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1、 符號表達(dá)式、符號矩陣的創(chuàng)建 符號線性代數(shù) 因式分解、展開和簡化 符號代數(shù)方程求解 符號微積分 符號微分方程什么是符號運算與數(shù)值運算的區(qū)別 數(shù)值運算中必須先對變量賦值，然后才能參與運算。符號運算無須事先對獨立變量賦值，運算結(jié)果以標(biāo)準(zhǔn)的符號形式表達(dá)。特點：運算對象可以是沒賦值的符號變量 可以獲得任意精度的解 Symbolic Math Toolbox符號運算工具包通過調(diào)用Maple軟件實現(xiàn)符號計算的。maple軟件主要功能是符號運算，它占據(jù)符號軟件的主導(dǎo)地位。語法格式1：sym(arg);其中，arg：數(shù)字，字符串或表達(dá)式；f=sym(sin(x)+5x)f 符號變量名sin(x)+5x 符號表

2、達(dá)式 符號標(biāo)識v符號表達(dá)式一定要用 單引號括起來matlab才能識別。的內(nèi)容可以是符號表達(dá)式，也可以是符號方程。例：f1=sym(ax2+bx+c)二次三項式 f2=sym(ax2+bx+c=0)方程 f3=sym(Dy+y2=1)微分方程符號表達(dá)式或符號方程可以賦給符號變量，以后調(diào)用方便；也可以不賦給符號變量直接參與運算語法格式2：(1)syms a b c x y;%創(chuàng)建多個符號變量 f1=a*x2+b*x+c*y;%等價于f1=sym(a*x2+b*x+c*y)(2)syms(a,b,c,x,y);%創(chuàng)建多個符號變量 f2=a*x2+b*x+c*y;3.符號矩陣的創(chuàng)建 數(shù)值矩陣A=1,2

3、;3,4 A=a,b;c,d 不識別用matlab函數(shù)sym創(chuàng)建矩陣（symbolic 的縮寫)命令格式：A=sym()符號矩陣內(nèi)容同數(shù)值矩陣 需用sym指令定義 需用 標(biāo)識例如：A=sym(a,2*b;3*a,0)A=a,2*b 3*a,0 這就完成了一個符號矩陣的創(chuàng)建。注意：符號矩陣的每一行的兩端都有方 括號，這是與 matlab數(shù)值矩陣的 一個重要區(qū)別。a.指令修改v 用A1=subs(A,old,new)來修改v A(*,*)=new例如：例如：A=a,2*b 3*a,0A(2,2)=8*b;A3=AA3=a,2*b 3*a,8*bA2=subs(A,b,c)A2=a,2*c 3*a,

4、0 v將數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)化為符號矩陣 函數(shù)調(diào)用格式：sym(A)A=1/3,2.5;1/0.7,2/5A=sym(A)ans=1/3,5/210/7,2/5v將符號矩陣轉(zhuǎn)化為數(shù)值矩陣函數(shù)調(diào)用格式：double(A),eval(A)A=1/3,5/210/7,2/5eval(A)ans=符號表達(dá)式的基本運算新版Matlab利用重載技術(shù)，其基本運算符號與數(shù)值計算中的算符幾乎完全相同。（1）基本算符：+,-,*,/,分別實現(xiàn)矩陣的加、減、乘、右除、左除和求冪運算。算符.*,./,.,.分別實現(xiàn)元素對元素的乘、除和求冪。算符和.分別實現(xiàn)矩陣的共軛轉(zhuǎn)置和非共軛轉(zhuǎn)置。（2）關(guān)系運算符：在符號對象的比較中沒有“大

5、于”、“大于等于”，“小于”，“小于等于”的概念而只有“等于”和“不等于”，分別表示為“=”和“=”，比較的結(jié)果用1表示真，0表示假。符號表達(dá)式的基本運算 新版Matlab利用重載技術(shù)，其基本運算符號與數(shù)值計算中的算符幾乎完全相同.（3）三角函數(shù)、雙曲函數(shù)和它們的反函數(shù)：除atan2不能用于符號運算之外，其它三角函數(shù)都可用于符號表達(dá)式計算.（4）指數(shù)、對數(shù)函數(shù)：函數(shù)sqrt(),exp(),expm(),log(),log2()和log10()都能用于符號計算.（5）復(fù)數(shù)函數(shù)：復(fù)數(shù)共軛conj，實部real，虛部imag和求模abs與數(shù)值計算相同，但沒有求相位角函數(shù)（angle）.（6）矩陣函

