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1、關(guān)于評(píng)價(jià)特征去除所導(dǎo)致的工程分析錯(cuò)誤的規(guī)范理論 SankaraHariGopalakrishnan，KrishnanSuresh 機(jī)械工程系，威斯康辛大學(xué)，麥迪遜分校，2006年9月30日 摘要：幾何分析是著名的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)/計(jì)算機(jī)輔助工藝簡(jiǎn)化 “小或無(wú)關(guān)特征”在CAD模型中的程序，如有限元分析。然而，幾何分析不可避免地會(huì)產(chǎn)生分析錯(cuò)誤，在目前的理論框架實(shí)在不容易量化。 本文中，我們對(duì)快速計(jì)算處理這些幾何分析錯(cuò)誤提供了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚?。尤其，我們集中力量解決地方的特點(diǎn)，被簡(jiǎn)化的任意形狀和大小的區(qū)域。提出的理論采用伴隨矩陣制定邊值問(wèn)題抵達(dá)嚴(yán)格界限幾何分析性分析錯(cuò)誤。該理論通過(guò)數(shù)值例子說(shuō)明。

2、關(guān)鍵詞:幾何分析;工程分析;誤差估計(jì);計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)/計(jì)算機(jī)輔助教學(xué) 1. 介紹 機(jī)械零件通常包含了許多幾何特征。不過(guò)，在工程分析中并不是所有的特征都是至關(guān)重要的。以前的分析中無(wú)關(guān)特征往往被忽略，從而提高自動(dòng)化及運(yùn)算速度。 舉例來(lái)說(shuō)，考慮一個(gè)剎車(chē)轉(zhuǎn)子，如圖1(a)。轉(zhuǎn)子包含50多個(gè)不同的特征，但所有這些特征并不是都是相關(guān)的。就拿一個(gè)幾何化的剎車(chē)轉(zhuǎn)子的熱量分析來(lái)說(shuō)，如圖1(b)。有限元分析的全功能的模型如圖1(a)，需要超過(guò)150,000度的自由度，幾何模型圖1(b)項(xiàng)要求小于25，000個(gè)自由度，從而導(dǎo)致非常緩慢的運(yùn)算速度。 圖1(a)剎車(chē)轉(zhuǎn)子

3、 圖1(b)其幾何分析版本 除了提高速度，通常還能增加自動(dòng)化水平，這比較容易實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化的有限元網(wǎng)格幾何分析組成。內(nèi)存要求也跟著降低，而且條件數(shù)離散系統(tǒng)將得以改善;后者起著重要作用迭代線性系統(tǒng)。 但是，幾何分析還不是很普及。不穩(wěn)定性到底是“小而局部化”還是“大而擴(kuò)展化”，這取決于各種因素。例如，對(duì)于一個(gè)熱問(wèn)題，想刪除其中的一個(gè)特征，不穩(wěn)定性是一個(gè)局部問(wèn)題:(1)凈熱通量邊界的特點(diǎn)是零。(2)特征簡(jiǎn)化時(shí)沒(méi)有新的熱源產(chǎn)生; [4]對(duì)上述規(guī)則則例外。展示這些物理特征被稱(chēng)為自我平衡。結(jié)果，同樣存在結(jié)構(gòu)上的問(wèn)題。 從幾何分析角度看，如果特征遠(yuǎn)離該區(qū)域，則這種自我平衡的特征可以忽略。但是，如果功能

