《（浙江專用版）2018-2019學年高中數學 第一章 三角函數 1.4.2 正弦函數、余弦函數的性質（二）學案 新人教A版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（浙江專用版）2018-2019學年高中數學 第一章 三角函數 1.4.2 正弦函數、余弦函數的性質（二）學案 新人教A版必修2（16頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 1．4.2　正弦函數、余弦函數的性質(二) 學習目標　1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值與最小值，并會求簡單三角函數的值域和最值.2.掌握y＝sin x，y＝cos x的單調性，并能利用單調性比較大小.3.會求函數y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的單調區(qū)間． 知識點一　正弦、余弦函數的定義域、值域 觀察下圖中的正弦曲線和余弦曲線． 正弦曲線： 余弦曲線： 可得如下性質： 由正弦、余弦曲線很容易看出正弦函數、余弦函數的定義域都是實數集R，值域都是[－1,1]． 對于正弦函數y＝sin x，x∈R，有： 當且僅當x＝＋2kπ，k∈Z時

2、，取得最大值1； 當且僅當x＝－＋2kπ，k∈Z時，取得最小值－1. 對于余弦函數y＝cos x，x∈R，有： 當且僅當x＝2kπ，k∈Z時，取得最大值1； 當且僅當x＝(2k＋1)π，k∈Z時，取得最小值－1. 知識點二　正弦、余弦函數的單調性 思考1　觀察正弦函數y＝sin x，x∈的圖象．正弦函數在上函數值的變化有什么特點？推廣到整個定義域呢？ 答案　觀察圖象可知： 當x∈時，曲線逐漸上升，是增函數，sin x的值由－1增大到1； 當x∈時，曲線逐漸下降，是減函數，sin x的值由1減小到－1. 推廣到整個定義域可得 當x∈(k∈Z)時，正弦函數y＝sin x是

3、增函數，函數值由－1增大到1； 當x∈(k∈Z)時，正弦函數y＝sin x是減函數，函數值由1減小到－1. 思考2　觀察余弦函數y＝cos x，x∈[－π，π]的圖象． 余弦函數在[－π，π]上函數值的變化有什么特點？推廣到整個定義域呢？ 答案　觀察圖象可知： 當x∈[－π，0]時，曲線逐漸上升，函數是增函數，cos x的值由－1增大到1； 當x∈[0，π]時，曲線逐漸下降，函數是減函數，cos x的值由1減小到－1. 推廣到整個定義域可得 當x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z時，余弦函數y＝cos x是增函數，函數值由－1增大到1； 當x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k

4、∈Z時，余弦函數y＝cos x是減函數，函數值由1減小到－1. 思考3　正弦函數、余弦函數的單調區(qū)間是什么？ 答案　 y＝sin x的增區(qū)間為，k∈Z，減區(qū)間為，k∈Z. y＝cos x的增區(qū)間為[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，減區(qū)間為[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z. 梳理　 解析式 y＝sin x y＝cos x 圖象 值域 [－1,1] [－1,1] 單調性 在，k∈Z上遞增，在，k∈Z上遞減 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上遞增， 在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上遞減 最值 當x＝＋2kπ，k∈Z時，ymax＝1；當x＝－＋2kπ，k∈Z

5、時，ymin＝－1 當x＝2kπ，k∈Z時，ymax＝1；當x＝π＋2kπ，k∈Z時，ymin＝－1 1．正弦函數在定義域上是單調函數．(　×　) 提示　正弦函數不是定義域上的單調函數． 2．正弦函數在第一象限是增函數．(　×　) 提示　正弦函數在第一象限不是增函數，因為在第一象限，如－<，但sin＝sin ＝，sin ＝，sin>sin . 3．存在實數x，使得cos x＝.(　×　) 提示　余弦函數最大值為1. 4．余弦函數y＝cos x在[0，π]上是減函數．(　√　) 提示　由余弦函數的單調性可知正確． 類型一　求正弦、余弦函數的單調區(qū)間 例1　求函數

