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第33屆全國中學(xué)生物理競賽決賽理論考試試題 可能用到的物理常量和公式： 真空中的光速； 地球表面重力加速度大小為； 普朗克常量為，； 。 1、（15分）山西大同某煤礦相對(duì)于秦皇島的高度為。質(zhì)量為的火車載有質(zhì)量為的煤，從大同沿大秦鐵路行駛路程后到達(dá)秦皇島，卸載后空車返回。從大同到秦皇島的過程中，火車和煤總勢(shì)能的一部分克服鐵軌和空氣做功，其余部分由發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)換成電能，平均轉(zhuǎn)換效率為，電能被全部存儲(chǔ)于蓄電池中以用于返程?？哲囋诜党讨杏蓛?chǔ)存的電能驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)克服重力和阻力做功，儲(chǔ)存的電能轉(zhuǎn)化為對(duì)外做功的平均轉(zhuǎn)換效率為。假設(shè)大秦線軌道上火車平均每運(yùn)行單位距離克服阻力需要做的功與運(yùn)行時(shí)（火車或火車和煤）總重量成正比，比例系數(shù)為常數(shù)，火車由大同出發(fā)時(shí)攜帶的電能為零。 （1）若空車返回大同時(shí)還有剩余的電能，求該電能。 （2）問火車至少裝載質(zhì)量為多少的煤，才能在不另外提供能量的條件下剛好返回大同？ （3）已知火車在從大同到達(dá)秦皇島的鐵軌上運(yùn)行的平均速率為，請(qǐng)給出發(fā)電機(jī)的平均輸出功率與題給的其它物理量的關(guān)系。 2、（15分）如圖a，AB為一根均質(zhì)細(xì)桿，質(zhì)量為，長度為；桿上端B通過一不可伸長的軟輕繩懸掛到固定點(diǎn)，繩長為。開始時(shí)繩和桿均靜止下垂，此后所有運(yùn)動(dòng)均在同一豎直面內(nèi)。 （1）現(xiàn)對(duì)桿上的D點(diǎn)沿水平方向施加一瞬時(shí)沖量，若在施加沖量后的瞬間，B點(diǎn)繞懸點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和桿繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同，求D點(diǎn)到B點(diǎn)的距離和B點(diǎn)繞懸點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的初始角速度。 （2）設(shè)在某時(shí)候，繩和桿與豎直方向的夾角分別為和（如圖b所示），繩繞固定點(diǎn)和桿繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度分別為和，求繩繞固定點(diǎn)和桿繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度和 3、（15分）火星大氣可視為僅由很稀薄的組成，此大氣的摩爾質(zhì)量記為，且同一高度的大氣可視為處于平衡態(tài)的理想氣體?；鹦琴|(zhì)量為（遠(yuǎn)大于火星大氣總質(zhì)量），半徑為。假設(shè)火星大氣的質(zhì)量密度與距離火星表面的高度的關(guān)系為 其中為常量，為常數(shù)。 （1）求火星大氣溫度隨高度變化的表達(dá)式。 （2）為了對(duì)火星表面進(jìn)行探測(cè)，需將一質(zhì)量為、質(zhì)量密度較大的著陸器釋放到火星表面。在某一遠(yuǎn)小于的高度處將該著陸器由靜止開始釋放，經(jīng)過時(shí)間，著陸器落到火星表面。在著陸器下降過程中，著陸器沒有轉(zhuǎn)動(dòng)，火星的重力加速度和大氣密度均可視為與它們?cè)诨鹦潜砻娴闹迪嗟?。?dāng)著陸器下降速度大小為時(shí)，它受到的大氣阻力正比于大氣密度和的乘積，比例系數(shù)為常量。求著陸器在著陸前瞬間速度的大小。 4、（15分）具有一定能量、動(dòng)量的光子還具有角動(dòng)量。