變與不變 多變歸一 探旋轉(zhuǎn)相似型的解法 大唐鎮(zhèn)中 蔡培杰 概念提出 旋轉(zhuǎn)和相似是初中數(shù)學(xué)圖形變換的重 要內(nèi)容,兩個知識點看似毫無關(guān)聯(lián),但它們 會同時出現(xiàn)在數(shù)學(xué)綜合試題中,對于此類 題型我們不妨叫作“旋轉(zhuǎn)相似型”。 學(xué)生解此類題的困惑 圖形在變、旋轉(zhuǎn)角度在變，對應(yīng)點 之間的連線段長在變等等 旋轉(zhuǎn)中的變化元素成了解題的“絆腳石”！ 探尋解決方法 尋求變化規(guī)律，以不變應(yīng)萬變 對應(yīng)點的軌跡具有共性對應(yīng)點的軌跡具有共性對應(yīng)點的軌跡具有共性對應(yīng)點的軌跡具有共性 二二二二 三三三三 應(yīng)用：求對應(yīng)點連線比值、求對應(yīng)點連線長 應(yīng)用：求兩組對應(yīng)點連線夾角 求兩組對應(yīng)點連線交點的軌跡 應(yīng)用：求點的運動軌跡長，求運動點的軌跡的解析式 存在兩組四點共圓存在兩組四點共圓存在兩組四點共圓存在兩組四點共圓 存在雙重相似存在雙重相似存在雙重相似存在雙重相似一一一一 旋轉(zhuǎn)相似中的存在雙重相似 基本圖形： 如圖， AOB COD，且點A、點B的對應(yīng)點分別 是點C,點D. 則可證 AOC BOD. 相似旋轉(zhuǎn)型中由對應(yīng)點連線段及所對旋轉(zhuǎn)角 組成的兩個三角形也相似。 旋轉(zhuǎn)相似中 存在雙重相似的應(yīng)用 例1、如圖4，ABC與DEF均 為等邊三角形，O為BC、EF的中 點，則AD：BE的值為（ ）。 變式： 旋轉(zhuǎn)相似中對應(yīng)點連線段的比值不變！ 可證： AOD BOE AD：BE=AO：BO 23（12分）（2013紹興）在ABC中，CAB=90 ，ADBC于點D，點E為AB的中點，EC與AD交于點G， 點F在BC上 （1）如圖1，AC:AB=1:2，EFCB，求證：EF=CD （2）如圖2，AC:AB=1：，EFCE，求EF：EG的值 旋轉(zhuǎn)相似中 存在雙重相似的應(yīng)用 H 作EH AB 可證HEF AEG EF：GE = HE：AE = HE：BE 旋轉(zhuǎn)相似中 存在雙重相似的應(yīng)用 例2、已知ABC中，C=90AB=9， ，把 ABC 繞著點C旋轉(zhuǎn)，使得點A落在點A，點B落 在點B若點A在邊AB上，則點B、B的距離_ 簡析： 由題可知AA,BB是旋轉(zhuǎn)中的對 應(yīng)點連線段， ACA ， BCB分別為所對旋轉(zhuǎn)角。所以 ACABCB，可知AA： BB=AC：BC=6：35，所以要 先求AA的長。 求對應(yīng)點連線段的長 = C 旋轉(zhuǎn)相似中的存在兩組四點共圓 A DC F G M 例：如圖， ADC GDF，A、C的對應(yīng)點分別是G、 F。當(dāng)GDF繞點D旋轉(zhuǎn)時，直線AG、CF交于點M，則 可證M、A、D、C四點共圓和M、D、F、G四點共圓。 證 M、A、D、C四點共圓 ： 由雙重相似可知 ADG CDF , AGD= CFD AMC= AGD+ 1+ 2 = CFD+ 1+ 2 =180- GDF =180- ADC AMC+ ADC=180，得證. 證 M、D、F、G四點共圓： 連DM，由MADC四點共圓可知 DMC= DAC 又 DAC= DGF DMC= DGF，得證. 1 2 A DC F G M RtADC Rt GDF ， ADC= GDF=90， 求 AMC的度數(shù) A D C G F M 1 2 旋轉(zhuǎn)相似中 存在兩組四點共圓的應(yīng)用 （2015學(xué)年上學(xué)期期末第16題） 如圖，ABC，EFG均是邊長為4的 等邊三角形，點D是邊BC、EF的中點 ，直線AG、FC相交于點M當(dāng)EFG 繞點D旋轉(zhuǎn)時，AMC=（ ）線段BM 長的最大值是（ ） 旋轉(zhuǎn)相似中兩個點的運動軌跡有共性 常見的，一個圖形繞一定點旋轉(zhuǎn)時， 則圖像上任一點都在作圓弧運動。 旋轉(zhuǎn)相似中兩個點的運動軌跡有共性 四邊形ABCD,AEFG都是正方形，點E為BC邊 上一點，求證：點G一定落在直線CD上。 像這樣的點E在作直線運動的旋轉(zhuǎn)相似變換中，則其他 的對應(yīng)點也都沿著各自的一條直線運動。 x y若AB=BC=2， 試描述點F的運動軌跡。 幾點建議 1.基本模型牢記于心,以不變應(yīng)萬變 2.重視帶領(lǐng)學(xué)生探究模型的重現(xiàn)過程 3.變式訓(xùn)練中體會模型的應(yīng)用價值 4.培養(yǎng)學(xué)生方法能力的遷移過程 5.提高解決問題及歸納總結(jié)的能力 感謝聆聽！