6、y＝2sin的單調遞增區(qū)間． 考點　正弦函數、余弦函數的單調性 題點　正弦函數、余弦函數單調性的判斷 解　y＝2sin＝－2sin， 令z＝x－，則y＝－2sin z. 因為z是x的一次函數，所以要求y＝－2sin z的單調遞增區(qū)間，即求sin z的單調遞減區(qū)間， 即2kπ＋≤z≤2kπ＋(k∈Z)． ∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)， 即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)， ∴函數y＝2sin的單調遞增區(qū)間為(k∈Z)． 反思與感悟　用整體替換法求函數y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的單調區(qū)間時，如果式子中x的系數為負數，先利用誘導公式將x的系數變?yōu)檎?/p>

7、數再求其單調區(qū)間．求單調區(qū)間時，需將最終結果寫成區(qū)間形式． 跟蹤訓練1　求函數f(x)＝2cos的單調遞增區(qū)間． 考點　正弦函數、余弦函數的單調性 題點　正弦函數、余弦函數單調性的判斷 解　令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間是，k∈Z. 類型二　正弦、余弦函數單調性的應用 命題角度1　利用正、余弦函數的單調性比較大小 例2　利用三角函數的單調性，比較下列各組數的大?。? (1)sin 196°與cos 156°； (2)cos與cos. 考點　正弦函數、余弦函數的單調性 題點　正弦函數、余弦函

8、數單調性的應用 解　(1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°. ∵0°<16°<66°<90°，且y＝sin x在[0°，90°]上是增函數， ∴sin 16°－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (2)cos＝cos π＝cos＝cos π， cos＝cos π＝cos＝cos . ∵0<<π<π，且y＝cos x在[0，π]上是減函數， ∴cos π

9、函數或余弦函數的單調性比較大小時，應先將異名化同名，把不在同一單調區(qū)間內的角用誘導公式轉化到同一單調區(qū)間，再利用單調性來比較大?。? 跟蹤訓練2　cos 1，cos 2，cos 3的大小關系是________．(用“>”連接) 考點　正弦函數、余弦函數的單調性 題點　正弦函數、余弦函數單調性的應用 答案　cos 1>cos 2>cos 3 解析　由于0<1<2<3<π，而y＝cos x在[0，π)上單調遞減，所以cos 1>cos 2>cos 3. 命題角度2　已知三角函數的單調性求參數范圍 例3　已知ω是正數，函數f(x)＝2sin ωx在區(qū)間上是增函數，求ω的取值范圍． 考點

10、　正弦函數、余弦函數的單調性 題點　正弦函數、余弦函數單調性的應用 解　由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，ω>0，得 －＋≤x≤＋，k∈Z， ∴f(x)的單調遞增區(qū)間是，k∈Z. 根據題意，得?(k∈Z)， 從而有解得0<ω≤. 故ω的取值范圍是. 反思與感悟　此類問題可先解出f(x)的單調區(qū)間，將問題轉化為集合間的包含關系，然后列不等式組求出參數范圍． 跟蹤訓練3　已知ω>0，函數f(x)＝sin在上單調遞減，則ω的取值范圍是(　　) A. B. C. D．(0,2] 考點　正弦函數、余弦函數的單調性 題點　正弦函數、余弦函數單調性的應用 答案　A

11、 解析　取ω＝，f(x)＝sin， 其減區(qū)間為，k∈Z， 顯然?，k∈Z，排除B，C. 取ω＝2，f(x)＝sin， 其減區(qū)間為，k∈Z， 顯然?，k∈Z，排除D. 類型三　正弦、余弦函數的值域或最值 例4　求函數f(x)＝2sin2x＋2sin x－，x∈的值域． 考點　正弦函數、余弦函數的最大值與最小值 題點　正弦函數的最大值與最小值 解　令t＝sin x，因為x∈， 所以t∈，則f(x)可化為 y＝2t2＋2t－＝22－1，t∈， 所以當t＝時，ymin＝1， 當t＝1時，ymax＝， 故f(x)的值域是. 反思與感悟　一般函數的值域求法有：觀察法、配

12、方法、判別式法、反比例函數法等．三角函數是函數的特殊形式，一般方法也適用，但要結合三角函數本身的性質． 常見的三角函數求值域或最值的類型有以下幾種： (1)形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函數，令t＝ωx＋φ，根據題中x的取值范圍，求出t的取值范圍，再利用三角函數的單調性、有界性求出y＝sin t的最值(值域)． (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函數，可先設t＝sin x，將函數y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化為關于t的二次函數y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根據二次函數的單調性求值域(最值)． (3)對于形如y＝asin x(或y＝acos