6、數(shù)：函數(shù)diag(),triu(),tril(),inv(),det(),rank(),rref(),poly(),expm()和eig()等都能用于符號計算.例1：加法運算f=2*x2+3*x-5;g=x2+x-7;syms x f=2*x2+3*x-5;g=x2+x-7;h=f+g h=3*x2+4*x-12例2：乘除法運算f=cos(x);g=sin(2*x);syms x f=cos(x);g=sin(2*x);h=f/g+f*g h=cos(x)/sin(2*x)+cos(x)*sin(2*x)符號計算的顯著特點是計算過程中不會出現(xiàn)舍入誤差，從而可以得到任意精度的數(shù)值解。而數(shù)值計算受

7、計算機字長限制，每次數(shù)值操作都帶截斷誤差，任何數(shù)值計算無論采用什么算法都會產(chǎn)生累積誤差。浮點算術(shù)運算1/2+1/3 (定義輸出格式format long)ans=符號運算sym(1/2+1/3)ans=5/6 精確解 任意精度算術(shù)運算digits(n)設(shè)置可變精度，默認(rèn)值32位有效數(shù)字。vpa(x,n)顯示可變精度的有效數(shù)字位數(shù)。digits(25)vpa(1/2+1/3)ans=.8333333333333333333333333vpa(5/6,40)ans=.8333333333333333333333333333333333333333 a=sym(1/4,exp(1);log(3),3

8、/7)a=1/4,exp(1)log(3),3/7vpa(a,10)ans=.2500000000,2.7182818281.098612289,.4285714286 diff(f)對缺省變量求微分 diff(f,v)對指定變量v求微分 diff(f,v,n)對指定變量v求n階微分 int(f)對f表達(dá)式的缺省變量求積分 int(f,v)對f表達(dá)式的v變量求積分 int(f,v,a,b)對f表達(dá)式的v變量在（a,b)區(qū)間求定積分缺省時為不定積分例1.計算定積分 syms x;f=2*xh=int(f,x,0,2)h=4例2.計算二重不定積分dxdyxexyF=int(int(x*exp(-x

9、*y),x),y)F=1/y*exp(-x*y)ztrans(fn,n,z)求時域序列fn的Z變換iztrans(FZ,z,n)求頻域序列FZ的Z反變換fnlaplace(ft,t,s)求時域函數(shù)ft的拉氏變換Fsilaplace(Fs,s,t)求頻域Fs的拉氏反變換ftfourier(ft,t,w)求時域ft的付氏變換Fwifourier(Fw,w,t)求頻域Fw的付氏反變換ft例3.計算 f=sym(x*exp(-x*10)的Z變換F=ztrans(f,x,z)F=z*exp(-10)/(z-exp(-10)2例4.計算指數(shù)函數(shù)eAt。用拉氏反變換法計算。eAt的公式為：eAt=L-1(s

10、I-A)-1系統(tǒng)矩陣A=3210tttttttteeeeeeee22222222eAt=結(jié)果：a=0 1;-2-3;syms s b=(s*eye(2)-a)b=s,-1 2,s+3 B=inv(b)(s+3)/(s2+3*s+2),1/(s2+3*s+2)-2/(s2+3*s+2),s/(s2+3*s+2)b=ilaplace(B,s,t)1.limit(f,x,a)計算符號表達(dá)式f(x)在xa時的極限值;limit(f,x,a,right)或limit(f,x,a,left)計算f(x)的單側(cè)極限;2.symsum(f,n,a,b)計算符號表達(dá)式f(n)在n取遍a,b區(qū)間所有整數(shù)時的和;3

