證明：正數(shù)a，b滿足， 即， ， 當(dāng)且僅當(dāng)b=3a=2時，取得等號． 則．………………10分