13、x)的函數的最值還要注意對a的討論． 跟蹤訓練4　已知函數f(x)＝2asin x＋b的定義域為，函數的最大值為1，最小值為－5，求a和b的值． 考點　正弦函數、余弦函數的最大值與最小值 題點　正弦函數的最大值與最小值 解　∵－≤x≤，∴－≤sin x≤1. 若a＝0，不滿足題意． 若a＞0，則解得 若a＜0，則解得 故a＝12－6，b＝－23＋12或a＝－12＋6，b＝19－12. 1．函數y＝cos x－1的最小值是(　　) A．0 B．1 C．－2 D．－1 考點　正弦函數、余弦函數的最大值與最小值 題點　余弦函數的最大值與最小值 答案　C 解析　c

14、os x∈[－1,1]，所以y＝cos x－1的最小值為－2. 2．函數y＝sin 2x的單調遞減區(qū)間是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 考點　正弦函數、余弦函數的單調性 題點　正弦函數、余弦函數單調性的判斷 答案　B 解析　由2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， ∴y＝sin 2x的單調遞減區(qū)間是(k∈Z)． 3．下列不等式中成立的是(　　) A．sin>sin B．sin 3>sin 2 C．sin π>sin D．sin 2>cos 1 考點　正弦函數、余弦函數的單調性 題點　正弦函

15、數、余弦函數單調性的應用 答案　D 解析　∵sin 2＝cos＝cos， 且0<2－<1<π，∴cos>cos 1， 即sin 2>cos 1.故選D. 4．函數y＝cos x在區(qū)間[－π，a]上為增函數，則a的取值范圍是________． 考點　正弦函數、余弦函數的單調性 題點　正弦函數、余弦函數單調性的應用 答案　(－π，0] 解析　因為y＝cos x在[－π，0]上是增函數，在[0，π]上是減函數，所以只有－π

16、　正弦函數的最大值與最小值 解　∵－1≤sin x≤1， ∴當sin x＝－1，x＝2kπ－，k∈Z， 即x＝4kπ－π，k∈Z時，ymax＝5， 此時自變量x的集合為{x|x＝4kπ－π，k∈Z}； 當sin x＝1，x＝2kπ＋，k∈Z， 即x＝4kπ＋π，k∈Z時，ymin＝1， 此時自變量x的集合為{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}． 1．求函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的單調區(qū)間的方法把ωx＋φ看成一個整體，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間

17、．若ω<0，先利用誘導公式把ω轉化為正數后，再利用上述整體思想求出相應的單調區(qū)間． 2．比較三角函數值的大小，先利用誘導公式把問題轉化為同一單調區(qū)間上的同名三角函數值的大小比較，再利用單調性作出判斷． 3．求三角函數值域或最值的常用方法 將y表示成以sin x(或cos x)為元的一次或二次等復合函數，再利用換元或配方或利用函數的單調性等來確定y的范圍. 一、選擇題 1．當－≤x≤時，函數f(x)＝2sin有(　　) A．最大值1，最小值－1 B．最大值1，最小值－ C．最大值2，最小值－2 D．最大值2，最小值－1 考點　正弦函數、余弦函數的最大值與最小值 題點

18、　正弦函數的最大值與最小值 答案　D 解析　因為－≤x≤，所以－≤x＋≤， 所以－≤sin≤1，所以－1≤f(x)≤2. 2．下列函數中，周期為π，且在上為減函數的是(　　) A．y＝sin B．y＝cos C．y＝sin D．y＝cos 考點　正弦函數、余弦函數的單調性 題點　正弦函數、余弦函數單調性的判斷 答案　A 3．下列關系式中正確的是(　　) A．sin 11°

19、11° 考點　正弦函數、余弦函數的單調性 題點　正弦函數、余弦函數單調性的應用 答案　C 解析　∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°. ∴由正弦函數的單調性，得sin 11°