11、.taylor(f,x,Order,n,ExpansionPoint,a)計算符號表達(dá)式f(x)在a點的n-1階Taylor展開多項式；例1：求f=1/x+1在x 時的極限值syms x f=1/x+1h=lim(f,x,inf)例2：求級數(shù)1+2+n+的和syms nf=nh=symsum(f,n,1,10)例3：求f=ex在x=2處的4階Taylor展開syms xf=exp(x)h=taylor(f,x,Order,5,ExpansionPoint,2)5.符號代數(shù)方程求解 matlab符號運算能夠解一般的線性方程、非線性方程及一般的代數(shù)方程、代數(shù)方程組。當(dāng)方程組不存在符號解時，又無其他

12、自由參數(shù)，則給出數(shù)值解。命令格式：solve(f)求一個方程的解Solve(f1,f2,fn)求n個方程的解 例1.方程 ax2+bx+c=0 求解syms a b c x;f=a*x2+b*x+c solve(f)對缺省變量x求解ans=1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2)1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2)計算機格式aacbb242一般格式例2.符號方程cos(x)=sin(x)的解f1=solve(cos(x)=sin(x),x),f1=1/4*pi solve(f,b)對指定變量b求解ans=-(a*x2+c)/x例3.解方程組 x+y+z=1 x-y+z=

13、2 2x-y-z=1syms x y z;g1=x+y+z-1,g2=x-y+z-2,g3=2*x-y-z-1f=solve(g1,g2,g3,x,y,z)f=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1x,y,z)f.z=5/6,f.y=-1/2,f.x=2/3f=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1)f=ans=2/3 ans=-1/2 ans=5/6 x,y,z=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1)x=2/3 y=-1/2 z=5/66.符號微分方程求解 用一個函數(shù)可以方便地得到微 分方程的符號解符號微分方程求解指令

14、：dsolve命令格式：dsolve(f,g)f 微分方程，可多至12個微分方程的求 解；g為初始條件 默認(rèn)自變量為 x,可任意指定自變量t,u等 微分方程的各階導(dǎo)數(shù)項以大寫字母D表示 dtdydxdy22dtydnndtyd22dxydnndxyd或或或y的一階導(dǎo)數(shù) Dyy的二階導(dǎo)數(shù) D2yy的 n 階導(dǎo)數(shù) Dnyy1,y2=dsolve(x1,x2,xn)返回 微分方程的解一階微分方程dsolve(Dx=y,Dy=x,x(0)=0,y(0)=1)ans=x(t)=(exp(t)-exp(-t)/2,y(t)=(exp(-t)+exp(t)/2二階微分方程dsolve(D2y=-a2*y,y

15、(0)=1,Dy(pi/a)=0)ans=cos(a*x)微分方程組求解注：eq1,eq2,.為微分方程或微分方程組，cond1,cond2,.,是初始條件或邊界條件，v是獨立變量，默認(rèn)的獨立變量是t。函數(shù)dsolve用來解符號常微分方程、方程組，如果沒有初始條件，則求出通解，如果有初始條件，則求出特解。dsolve(eq1,eq2,.,cond1,cond2,.,v)X,Y=dsolve(Dx+2*x-Dy=10*cos(t),Dx+Dy+2*y=4*exp(-*t),x(0)=2,y(0)=0,t)例1：求的通解。y=dsolve(D2y+2*Dy+2*y=0,y(0)=1,Dy(0)=0)ans=exp(-x)*cos(x)+exp(-x)*sin(x)ezplot(y)方程解y(x)的時間曲線圖22dxyddxdy202y00）（dxdy，1)0(y求該方程的解-6-4-2024050100150200250300 xexp(-x)*cos(x)+exp(-x)*sin(x)注：ezplot()可以在圖型窗口繪制出符號函數(shù)圖形，也可以畫隱函數(shù)圖形，形如f(x,y)=0這種不能寫出像y=f(x)這種函數(shù)的圖形.小 結(jié) 本節(jié)介紹了matlab語言的符號運算功能，通過學(xué)習(xí)應(yīng)該掌握：掌握如何創(chuàng)建、修改符號矩陣掌握符號運算功能