圓偏振光的光子的角動(dòng)量大小為。光子被物體吸收后，光子的能量、動(dòng)量和角動(dòng)量就全部傳給物體。物體吸收光子獲得的角動(dòng)量可以使物體轉(zhuǎn)動(dòng)。科學(xué)家利用這一原理，在連續(xù)的圓偏振激光照射下，實(shí)現(xiàn)了納米顆粒的高速轉(zhuǎn)動(dòng)，獲得了迄今為止液體環(huán)境中轉(zhuǎn)速最高的微尺度轉(zhuǎn)子。 如圖，一金納米球顆粒放置在兩片水平光滑玻璃平板之間，并整體（包括玻璃平板）浸在水中。一束圓偏振激光從上往下照射到金納米顆粒上。已知該束入射激光在真空中的波長，經(jīng)顯微鏡聚焦后（仍假設(shè)為平面波，每個(gè)光子具有沿傳播方向的角動(dòng)量）光斑直徑，功率。金納米球顆粒的半徑，金的密度。忽略光在介質(zhì)界面上的反射以及玻璃、水對(duì)光的吸收等損失，僅從金納米顆粒吸收光子獲得角動(dòng)量驅(qū)動(dòng)其轉(zhuǎn)動(dòng)的角度分析下列問題（計(jì)算結(jié)果取3位有效數(shù)字）； （1）求該束激光的頻率和光強(qiáng)（在傳播方向上單位橫截面積所傳輸?shù)墓β剩? （2）給出金納米球顆粒的質(zhì)量和它繞其對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的值。 （3）假設(shè)顆粒對(duì)光的吸收截面（顆粒吸收的光功率與入射光強(qiáng)之比）為，求該束激光作用在顆粒上沿旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸的力矩的大小。 （4）已知一個(gè)以角速度旋轉(zhuǎn)的球形顆粒（半徑為）在粘滯系數(shù)為的液體中收到的粘滯摩擦力矩大小為。已知水的粘滯系數(shù)，求金納米球顆粒在此光束照射下達(dá)到穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)的轉(zhuǎn)速（轉(zhuǎn)數(shù)/秒） （5）取光開始照到處于靜止?fàn)顟B(tài)的金納米顆粒的瞬間為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，求在任意時(shí)刻該顆粒轉(zhuǎn)速的表達(dá)式。 （6）若把入射激光束換成方波脈沖激光束，脈沖寬度為（此期間內(nèi)光強(qiáng)仍為），脈沖之間的間歇時(shí)間為。取第一個(gè)脈沖的光開始照到顆粒的時(shí)刻為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，求第個(gè)完整脈沖周期后的瞬間顆粒的轉(zhuǎn)速的表達(dá)式，并給出轉(zhuǎn)速極限的表達(dá)式。 5、（20分）許多賽車上都裝有可調(diào)節(jié)的導(dǎo)流翼片，可以為水平道路上的賽車提供豎直向上或向下的附加壓力。如果賽車速度的大小為，則上述壓力的大小為，為一常量。當(dāng)導(dǎo)流翼片的前方上翹時(shí)，壓力方向向上；當(dāng)導(dǎo)流翼片的后方上翹時(shí)，壓力方向向下。賽車在運(yùn)動(dòng)過程中受到迎面空氣的阻力，阻力大小為，為一常量。已知賽車質(zhì)量為，輪胎與路面之間的靜摩擦系數(shù)為。 （1）賽車在水平直道上勻速行駛時(shí)，考慮到在運(yùn)動(dòng)過程中輪胎的形變，路面會(huì)對(duì)賽車形成阻力，阻力大小與車對(duì)路面的正壓力大小成正比，比例系數(shù)為。若導(dǎo)流翼片被調(diào)至前方上翹，當(dāng)賽車速度大小為多大時(shí)，賽車發(fā)動(dòng)機(jī)輸出功率最大？最大輸出功率為多少？ （2）不考慮賽車在運(yùn)動(dòng)過程中輪胎的形變所引起的地面阻力，求當(dāng)賽車在水平地面內(nèi)沿半徑為的圓形道路上勻速行駛、且不駛離路面發(fā)生滑動(dòng)或者飛離地面時(shí)所允許的速率最大值。