20、，y＝取得最小值－2. 5．(2017·全國Ⅲ)函數f(x)＝sin＋cos的最大值為(　　) A. B．1 C. D. 考點　正弦函數、余弦函數的最大值與最小值 題點　正弦函數的最大值與最小值 答案　A 解析　∵＋＝， ∴f(x)＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝sin＋sin ＝sin≤. ∴f(x)max＝. 故選A. 6．函數y＝sin x的定義域為[a，b]，值域為，則b－a的最大值與最小值之和等于(　　) A. B. C．2π D．4π 考點　正弦函數、余弦函數的最大值與最小值 題點　正弦函數的最大值與最小值 答案　C 解析　作出

21、y＝sin x的一個簡圖，如圖所示， ∵函數的值域為， 且sin ＝sin ＝，sin ＝－1， ∴定義域[a，b]中，b－a的最小值為－＝， 定義域[a，b]中，b－a的最大值為2π＋－＝， 故可得，最大值與最小值之和為2π. 7．若函數f(x)＝sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，則ω的值可為(　　) A. B. C．2 D．3 考點　正弦函數、余弦函數的單調性 題點　正弦函數、余弦函數單調性的應用 答案　A 解析　由題意知，＝，即T＝，＝， ∴ω＝. 二、填空題 8．sin 1，sin 2，sin 3按從小到大排列的順序為_

22、_________． 考點　正弦函數、余弦函數的單調性 題點　正弦函數、余弦函數單調性的應用 答案　sin 3

23、[0,2]． 10．(2017·紹興柯橋區(qū)期末)函數y＝cos的單調遞增區(qū)間為____________________． 考點　正弦函數、余弦函數的單調性 題點　正弦函數、余弦函數單調性的判斷 答案　(k∈Z) 11．若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在區(qū)間上的最大值是，則ω＝________. 考點　正弦函數、余弦函數的最大值與最小值 題點　正弦函數的最大值與最小值 答案　 解析　∵x∈，即0≤x≤，且0<ω<1， ∴0≤ωx≤<， ∵f(x)max＝2sin ＝， ∴sin ＝，＝， 即ω＝. 三、解答題 12．求下列函數的單調遞增區(qū)間． (1)y＝1

24、－sin ；(2)y＝sin. 考點　正弦函數、余弦函數的單調性 題點　正弦函數、余弦函數單調性的判斷 解　(1)由2kπ＋≤≤2kπ＋π，k∈Z， 得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π，k∈Z. ∴y＝1－sin 的單調遞增區(qū)間為[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z)． (2)要求函數y＝sin的單調遞增區(qū)間， 即求使y＝sin>0且單調遞減的區(qū)間． ∴2kπ＋≤－<2kπ＋π，k∈Z， 整理得4kπ＋≤x<4kπ＋，k∈Z. ∴函數y＝sin的單調遞增區(qū)間為，k∈Z. 13．求下列函數的最大值和最小值． (1)f(x)＝sin，x∈； (2)f(x)＝－2cos2x＋2

25、sin x＋3，x∈. 考點　正弦函數、余弦函數的最大值與最小值 題點　正弦函數、余弦函數最值的綜合問題 解　(1)當x∈時，2x－∈， 由函數圖象知， f(x)＝sin∈＝. 所以，f(x)在上的最大值和最小值分別為1，－. (2)f(x)＝－2(1－sin2x)＋2sin x＋3 ＝2sin2x＋2sin x＋1＝22＋. 因為x∈，所以≤sin x≤1. 當sin x＝1時，ymax＝5； 當sin x＝時，ymin＝. 所以，f(x)在上的最大值和最小值分別為5，. 四、探究與拓展 14．已知奇函數f(x)在[－1,0]上單調遞減，α，β為銳角三角形兩內角，

26、則(　　) A．f(cos α)>f(cos β) B．f(sin α)>f(sin β) C．f(sin α)>f(cos β) D．f(sin α)，∴>α>－β>0， ∴sin α>sin，即1>sin α>cos β>0， ∴－1<－sin α<－cos β<0. ∵奇函數f(x)在[－1,0]上單調遞減， ∴f(－sin α)>f(－cos β)， ∴－f(sin α)>－f(cos β)，∴f(sin α)0，∴f(x)max＝a＋b＝， f(x)min＝－a＋b＝－2. 由得 16