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1、,單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,生命表函數(shù)與生命表構造,第三章,本章重點,生命表函數(shù),生存函數(shù),剩余壽命,死亡效力,生命表的構造,有關壽命分布的參數(shù)模型,生命表的起源,生命表的構造,選擇與終極生命表,有關分數(shù)年齡的三種假定,第一節(jié),生命表函數(shù),分布函數(shù),一個人的壽命從出生到死亡的時間長度，是無法事先確定的，在概率上稱之為隨機變量，記為X。是連續(xù)型隨機變量。,生存函數(shù),定義,意義：新生兒能活到 歲的概率。,與分布函數(shù)的關系：,與密度函數(shù)的關系：,新生兒將在,x,歲至,z,歲之間死亡的概率：,剩余壽命,定義：已經(jīng)活到x歲的人（簡記(x)），

2、還能繼續(xù)存活的時間，稱為剩余壽命，記作T(x)。,T分布函數(shù)記為,剩余壽命,剩余壽命的生存函數(shù) ：,特別：,剩余壽命,：x歲的人至少能活到x+1歲的概率,：x歲的人將在1年內去世的概率,：X歲的人活過t年后在往后u年內去世的概率即在xt歲到xtu歲之間死亡的概率。,整值剩余壽命,定義：未來存活的完整年數(shù)，簡記,概率函數(shù),剩余壽命的期望與方差,期望剩余壽命：剩余壽命的期望值(均值),簡記,剩余壽命的期望與方差,剩余壽命的方差,整值剩余壽命的期望與方差,期望整值剩余壽命：整值剩余壽命的期望值(均值),簡記,整值剩余壽命的期望與方差,整值剩余壽命的方差,死亡效力,定義：的瞬時死亡率，簡記,死亡效力與

3、生存函數(shù)的關系,死亡效力與生存函數(shù)的關系,死亡效力,死亡效力與密度函數(shù)的關系,第二節(jié),生命表的構造,有關壽命分布的參數(shù)模型,De Moivre,模型(1729),Gompertze,模型(1825),有關壽命分布的參數(shù)模型,Makeham,模型(1860),Weibull,模型(1939),參數(shù)模型的問題,至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。這四個常用模型的擬合效果不令人滿意。,使用這些參數(shù)模型推測未來的壽命狀況會產生很大的誤差,壽險中通常不使用參數(shù)模型擬合壽命分布，而是使用非參數(shù)方法確定的生命表擬合人類壽命的分布。,在非壽險領域，常用參數(shù)模型擬合物體壽命的分布。,生命表起源,生命表的定

4、義,根據(jù)已往一定時期內各種年齡的死亡統(tǒng)計資料編制成的由每個年齡死亡率所組成的匯總表.,生命表的發(fā)展歷史,1662年,Jone Graunt,根據(jù)倫敦瘟疫時期的洗禮和死亡名單,寫過生命表的自然和政治觀察。這是生命表的最早起源。,1693年，,Edmund Halley,根據(jù),Breslau,城出生與下葬統(tǒng)計表對人類死亡程度的估計，在文中第一次使用了生命表的形式給出了人類死亡年齡的分布。人們因而把,Halley,稱為生命表的創(chuàng)始人。,生命表的特點,構造原理簡單、數(shù)據(jù)準確（大樣本場合）、不依賴總體分布假定（非參數(shù)方法）,生命表的構造,原理,在大數(shù)定理的基礎上，用觀察數(shù)據(jù)計算各年齡人群的生存概率。（用

5、頻數(shù)估計頻率）,常用符號,新生生命組個體數(shù)：,年齡：,極限年齡：,生命表的構造,個新生生命能生存到年齡,X,的期望個數(shù)：,個新生生命中在年齡,x,與,x+n,之間死亡的期望個數(shù)：,特別：,n=1,時，記作,生命表的構造,個新生生命在年齡,x,至,x+t,區(qū)間共存活年數(shù)：,個新生生命中能活到年齡,x,的個體的剩余壽命總數(shù)：,生命表實例（美國全體人口生命表）,年齡區(qū)間,死亡比例,期初生存數(shù),期間死亡數(shù),在年齡區(qū)間共存活年數(shù),剩余壽命總數(shù),期初存活者平均剩余壽命,天,0-1,.00463,100000,463,273,7387758,73.88,1-7,.00246,99537,245,1635,7

6、387485,74.22,7-28,.00139,99292,138,5708,7385850,74.38,年,0-1,.01260,10000,1260,98973,7387758,73.88,1-2,.00093,98740,92,98694,7288785,73.82,2-3,.00065,98648,64,98617,7190091,72.89,例3.1：,已知,計算下面各值：,（1）,（2）20歲的人在5055歲死亡的概率。,（3）該人群平均壽命。,例3.1答案,生命表的類型,國民生命表,經(jīng)驗生命表,國民生命表：是根據(jù)全國范圍內的人口統(tǒng)計資料構造出來的，反映的是一個特定時期內全國人口

7、的壽命分布情況。,經(jīng)驗生命表：是人壽保險公司經(jīng)營壽險業(yè)務死亡率的經(jīng)驗結果，它是以人壽保險公司的被保險人群體為對象。它分為終極表、選擇表和綜合表。,選擇-終極生命表,選擇-終極生命表構造的原因,需要構造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。,需要構造終極生命表的原因：選擇效力會隨時間而逐漸消失,選擇-終極生命表的使用,選擇-終極表實例,x,選擇表,終極表,70,.0175,.0249,.0313,.0388,.0474,.0545,75,71,.0191,.0272,.0342,.0424,.0518,.0596,76,72,.0209,.0297,.0

8、374,.0463,.0566,.0652,77,73,.0228,.0324,.0409,.0507,.0620,.0714,78,74,.0249,.0354,.0447,.0554,.0678,.0781,79,75,.0273,.0387,.0489,.0607,.0742,.0855,80,76,.0298,.0424,.0535,.0664,.0812,.0936,81,77,.0326,.0464,.0586,.0727,.0889,.1024,82,7,8,.03,57,.0,508,.0,641,.07,96,.0,973,.1,121,8,3,2.已知40歲的死亡率為0.04，41歲的死亡率為0.06，而42歲的人生存至43歲的概率為0.92.如果40歲生存人數(shù)為100人，求43歲時的生存人數(shù)。,