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第一篇 函數(shù)、極限與連續(xù) 第一章 函數(shù)、極限與連續(xù) 高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容是微積分，微積分是以變量為研究對(duì)象，以極限方法為基本研究手段的數(shù)學(xué)學(xué)科.本章首先復(fù)習(xí)函數(shù)相關(guān)內(nèi)容，繼而介紹極限的概念、性質(zhì)、運(yùn)算等知識(shí)，最后通過(guò)函數(shù)的極限引入函數(shù)的連續(xù)性概念，這些內(nèi)容是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程極其重要的基礎(chǔ)知識(shí). 第1節(jié) 集合與函數(shù) 1.1 集合 1.1.1 集合 討論函數(shù)離不開集合的概念.一般地，我們把具有某種特定性質(zhì)的事物或?qū)ο蟮目傮w稱為集合，組成集合的事物或?qū)ο蠓Q為該集合的元素. 通常用大寫字母、、、表示集合，用小寫字母、、、表示集合的元素. 如果是集合的元素，則表示為，讀作“屬于”；如果不是集合的元素，則表示為，讀作“不屬于”. 一個(gè)集合，如果它含有有限個(gè)元素，則稱為有限集；如果它含有無(wú)限個(gè)元素，則稱為無(wú)限集；如果它不含任何元素，則稱為空集，記作. 集合的表示方法通常有兩種：一種是列舉法，即把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用“｛｝”括起來(lái)表示集合.例如，有1,2,3,4,5組成的集合，可表示成 ={1,2,3,4,5}； 第二種是描述法，即設(shè)集合所有元素的共同特征為，則集合可表示為 . 例如，集合是不等式的解集，就可以表示為 . 由實(shí)數(shù)組成的集合，稱為數(shù)集，初等數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的數(shù)集有： （1）全體非負(fù)整數(shù)組成的集合稱為非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作，即 ； （2）所有正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集，記作，即 ； （3）全體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作，即 ； （4）全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作，即 ； （5）全體實(shí)數(shù)組成的集合稱為實(shí)數(shù)集，記作. 1.1.2 區(qū)間與鄰域 在初等數(shù)學(xué)中，常見(jiàn)的在數(shù)集是區(qū)間.設(shè)，且，則 （1）開區(qū)間 ； （2）半開半閉區(qū)間 ，； （3）閉區(qū)間 ； （4）無(wú)窮區(qū)間 ， ，， ，. 以上四類統(tǒng)稱為區(qū)間，其中（1）-（4）稱為有限區(qū)間，（5）-（8）稱為無(wú)限區(qū)間.在數(shù)軸上可以表示為（圖1-1）： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 圖 1-1 在微積分的概念中，有時(shí)需要考慮由某點(diǎn)附近的所有點(diǎn)組成的集合，為此引入鄰域的概念. 定義1 設(shè)為某個(gè)正數(shù)，稱開區(qū)間為點(diǎn)的鄰域，簡(jiǎn)稱為點(diǎn)的鄰域，記作，即 . 在此，點(diǎn)稱為鄰域的中心，稱為鄰域的半徑，圖形表示為（圖1-2）： 圖1-2 另外，點(diǎn)的鄰域去掉中心后，稱為點(diǎn)的去心鄰域，記作，即 , 圖形表示為（圖1-3）： 圖1-3 其中稱為點(diǎn)的左鄰域，稱為點(diǎn)的右鄰域. 1.2函數(shù)的概念 1.2.1函數(shù)的定義 定義2 設(shè)、是兩個(gè)變量，是給定的數(shù)集，如果對(duì)于每個(gè)，通過(guò)對(duì)應(yīng)法則，有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，則稱為是的函數(shù)，記作.其中為自變量，為因變量，為定義域,函數(shù)值的全體成為函數(shù)的值域，記作，即 . 函數(shù)的記號(hào)是可以任意選取的, 除了用 外, 還可用“”、“”、“”等表示. 但在同一問(wèn)題中, 不同的函數(shù)應(yīng)選用不同的記號(hào). 函數(shù)的兩要素：函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系為確定函數(shù)的兩要素. 例1 求函數(shù)的定義域. 解 的定義區(qū)間滿足：；的定義區(qū)間滿足：，解得. 這兩個(gè)函數(shù)定義區(qū)間的公共部分是 . 所以，所求函數(shù)定義域?yàn)? 例2 判斷下列各組函數(shù)是否相同. （1），； （2），； （3），. 解 （1）的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?兩個(gè)函數(shù)定義域不同，所以和不相同. （2）和的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù).,所以和是相同函數(shù). （3），,故兩者對(duì)應(yīng)關(guān)系不一致，所以和不相同. 函數(shù)的表示法有表格法、圖形法、解析法(公式法)三種.常用的是圖形法和公式法兩種.在此不再多做說(shuō)明. 函數(shù)舉例: 例3 函數(shù)，函數(shù)為符號(hào)函數(shù)，定義域?yàn)?，值? 如圖1-4： 圖1-4 例4 函數(shù)，此函數(shù)為取整函數(shù)，定義域?yàn)椋?設(shè)為任意實(shí)數(shù), 不超過(guò)的最大整數(shù)，值域. 如圖1-5： 圖1-5 特別指出的是，在高等數(shù)學(xué)中還出現(xiàn)另一類函數(shù)關(guān)系，一個(gè)自變量通過(guò)對(duì)于法則有確定的值與之對(duì)應(yīng)，但這個(gè)值不總是唯一.這個(gè)對(duì)應(yīng)法則并不符合函數(shù)的定義，習(xí)慣上我們稱這樣的對(duì)應(yīng)法則確定了一個(gè)多值函數(shù). 