在此情況下，導(dǎo)流翼片應(yīng)被調(diào)至前方上翹還是后方上翹，可以更大？假設(shè)賽車發(fā)動(dòng)機(jī)的輸出功率可以足夠大。 6、（20分）Hyperloop是一款利用膠囊狀的運(yùn)輸車在水平管道中的快速運(yùn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)超高速運(yùn)輸?shù)南到y(tǒng)（見圖a）。它采用了“氣墊”技術(shù)和“直線電動(dòng)機(jī)”原理。 “氣墊”技術(shù)是將內(nèi)部高壓氣體從水平放置的運(yùn)輸車下半部的細(xì)孔快速噴出（見圖b），以至于整個(gè)運(yùn)輸車被托離管壁非常小的距離，從而可忽略摩擦。運(yùn)輸車橫截面是半徑為的圓，運(yùn)輸車下半部壁上均勻分布有沿徑向的大量細(xì)孔，單位面積內(nèi)細(xì)孔個(gè)數(shù)為，單個(gè)細(xì)孔面積為。運(yùn)輸車長度為，質(zhì)量為。氣體的流動(dòng)可認(rèn)為遵從伯努利方程，且溫度不變，細(xì)孔出口處氣體的壓強(qiáng)為較低的環(huán)境壓強(qiáng)。 如圖c，在水平管道中固定有兩條平行的水平光滑供電導(dǎo)軌（粗實(shí)線），運(yùn)輸車上固定有與導(dǎo)軌垂直的兩根導(dǎo)線（細(xì)實(shí)線）；導(dǎo)軌橫截面為圓形，半徑為，電阻率為，兩導(dǎo)軌軸線間距為；兩根導(dǎo)線的粗細(xì)可忽略，間距為；每根導(dǎo)線電阻是長度為的導(dǎo)軌電阻的2倍。兩導(dǎo)線和導(dǎo)軌軸線均處于同一水平面內(nèi)。導(dǎo)軌、導(dǎo)線電接觸良好，且所有接觸電阻均可忽略。 （1）求內(nèi)部高壓氣體壓強(qiáng)為多大時(shí)運(yùn)輸車才剛好能被托起？ （2）如圖d所示，當(dāng)運(yùn)輸車進(jìn)站時(shí)，運(yùn)輸車以速度沿水平光滑導(dǎo)軌進(jìn)勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場邊界與導(dǎo)線平行，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為，方向垂直于導(dǎo)軌-導(dǎo)線平面向下。當(dāng)兩根導(dǎo)線全都進(jìn)入磁場后，求運(yùn)輸車滑動(dòng)速度的大小。 （3）當(dāng)運(yùn)輸車靜止在水平光滑導(dǎo)軌上準(zhǔn)備離站時(shí)，在導(dǎo)線2后間距為處接通固定在導(dǎo)軌上電動(dòng)勢(shì)為的恒壓直流電源（見圖e）。設(shè)電源體積及其所連導(dǎo)線的電阻可以忽略，求剛接通電源時(shí)運(yùn)輸車的加速度的大小。 已知某恒流閉合回路中的一圓柱型直導(dǎo)線段，電流沿橫截面均勻分布，如圖f所示，其在空間中距導(dǎo)線軸線距離為的某點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直于此點(diǎn)和導(dǎo)線軸線構(gòu)成的平面，大小可用下式近似計(jì)算 其中為電流，是此點(diǎn)與導(dǎo)線軸線兩端連線與導(dǎo)線軸線的夾角。 可能用到的積分公式 ，其中均為正數(shù) 7、（20分）愛因斯坦引力理論預(yù)言物質(zhì)分布的變化會(huì)導(dǎo)致時(shí)空幾何機(jī)構(gòu)的波動(dòng)——引力波。為簡明起見，考慮沿軸傳播的平面引力波。對(duì)于任意給定的，在二維空間中兩個(gè)無限近鄰點(diǎn)和之間的距離的表達(dá)式為 引力波體現(xiàn)為和的變化(波動(dòng))。 (1)假設(shè)一列平面引力波傳來時(shí)，和可表示為 式中，和分別是波的振幅和頻率，是引力波的傳播速度(其值等于光速)。 (i) 無引力波穿過時(shí)，在平面上，在原點(diǎn)處和與點(diǎn)距離為、與軸夾角為處各放置一個(gè)微探測(cè)器。