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1、能力升級(jí)練(六)　解三角形 一、選擇題 1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,則∠BAC=(　　) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 解析在△ABC中,設(shè)AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7, 由余弦定理,得cos∠BAC=b2+c2-a22bc=9+25-4930=-12,由A∈(0,π),得A=2π3,即∠BAC=23π. 答案C 2.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a=5,c=2,cos A=23,則b=(　　) A.2 B.3 C.2 D.3 解析由余弦定理,得5=b2+22-2×b×2×23,解得b=3,或b=-13(舍去

2、). 答案D 3.已知△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c,若A=π3,b=2acos B,c=1,則△ABC的面積等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.32 B.34 C.36 D.38 解析由正弦定理得sinB=2sinAcosB,故tanB=2sinA=2sinπ3=3,又B∈(0,π),所以B=π3,則△ABC是正三角形,所以S△ABC=12bcsinA=34. 答案B 4.在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),則△ABC的形狀一定是(　　) A.等邊三角形 B.不含60°的等腰三角形 C.鈍角三角形

3、 D.直角三角形 解析sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cosAsinB,∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosA·sinB,∴sinAcosB+cosAsinB=1,即sin(A+B)=1,則有A+B=π2,故三角形為直角三角形. 答案D 5.(2019廣東深圳模擬)一架直升飛機(jī)在200 m高度處進(jìn)行測(cè)繪,測(cè)得一塔頂與塔底的俯角分別是30°和60°,則塔高為(　　) A.4003 m B.40033 m C.20033 m D.2003 m 解析如圖所示.在Rt△ACD中可得CD=20033=BE,在△ABE中,由正弦定理得ABsin

4、30°=BEsin60°,則AB=2003,所以DE=BC=200-2003=4003(m). 答案A 6.在△ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊),則△ABC的形狀為(　　) A.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 解析因?yàn)閏os2B2=a+c2c,所以2cos2B2-1=a+cc-1,所以cosB=ac,所以a2+c2-b22ac=ac,所以c2=a2+b2. 所以△ABC為直角三角形. 答案B 7.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知bsin C+csin B=4asin Bsin

5、 C,b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為(　　) A.33 B.233 C.36 D.433 解析由bsinC+csinB=4asinBsinC及正弦定理,得2sinBsinC=4sinAsinBsinC, 易知sinBsinC≠0,∴sinA=12. 又b2+c2-a2=8,∴cosA=b2+c2-a22bc=4bc, 則cosA>0. ∴cosA=32,即4bc=32,則bc=833. ∴△ABC的面積S=12bcsinA=12×833×12=233. 答案B 8.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處,在C處有一

6、座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是(　　) A.102海里 B.103海里 C.203海里 D.202海里 解析 如圖所示,易知,在△ABC中,AB=20,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根據(jù)正弦定理,得BCsin30°=ABsin45°,解得BC=102(海里). 答案A 9.(2019山東濟(jì)寧模擬)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若A=π3,3sin2CcosC=2sin Asin B,且b=6,則c=(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 解析在△ABC中,A=π3,b

7、=6, ∴a2=b2+c2-2bccosA,即a2=36+c2-6c,① 又3sin2CcosC=2sinAsinB,∴3c2cosC=2ab, 即cosC=3c22ab=a2+b2-c22ab,∴a2+36=4c2,② 由①②解得c=4或c=-6(不合題意,舍去).∴c=4. 答案C 二、填空題 10. 如圖,某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB,C是該小區(qū)的一個(gè)出入口,且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘,從D沿DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米,則該扇形的半徑為　　　　　米.? 解析連接OC,由題意知C

8、D=150米,OD=100米,∠CDO=60°.在△COD中,由余弦定理得OC2=CD2+OD2-2CD·OD·cos60°,即OC=507. 答案507 11.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊a,b,c成等差數(shù)列,且A-C=90°,則cos B=　　　　　.? 解析∵a,b,c成等差數(shù)列,∴2b=a+c, ∴2sinB=sinA+sinC. ∵A-C=90°,∴2sinB=sin(90°+C)+sinC, ∴2sinB=cosC+sinC, ∴2sinB=2sin(C+45°).① ∵A+B+C=180°且A-C=90°,∴C=45°-B2,代入①式中,2sinB=2sin9

9、0°-B2, ∴2sinB=2cosB2, ∴4sinB2cosB2=2cosB2,∴sinB2=24, ∴cosB=1-2sin2B2=1-14=34. 答案34 12. 如圖,在△ABC中,B=45°,D是BC邊上一點(diǎn),AD=5,AC=7,DC=3,則AB=　　　　　.? 解析在△ACD中,由余弦定理可得cosC=49+9-252×7×3=1114,則sinC=5314. 在△ABC中,由正弦定理可得ABsinC=ACsinB, 則AB=ACsinCsinB=7×531422=562. 答案562 13.在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且B為銳

10、角,若sinAsinB=5c2b,sin B=74,S△ABC=574,則b的值為　　　　　.? 解析由sinAsinB=5c2b及正弦定理,得ab=5c2b,即a=52c,① 由S△ABC=12acsinB=574,sinB=74,得12ac=5,② 聯(lián)立①②,得a=5,c=2. 由sinB=74且B為銳角,得cosB=34,由余弦定理,得b2=25+4-2×5×2×34=14,b=14. 答案14 三、解答題 14. 如圖,航空測(cè)量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi),已知飛機(jī)的飛行高度為10 000 m,速度為50 m/s.某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°,經(jīng)過(guò)420

11、s后看山頂?shù)母┙菫?5°,則山頂?shù)暮０胃叨葹槎嗌倜?(取2≈1.4,3≈1.7) 解 如圖,作CD垂直于線段AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,由題意知∠A=15°,∠DBC=45°, 所以∠ACB=30°,AB=50×420=21000(m). 又在△ABC中,BCsinA=ABsin∠ACB, 所以BC=2100012×sin15°=10500(6-2). 因?yàn)镃D⊥AD,所以CD=BC·sin∠DBC =10500(6-2)×22=10500(3-1) ≈7350(m). 故山頂?shù)暮０胃叨葹?0000-7350=2650(m). 15.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,

12、b,c,a2-ab-2b2=0. (1)若B=π6,求A,C; (2)若C=2π3,c=14,求S△ABC. 解(1)由已知B=π6,a2-ab-2b2=0結(jié)合正弦定理,得sin2A-sinAsinπ6-2sin2π6=0,化簡(jiǎn)整理,得2sin2A-sinA-1=0, 于是sinA=1或sinA=-12(舍). 因?yàn)?0, 所以a-2b=0,即a=2b,② 聯(lián)立①②解得b=27,a=47. 所以S△ABC=12absinC=143. 9