4、接近該區(qū)域我們必須謹(jǐn)慎，。 從另一個(gè)角度看，非自我平衡的特征應(yīng)值得重視。這些特征的簡(jiǎn)化理論上可以在系統(tǒng)任意位置被施用,但是會(huì)在系統(tǒng)分析上構(gòu)成重大的挑戰(zhàn)。 目前，尚無(wú)任何系統(tǒng)性的程序去估算幾何分析對(duì)上述兩個(gè)案例的潛在影響。這就必須依靠工程判斷和經(jīng)驗(yàn)。 在這篇文章中，我們制定了理論估計(jì)幾何分析影響工程分析自動(dòng)化的方式。任意形狀和大小的形體如何被簡(jiǎn)化是本文重點(diǎn)要解決的地方。伴隨矩陣和單調(diào)分析這兩個(gè)數(shù)學(xué)概念被合并成一個(gè)統(tǒng)一的理論來(lái)解決雙方的自我平衡和非自我平衡的特點(diǎn)。數(shù)值例子涉及二階scalar偏微分方程，以證實(shí)他的理論。 本文還包含以下內(nèi)容。第二節(jié)中，我們就幾何分析總結(jié)以往的工作。在第三節(jié)中

5、，我們解決幾何分析引起的錯(cuò)誤分析，并討論了擬議的方法。第四部分從數(shù)值試驗(yàn)提供結(jié)果。第五部分討論如何加快設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)進(jìn)度。 2. 前期工作 幾何分析過(guò)程可分為三個(gè)階段: 識(shí)別:哪些特征應(yīng)該被簡(jiǎn)化； 簡(jiǎn)化：如何在一個(gè)自動(dòng)化和幾何一致的方式中簡(jiǎn)化特征； 分析:簡(jiǎn)化的結(jié)果。 第一個(gè)階段的相關(guān)文獻(xiàn)已經(jīng)很多。例如，企業(yè)的規(guī)模和相對(duì)位置這個(gè)特點(diǎn)，經(jīng)常被用來(lái)作為度量鑒定。此外，也有人提議以有意義的力學(xué)判據(jù)確定這種特征。 自動(dòng)化幾何分析過(guò)程，事實(shí)上，已成熟到一個(gè)商業(yè)化幾何分析的地步。但我們注意到，這些商業(yè)軟件包僅提供一個(gè)純粹的幾何解決。因?yàn)闆](méi)有保證隨后進(jìn)行的分析錯(cuò)誤，所以必須十分小心使用。另外，固有的

6、幾何問(wèn)題依然存在，并且還在研究當(dāng)中。 本文的重點(diǎn)是放在第三階段，即快速幾何分析。建立一個(gè)有系統(tǒng)的方法，通過(guò)幾何分析引起的誤差是可以計(jì)算出來(lái)的。再分析的目的是迅速估計(jì)改良系統(tǒng)的反應(yīng)。其中最著名的再分析理論是著名的謝爾曼-Morrison和woodbury公式。對(duì)于兩種有著相似的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)和剛度矩陣設(shè)計(jì)，再分析這種技術(shù)特別有效。然而，過(guò)程幾何分析在網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的剛度矩陣會(huì)導(dǎo)致一個(gè)戲劇性的變化，這與再分析技術(shù)不太相關(guān)。 3. 擬議的方法 3.1問(wèn)題闡述 我們把注意力放在這個(gè)文件中的工程問(wèn)題，標(biāo)量二階偏微分方程式(pde): 許多工程技術(shù)問(wèn)題，如熱，流體靜磁等問(wèn)題，可能簡(jiǎn)化為上述公式。 作為一

7、個(gè)說(shuō)明性例子，考慮散熱問(wèn)題的二維模塊Ω如圖2所示。 圖2二維熱座裝配 熱量q從一個(gè)線圈置于下方位置列為Ωcoil。半導(dǎo)體裝置位于Ωdevice。這兩個(gè)地方都屬于Ω，有相同的材料屬性，其余Ω將在后面討論。特別令人感興趣的是數(shù)量，加權(quán)溫度Tdevice內(nèi)Ωdevice(見(jiàn)圖2)。一個(gè)時(shí)段，認(rèn)定為Ωslot縮進(jìn)如圖2，會(huì)受到抑制，其對(duì)Tdevice將予以研究。邊界的時(shí)段稱(chēng)為Γslot其余的界線將稱(chēng)為Γ。邊界溫度Γ假定為零。兩種可能的邊界條件Γslot被認(rèn)為是:(a)固定熱源，即(-kt)?n=q，(b)有一定溫度，即T=Tslot。兩種情況會(huì)導(dǎo)致兩種不同幾何分析引起的誤差的結(jié)果。 設(shè)T(x

