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中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,1,控制系統數學模型是對實際物理系統的一種數學抽象。要對自動控制系統進行定量（精確）地分析和設計，首先要建立系統的數學模型。數學模型：描述系統內部各物理量之間關系的數學表達式。物理量：高度、速度、溫度、壓力、流量、電壓、電流。數學表達式：代數方程、微分方程。動態(tài)數學模型：系統變量對時間的變化率，反映系統的動態(tài)特性。用微分方程描述,第二章控制系統的數學模型,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,2,建模方法：分析法、實驗法,◆分析法是對系統各部分的運動機理進行分析，根據系統運動規(guī)律（定律、經驗公式）和結構參數，寫出系統輸入輸出之間數學關系式（運動方程式）。,利用物理定律——如牛頓定律、基爾霍夫電流、電壓定律、能量守恒定律和熱力學定律等。,,第二章控制系統的數學模型,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,3,◆實驗法（黑箱法、辨識法）：人為施加某種測試信號，記錄基本輸出響應，根據輸入輸出響應辨識出數學模型或用適當的數學模型去逼近。,系統辨識（數學建模）是一門獨立學科,模型驗證：將實際輸出與模型的計算輸出進行比較，系統模型需保證兩個輸出之間在選定意義上的接近。,第二章控制系統的數學模型,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,4,本章內容概要,第一節(jié)數學基礎-拉氏變換及其應用第二節(jié)控制系統微分方程的建立第三節(jié)傳遞函數第四節(jié)控制系統建模示例第五節(jié)控制系統的方框圖及其等效變換第六節(jié)信號流圖,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,5,第一節(jié)數學基礎-拉氏變換及其應用,一、拉氏變換定義設函數f(t)滿足①t0時，f(t)分段連續(xù)則f(t)的拉氏變換存在，其表達式記作控制工程上函數都滿足拉氏變換要求：能量有限,,,,,,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,6,3、指數函數：,4、冪函數：,1、脈沖函數：,2、階躍函數：,二、常用函數的拉式變換,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,7,三、拉氏變換的基本定理,1.線性定理：,2.延遲定理：,3.微分定理：,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,8,零初始條件：函數f(t)及其各階導數的初始值都等于零,在零初始條件下，,5.初值定理：若函數f(t)及其一階導數都是可拉氏變換的，則函數f(t)的初值為,4.積分定理：,三、拉氏變換的基本定理,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,9,注意：在運用終值定理前必須先判定終值定理中的條件是否都滿足，比如,在虛軸上有極點,在右半平面上有極點,6.終值定理：若函數f(t)及其一階導數都是可拉氏變換的，則函數f(t)的終值為,以上函數不能使用終值定理,前提：sF(s)在包含虛軸的右半平面內解析（無極點）,三、拉氏變換的基本定理,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,10,F(s)化成下列因式分解形式：,四、拉氏反變換,◆F(s)中具有不同的極點時，可（留數法）展開為,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,11,例2.1求的反拉氏變換,四、拉氏反變換,將F(s)的分母因式分解為,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,12,例2.2求的原函數,將F(s)的分母因式分解為,四、拉氏反變換,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,13,四、拉氏反變換,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,14,,,,◆F(s)含有多重極點時，可展開為,其余各極點的留數確定方法與上同。,四、拉氏反變換,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,15,例求的原函數,四、拉氏反變換,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,16,四、拉氏反變換,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,17,線性微分方程的求解方法：,解析法、拉普拉斯變換法、計算機輔助求解,拉普拉斯變換法求解微分方程基本步驟：,（1）考慮初始條件，對微分方程中的各項進行拉式變換，變成變量s的代數方程。,,（2）由變量s的代數方程求出系統輸出量的拉式變換式。,,（3）對輸出量的拉式變換式進行拉式反變換，得到系統微分方程的解。,,五、用拉氏變換求解微分方程,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,18,例2.5設線性微分方程為,式中，為單位階躍函數，初始條件為，，試求該微分方程的解。,解：,（1）對微分方程中的各項進行拉式變換得,,（2）將初始條件代入上式，得,五、用拉氏變換求解微分方程,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,19,（3）對式（1）進行分解：,式中,對Y（S）進行拉式反變換（查表）,五、用拉氏變換求解微分方程,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,20,一.建立控制系統微分方程的一般方法,第二節(jié)控制系統微分方程的建立,,，,都是由系統的結構參數決定的系數。如果微分方程的系數都不隨時間的變化而變化，稱為定常系統；,如果微分方程的系數都不隨空間位置的變化而變化，稱為集中參數系統。