求當(dāng)所考慮的引力波穿過時(shí)，兩個(gè)探測(cè)器之間的距離相對(duì)于的偏離的近似表達(dá)式。 (ii) 設(shè)無引力波穿過時(shí)，在平面上，在以為半徑、原點(diǎn)為圓心的圓周上放置了一個(gè)微探測(cè)器陣列。當(dāng)前述引力波存在時(shí)，可將空間坐標(biāo)重新定義為，使得二維空間中近鄰兩點(diǎn)和距離為。求對(duì)于給定的時(shí)刻，微探測(cè)器陣列在新定義的坐標(biāo)系中的分布形狀。 (iii) 若一列平面引力波 和另一列平面引力波 同時(shí)沿軸正向傳播，問、滿足什么條件，可使引力波對(duì)原點(diǎn)處和二維空間中坐標(biāo)為的點(diǎn)處的兩個(gè)微探測(cè)器之間的距離的擾動(dòng)的振幅達(dá)到最大或者最小？ (2)假定引力波的波源為雙星系統(tǒng)。設(shè)雙星系統(tǒng)兩星體質(zhì)量均為。取雙星系統(tǒng)的質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙星系統(tǒng)在二維空間中旋轉(zhuǎn)。已知在特定條件下，和可近似表示為 式中為引力常量，為在軸上引力波探測(cè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離（遠(yuǎn)大于雙星系統(tǒng)中兩星體之間的距離），而 為兩星體在其質(zhì)心系中的坐標(biāo)。已知該引力波的頻率為，假設(shè)引力波輻射對(duì)雙星系統(tǒng)軌道運(yùn)動(dòng)的影響可忽略，求和在探測(cè)點(diǎn)處的振幅。（雙星運(yùn)動(dòng)軌道計(jì)算可應(yīng)用牛頓力學(xué)） 8、（20分）電子偶素原子是由電子與正電子（電子的反粒子，其質(zhì)量與電子相同，電荷與電子大小相等、符號(hào)相反）組成的量子束縛體系，其能級(jí)可類比氫原子能級(jí)得出。根據(jù)波爾氫原子理論，電子繞質(zhì)子的圓周運(yùn)動(dòng)軌道角動(dòng)量的取值是量子化的，即為的整數(shù)倍?？紤]到質(zhì)子的質(zhì)量是有限的，氫原子量子化條件應(yīng)修正為：電子與質(zhì)子質(zhì)心系中相對(duì)其質(zhì)心的總軌道角動(dòng)量取值為的整數(shù)倍。這一量子化條件可直接推廣到其它兩體束縛體系，如電子偶素等。以下計(jì)算結(jié)果均保留四位有效數(shù)字。 （1）寫出電子偶素基態(tài)能量。 （2）電子偶素基態(tài)原子不穩(wěn)定，可很快發(fā)生湮滅而生成兩個(gè)光子： 當(dāng)基態(tài)電子偶素原子相對(duì)于實(shí)驗(yàn)室參照系以遠(yuǎn)小于光速的某速度運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)生湮滅，在相對(duì)于該速度方向的偏角為的方向上觀測(cè)到生成的一個(gè)光子，同時(shí)在相對(duì)于光子速度反方向的偏角為的方向上觀測(cè)到另一個(gè)光子，如圖所示。 （i）求基態(tài)電子偶素原子速度的大小、兩個(gè)光子和的能量和的表達(dá)式；并給出當(dāng)、時(shí)、和的值。 （ii）求基態(tài)電子偶素原子靜止時(shí)，求兩個(gè)光子、各自的能量、與單個(gè)自由電子靜能之差。 （3）當(dāng)基態(tài)電子偶素原子相對(duì)于實(shí)驗(yàn)室參照系以與光速可比擬的速度運(yùn)動(dòng)時(shí)湮滅生成兩個(gè)光子，求生成的兩個(gè)光子和的能量和、以及光子的運(yùn)動(dòng)方向相對(duì)于的方向的偏角（如圖所示）與之間的關(guān)系式；并給出當(dāng)、時(shí)、和的值。 已知：氫原子基態(tài)能量，電子質(zhì)量，質(zhì)子與電子質(zhì)量之比為1836.