8、，y)是未知的溫度場(chǎng)和K導(dǎo)熱。然后，散熱問(wèn)題可以通過(guò)泊松方程式表示: 其中H(x，y)是一些加權(quán)內(nèi)核?，F(xiàn)在考慮的問(wèn)題是幾何分析簡(jiǎn)化的插槽是簡(jiǎn)化之前分析，如圖3所示。 圖3defeatured二維熱傳導(dǎo)裝配模塊 現(xiàn)在有一個(gè)不同的邊值問(wèn)題，不同領(lǐng)域t(x，y): 觀察到的插槽的邊界條件為t(x，y)已經(jīng)消失了，因?yàn)椴垡呀?jīng)不存在了（關(guān)鍵性變化）! 解決的問(wèn)題是: 設(shè)定tdevice和t(x，y)的值，估計(jì)Tdevice。 這是一個(gè)較難的問(wèn)題，是我們尚未解決的。在這篇文章中，我們將從上限和下限分析Tdevice。這些方向是明確被俘引理3、4和3、6。至于其余的這一節(jié)，

9、我們將發(fā)展基本概念和理論，建立這兩個(gè)引理。值得注意的是，只要它不重疊，定位槽與相關(guān)的裝置或熱源沒(méi)有任何限制。上下界的Tdevice將取決于它們的相對(duì)位置。 3.2伴隨矩陣方法 我們需要的第一個(gè)概念是，伴隨矩陣公式表達(dá)法。應(yīng)用伴隨矩陣論點(diǎn)的微分積分方程，包括其應(yīng)用的控制理論，形狀優(yōu)化，拓?fù)鋬?yōu)化等。我們對(duì)這一概念歸納如下。 相關(guān)的問(wèn)題都可以定義為一個(gè)伴隨矩陣的問(wèn)題，控制伴隨矩陣t_(x，y)，必須符合下列公式計(jì)算〔23〕: 伴隨場(chǎng)t_(x，y)基本上是一個(gè)預(yù)定量，即加權(quán)裝置溫度控制的應(yīng)用熱源?？梢杂^察到，伴隨問(wèn)題的解決是復(fù)雜的原始問(wèn)題;控制方程是相同的;這些問(wèn)題就是所謂的自身伴隨矩陣。

10、大部分工程技術(shù)問(wèn)題的實(shí)際利益，是自身伴隨矩陣，就很容易計(jì)算伴隨矩陣。 另一方面，在幾何分析問(wèn)題中，伴隨矩陣發(fā)揮著關(guān)鍵作用。表現(xiàn)為以下引理綜述: 引理3.1已知和未知裝置溫度的區(qū)別，即(Tdevice-tdevice)可以歸納為以下的邊界積分比幾何分析插槽: 在上述引理中有兩點(diǎn)值得注意: 1、積分只牽涉到邊界гslot;這是令人鼓舞的?；蛟S，處理剛剛過(guò)去的被簡(jiǎn)化信息特點(diǎn)可以計(jì)算誤差。 2、右側(cè)牽涉到的未知區(qū)域T(x，y)的全功能的問(wèn)題。特別是第一周期涉及的差異，在正常的梯度，即涉及[-k(T-t)] ?n;這是一個(gè)已知數(shù)量邊界條件[-kt]?n所指定的時(shí)段，未知狄里克萊條件作出規(guī)定