,由線性定常集中參數元件構成的動態(tài)系統稱為線性定常系統,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,21,線性定常系統微分方程的建立步驟,第二步：按照信號傳遞的順序，根據各變量所遵循的運動規(guī)律列寫各環(huán)節(jié)的動態(tài)方程。需考慮相鄰元件間的負載效應，必要時考慮做線性化處理。,第一步：確定系統（或元件）的輸入量、輸出量。,利用適當的物理定律——如牛頓定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等。,,一、建立控制系統微分方程的一般方法,第三步：消去中間變量，導出只含有輸入量和輸出量的系統微分方程。,第四步：規(guī)范、整理微分方程。輸出量放在方程右側，輸入量放在方程左側，各階導數項的階次按降冪排列。,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,22,例2.6如圖所示，寫出RLC電路的微分方程。,二階線性微分方程,解：明確輸入量，輸出量,各環(huán)節(jié)數學表達式,消去中間變量，整理得到,一、建立控制系統微分方程的一般方法,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,23,例2.7已知RC濾波網絡如圖所示，試寫出網絡輸入輸出間的微分方程。,一、建立控制系統微分方程的一般方法,,解該網絡由兩個形式相同的RC電路串聯而成。在列寫微分方程時，必須考慮后級電路是否對前級電路產生影響。,只有當后一環(huán)節(jié)的輸入阻抗很大，對前面環(huán)節(jié)的影響可以忽略時，才可以單獨地分別列寫每個環(huán)節(jié)的方程。,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,24,在考慮負載效應的情況下，微分方程的列寫步驟如下：,一、建立控制系統微分方程的一般方法,（1）根據基爾霍夫定律，寫出下面原始方程組,,（2）消去中間變量,，得,,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,25,列寫如圖所示電樞控制直流電動機的微分方程，要求取電樞電壓Ua為輸入量，電動機轉速ω為輸出量，列寫微分方程。圖中R、L分別是電樞電路的電阻和電感，ML為折算到電動機上的等效負載轉矩，視為干擾輸入。,例2.9電樞控制直流伺服電動機,,,電,樞,控,制,直,流,電,動,機,原,理,圖,,一、建立控制系統微分方程的一般方法,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,26,解：,電樞控制直流電動機的工作實質是將輸入的電能轉換為機械能，也就是由輸入的電樞電壓Ua在電樞回路中產生電樞電流ia，再由電流ia與激磁磁通相互作用產生電磁轉距M，從而拖動負載運動。因此，直流電動機的運動方程可由以下兩個部分的平衡方程組成。電樞回路電壓平衡方程電動機軸上的轉距平衡方程,一、建立控制系統微分方程的一般方法,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,27,,①,ed是電樞反電勢，它是當電樞旋轉時產生的反電勢，其大小與激磁磁通及轉速成正比，方向與電樞電壓ua相反，即ed=keω②ke－電勢常數(Vs/rad),電樞回路電壓平衡方程：,一、建立控制系統微分方程的一般方法,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,28,,③,④,-電樞電流產生的電磁轉距,-電動機轉距系數,電動機軸上的轉距平衡方程：,Jm－轉動慣量（電動機和負載折合到電動機軸上的）,一、建立控制系統微分方程的一般方法,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,29,③,④,一、建立控制系統微分方程的一般方法,ed=keω②,①,⑤,⑥,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,30,⑦,由⑥求出ia，代入⑤得：,為方便起見，上式可以記為：,一、建立控制系統微分方程的一般方法,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,31,⑧,在工程應用中，由于電樞電路電感L較小，通常忽略不計。,令干擾力矩,一、建立控制系統微分方程的一般方法,如果電阻Ra和電機的轉動慣量Jm都可以忽略不計，⑧可進一步簡化為,這樣的電機可作為測速發(fā)電機來使用,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,32,疊加原理表明：兩個外作用同時加于系統所產生的總輸出等于各個外單獨作用時分別產生的輸出之和。且外作用的數值增大若干倍時，其輸出亦相應增大同樣的倍數。,二、線性系統的基本特性,用線性微分方程描述的元件或系統，稱為線性元件或線性系統。,線性系統的重要性質是可以應用疊加原理。疊加原理有兩重含義:可疊加性和齊次性,,,,,,,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,33,三、非線性數學模型的線性化,1．問題的提出嚴格地講，一個實際的物理系統都會含有不同程度的非線性因素，如元件的死區(qū)、傳動的間隙、輸出飽和等，然而許多非線性元件或系統在一定條件下可以近似地視為線性系統。,2．增量方程與非線性方程的線性化,系統中所包含的有關變量的非線性函數，只要在平衡工作點附近連續(xù)，且各階導數存在，在平衡點附近做小范圍運動時，可以將此非線性函數以其自變量偏差的形式展開為泰勒級數。,對于線性系統而言。輸入輸出變量相對于平衡工作點的變化增量仍滿足描述系統的微分方程關系。,如果此偏差很小，則可忽略級數中此偏差的高次項，而只保留一次項，用所得到線性化方程代替原來的非線性方程，這種線性化方法叫做小偏差線性化,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,34,三、非線性數學模型的線性化,盡管相應工作點通常不在坐標原點，但是我們用各變量的增量表示該變量，可以認為將坐標原點移到了額定工作點。這樣在以增量表示的新坐標系中，系統運動的初始狀態(tài)就等于零了，這是我們省略△,,設有一單變量非線性函數,在平衡工作點,附近將,按泰勒級數展開，即,,,,,中國礦業(yè)大學信電學院,自動控制原理,35,三、非線性數學模型的線性化,例2.10設三相橋式晶閘管整流電路的輸入量為控制角,，輸出量為整流電壓,它們之間的關系是非線性的,,假如正常額定工作點為A,,此時,設控制角以工作點A為基準在小范圍內變化控制角和整流電壓之間的關系可以線性化為：,,,,