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4.4探索三角形相似的條件 第4課時 黃金分割 教學目標 【知識與能力】 1.知道黃金分割的定義. 2.會找一條線段的黃金分割點. 3.會判斷某一點是否為一條線段的黃金分割點. 【過程與方法】 通過找一條線段的黃金分割點，培養(yǎng)學生的理解與動手能力. 【情感態(tài)度價值觀】 理解黃金分割的意義，并能動手找到和制作黃金分割點和圖形，讓學生認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系對人類歷史發(fā)展的作用. 教學重難點 【教學重點】 了解黃金分割的意義，并能運用. 【教學難點】 找黃金分割點和畫黃金矩形. 課前準備 課件. 教學過程 Ⅰ.創(chuàng)設問題情境，引入新課 ［師］生活中我們見到過許許多多的圖形，形態(tài)各異，美觀大方.那么這些漂亮的圖形你能畫出來嗎？比如，右圖是一個五角星圖案，如何找點C把AB分成兩段AC和BC，使得畫出的圖形勻稱美觀呢？本節(jié)課就研究這個問題. Ⅱ.講授新課 ［師］在五角星圖案中，大家用刻度尺分別度量線段AC、BC的長度，然后計算、,它們的值相等嗎？ ［生］相等. ［師］所以. 1.黃金分割的定義 一般地，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果,那么稱線段AB被點C黃金分割（golden section）,點C叫作線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫作黃金比.其中≈0.618. 2. 計算黃金比. 解：由= ，得∴AC2=AB·BC. 設AB=1,AC=x,則BC=1- x. ∴x2=1×（1－x） ∴x2+ x －1=0 解這個方程，得 x1=或x2=（不合題意，舍去）， 所以，黃金比=≈0.618。 3.作一條線段的黃金分割點. 如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖： （1）經(jīng)過點B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）連接DA，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.則點C為線段AB的黃金分割點. ［師］你知道為什么嗎？ 若點C為線段AB的黃金分割點，則點C分線段AB所成的兩條線段AC、BC間須滿足.下面請大家進行驗證.自己有困難時可以互相交流.為了計算方便，可設AB=1. 證明：∵AB=1,AC=x,BD=AB= ∴AD=x+ 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 （x+）2=12+（）2 ∴x2+x+=1+ ∴x2=1－x ∴x2=1·（1－x） ∴AC2=AB·BC 即： 即點C是線段AB的一個黃金分割點， 在x2=1－x中 整理，得x2+x－1=0 ∴x= ∵AC為線段長，只能取正 ∴AC=≈0.618 ∴≈0.618 ∴黃金比約為0.618. 3.想一想 古希臘時期的巴臺農(nóng)神廟（Parthenom Temple）.把它的正面放在一個矩形ABCD中，以矩形ABCD的寬AD為邊在其內(nèi)部作正方形AEFD，那么我們可以驚奇地發(fā)現(xiàn)，,點E是AB的黃金分割點嗎？矩形ABCD的寬與長的比是黃金比嗎？ ［師］請大家互相交流. ［生］因為四邊形AEFD是正方形，所以AD=BC=AE,又因為,所以,即,因此點E是AB的黃金分割點，矩形ABCD寬與長的比是黃金比. ［師］在上面這個矩形中，寬與長的比是黃金比，這個矩形叫作黃金矩形.你學會作了嗎？ Ⅲ.課時小結(jié) 本節(jié)課學習了：1.黃金分割點的定義及黃金比. 2.如何找一條線段的黃金分割點，以及會畫黃金矩形. 3.能根據(jù)定義判斷某一點是否為一條線段的黃金分割點. Ⅳ.課后作業(yè) 習題4.8 Ⅴ.活動與探究 要配制一種新農(nóng)藥，需要兌水稀釋，兌多少才好呢？太濃太稀都不行.什么比例最合適，要通過試驗來確定.如果知道稀釋的倍數(shù)在1000和2000之間，那么，可以把1000和2000看作線段的兩個端點，選擇AB的黃金分割點C作為第一個試驗點，C點的數(shù)值可以算是1000+（2000－1000）×0.618=1618.試驗的結(jié)果，如果按1618倍，水兌得過多，稀釋效果不理想，可以進行第二次試驗.這次的試驗點應該選AC的黃金分割點D，D的位置是1000+（1618－1000）×0.618，約等于1382，如果D點還不理想，可以按黃金分割的方法繼續(xù)試驗下去.如果太濃，可以選DC之間的黃金分割點；如果太稀，可以選AD之間的黃金分割點，用這樣的方法，可以較快地找到合適的濃度數(shù)據(jù). 這種方法叫作“黃金分割法”.用這樣的方法進行科學試驗，可以用最少的試驗次數(shù)找到最佳的數(shù)據(jù)，既節(jié)省了時間，也節(jié)約了原材料. ●板書設計 - 4 -