11、[-kt]?n可以評(píng)估。在另一方面，在第二個(gè)周期內(nèi)涉及的差異，在這兩個(gè)領(lǐng)域，即T管; 因?yàn)閠可以評(píng)價(jià)，這是一個(gè)已知數(shù)量邊界條件T指定的時(shí)段。因此。 引理3.2、差額(tdevice-tdevice)不等式 然而，伴隨矩陣技術(shù)不能完全消除未知區(qū)域T(x，y)。為了消除T(x，y)我們把重點(diǎn)轉(zhuǎn)向單調(diào)分析。 3.3單調(diào)性分析 單調(diào)性分析是由數(shù)學(xué)家在19世紀(jì)和20世紀(jì)前建立的各種邊值問(wèn)題。例如，一個(gè)單調(diào)定理: "添加幾何約束到一個(gè)結(jié)構(gòu)性問(wèn)題，是指在位移(某些)邊界不減少"。 觀察發(fā)現(xiàn)，上述理論提供了一個(gè)定性的措施以解決邊值問(wèn)題。 后來(lái)，工程師利用之前的“計(jì)算機(jī)時(shí)代”上限或下限同樣的定

12、理，解決了具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。當(dāng)然，隨著計(jì)算機(jī)時(shí)代的到來(lái)，這些相當(dāng)復(fù)雜的直接求解方法已經(jīng)不為人所用。但是，在當(dāng)前的幾何分析，我們證明這些定理采取更為有力的作用，尤其應(yīng)當(dāng)配合使用伴隨理論。 我們現(xiàn)在利用一些單調(diào)定理，以消除上述引理T(x，y)。遵守先前規(guī)定，右邊是區(qū)別已知和未知的領(lǐng)域，即T(x，y)-t(x，y)。因此，讓我們?cè)诮缍ㄒ粋€(gè)領(lǐng)域E(x，y)在區(qū)域?yàn)? e(x，y)=t(x，y)-t(x，y)。 據(jù)悉，T(x，y)和T(x，y)都是明確的界定，所以是e(x，y)。事實(shí)上，從公式(1)和(3)，我們可以推斷，e(x，y)的正式滿足邊值問(wèn)題: 解決上述問(wèn)題就能解決所有問(wèn)題。但是，

13、如果我們能計(jì)算區(qū)域e(x，y)與正常的坡度超過(guò)插槽，以有效的方式，然后(Tdevice-tdevice)，就評(píng)價(jià)表示e(X，Y)的效率，我們現(xiàn)在考慮在上述方程兩種可能的情況如(a)及(b)。 例(a)邊界條件較第一插槽，審議本案時(shí)槽原本指定一個(gè)邊界條件。為了估算e(x，y)，考慮以下問(wèn)題: 因?yàn)橹蝗Q于縫隙，不討論域，以上問(wèn)題計(jì)算較簡(jiǎn)單。經(jīng)典邊界積分/邊界元方法可以引用。關(guān)鍵是計(jì)算機(jī)領(lǐng)域e1(x，y)和未知領(lǐng)域的e(x，y)透過(guò)引理3.3。這兩個(gè)領(lǐng)域e1(x，y)和e(x，y)滿足以下單調(diào)關(guān)系: 把它們綜合在一起，我們有以下結(jié)論引理。 引理3.4未知的裝置溫度Tdevice，當(dāng)

14、插槽具有邊界條件，東至以下限額的計(jì)算，只要求:(1)原始及伴隨場(chǎng)T和隔熱與幾何分析域(2)解決e1的一項(xiàng)問(wèn)題涉及插槽: 觀察到兩個(gè)方向的右側(cè)，雙方都是獨(dú)立的未知區(qū)域T(x，y)。 例(b) 插槽Dirichlet邊界條件 我們假定插槽都維持在定溫Tslot?？紤]任何領(lǐng)域，即包含域和插槽。界定一個(gè)區(qū)域e(x，y)在滿足: 現(xiàn)在建立一個(gè)結(jié)果與e-(x，y)及e(x，y)。 引理3.5 注意到，公式(7)的計(jì)算較為簡(jiǎn)單。這是我們最終要的結(jié)果。 引理3.6 未知的裝置溫度Tdevice，當(dāng)插槽有Dirichlet邊界條件，東至以下限額的計(jì)算，只要求:(1)原始及伴隨場(chǎng)T和

15、隔熱與幾何分析。(2) 圍繞插槽解決失敗了的邊界問(wèn)題，: 再次觀察這兩個(gè)方向都是獨(dú)立的未知領(lǐng)域T(x，y)。 4. 數(shù)值例子說(shuō)明 我們的理論發(fā)展，在上一節(jié)中，通過(guò)數(shù)值例子。設(shè) k = 5W/m?C, Q = 10 W/m3 and H = 。 表1:結(jié)果表 表1給出了不同時(shí)段的邊界條件。第一裝置溫度欄的共同溫度為所有幾何分析模式(這不取決于插槽邊界條件及插槽幾何分析)。接下來(lái)兩欄的上下界說(shuō)明引理3.4和3.6。最后一欄是實(shí)際的裝置溫度所得的全功能模式(前幾何分析)，是列在這里比較前列的。在全部例子中，我們可以看到最后一欄則是介于第二和第三列。T Tdevice

16、T 對(duì)于絕緣插槽來(lái)說(shuō)，Dirichlet邊界條件指出，觀察到的各種預(yù)測(cè)為零。不同之處在于這個(gè)事實(shí):在第一個(gè)例子，一個(gè)零Neumann邊界條件的時(shí)段，導(dǎo)致一個(gè)自我平衡的特點(diǎn)，因此，其對(duì)裝置基本沒(méi)什么影響。另一方面，有Dirichlet邊界條件的插槽結(jié)果在一個(gè)非自我平衡的特點(diǎn)，其缺失可能導(dǎo)致器件溫度的大變化在。 不過(guò)，固定非零槽溫度預(yù)測(cè)范圍為20度到0度。這可以歸因于插槽溫度接近于裝置的溫度，因此，將其刪除少了影響。 的確，人們不難計(jì)算上限和下限的不同Dirichlet條件插槽。圖4說(shuō)明了變化的實(shí)際裝置的溫度和計(jì)算式。 預(yù)測(cè)的上限和下限的實(shí)際溫度裝置表明理論是正確的。另外，跟預(yù)期結(jié)果一樣，

17、限制槽溫度大約等于裝置的溫度。 5. 快速分析設(shè)計(jì)的情景 我們認(rèn)為對(duì)所提出的理論分析"什么-如果"的設(shè)計(jì)方案，現(xiàn)在有著廣泛的影響。研究顯示設(shè)計(jì)如圖5，現(xiàn)在由兩個(gè)具有單一熱量能源的器件。如預(yù)期結(jié)果兩設(shè)備將不會(huì)有相同的平均溫度。由于其相對(duì)靠近熱源，該裝置的左邊將處在一個(gè)較高的溫度，。 圖4估計(jì)式versus插槽溫度圖 圖5雙熱器座 圖6正確特征可能性位置 為了消除這種不平衡狀況，加上一個(gè)小孔，固定直徑;五個(gè)可能的位置見(jiàn)圖6。兩者的平均溫度在這兩個(gè)地區(qū)最低。 強(qiáng)制進(jìn)行有限元分析每個(gè)配置。這是一個(gè)耗時(shí)的過(guò)程。另一種方法是把該孔作為一個(gè)特征，并研究其影響，作為后處理步驟。換言之，這是一個(gè)特殊的“幾何分析”例子，而擬議的方法同樣適用于這種情況。我們可以解決原始和伴隨矩陣的問(wèn)題，原來(lái)的配置(無(wú)孔)和使用的理論發(fā)展在前兩節(jié)學(xué)習(xí)效果加孔在每個(gè)位置是我們的目標(biāo)。目的是在平均溫度兩個(gè)裝置最大限度的差異。表2概括了利用這個(gè)理論和實(shí)際的價(jià)值。 從上表可以看到，位置W是最佳地點(diǎn)，因?yàn)樗凶畹途殿A(yù)期目標(biāo)的功能。