1.2.2 函數(shù)的性質(zhì) 設(shè)函數(shù)，定義域?yàn)椋? （1）函數(shù)的有界性 定義3 若存在常數(shù)，使得對(duì)每一個(gè)，有，則稱函數(shù)在上有界. 若對(duì)任意，總存在，使，則稱函數(shù)在上無(wú)界.如圖1-6： 圖1-6 例如 函數(shù) 在上是有界的:.函數(shù) 在內(nèi)無(wú)上界，在內(nèi)有界. （2）函數(shù)的單調(diào)性 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義, 及為區(qū)間上任意兩點(diǎn), 且.如果恒有, 則稱在上是單調(diào)增加的；如果恒有, 則稱在上是單調(diào)遞減的.單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)（圖1-7）. 圖1-7 （3）函數(shù)的奇偶性 設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.如果在上有, 則稱為偶函數(shù)；如果在上有, 則稱為奇函數(shù). 例如，函數(shù)，由于，所以是偶函數(shù)；又如函數(shù)，由于，所以是奇函數(shù).如圖1-8： 圖1-8 從函數(shù)圖形上看，偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. (4)函數(shù)的周期性 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)? 如果存在一個(gè)不為零的數(shù),使得對(duì)于任一有, 且, 則稱為周期函數(shù), 稱為的周期.如果在函數(shù)的所有正周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，則我們稱這個(gè)正數(shù)為的最小正周期.我們通常說(shuō)的周期是指最小正周期. 例如，函數(shù)和是周期為的周期函數(shù)，函數(shù)和是周期為的周期函數(shù). 在此，需要指出的是某些周期函數(shù)不一定存在最小正周期. 例如，常量函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，故任意實(shí)數(shù)都是其周期，但它沒(méi)有最小正周期. 又如，狄里克雷函數(shù) ， 當(dāng)時(shí)，對(duì)任意有理數(shù)，，必有，故任意有理數(shù)都是其周期，但它沒(méi)有最小正周期. 1.3 反函數(shù) 在初等數(shù)學(xué)中的函數(shù)定義中，若函數(shù)為單射,若存在，稱此對(duì)應(yīng)法則為的反函數(shù). 習(xí)慣上,的反函數(shù)記作 . 例如，指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)為，圖像為（圖1-9） 圖1-9 反函數(shù)的性質(zhì)： （1）函數(shù) 單調(diào)遞增(減)，其反函數(shù)存在，且也單調(diào)遞增（減）. （2）函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱. 下面介紹幾個(gè)常見(jiàn)的三角函數(shù)的反函數(shù)： 正弦函數(shù)的反函數(shù)，正切函數(shù)的反函數(shù). 反正弦函數(shù)的定義域是，值域是；反正切函數(shù)的定義域是，值域是，如圖1-10： 9 圖1-10 1.4復(fù)合函數(shù) 定義4 設(shè)函數(shù)，函數(shù)，則 稱為由復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其中為中間變量. 注：函數(shù)與函數(shù)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件是，否則不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù). 例如，函數(shù)，.在形式上可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù) . 但是的值域?yàn)?，故沒(méi)有意義. 在后面的微積分的學(xué)習(xí)中，也要掌握復(fù)合函數(shù)的分解，復(fù)合函數(shù)的分解原則： 從外向里，層層分解，直至最內(nèi)層函數(shù)是基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算. 例5 對(duì)函數(shù)分解. 解 由，復(fù)合而成. 例6 對(duì)函數(shù)分解. 解 由，，復(fù)合而成. 1.5初等函數(shù) 在初等數(shù)學(xué)中我們已經(jīng)接觸過(guò)下面各類函數(shù)： 常數(shù)函數(shù)：（為常數(shù)）； 冪函數(shù)：； 指數(shù)函數(shù)：； 對(duì)數(shù)函數(shù)：； 三角函數(shù)：； 反三角函數(shù)：. 這六種函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù). 定義5 由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的并用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù). 例如，，，等都是初等函數(shù). 需要指出的是，在高等數(shù)學(xué)中遇到的函數(shù)一般都是初等函數(shù)，但是分段函數(shù)不是初等函數(shù)，因?yàn)榉侄魏瘮?shù)一般都有幾個(gè)解析式來(lái)表示.但是有的分段函數(shù)通過(guò)形式的轉(zhuǎn)化，可以用一個(gè)式子表示，就是初等函數(shù).例如，函數(shù) ， 可表示為. 習(xí)題 1-1 1.求下列函數(shù)的定義域. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 2.下列各題中，函數(shù)和是否相同，為什么？ （1），； （2），； （3），； （4），. 3.已知的定義域?yàn)?，求下列函?shù)的定義域. （1）； （2）； （3）. 4.設(shè)，求，. 5.判斷下列函數(shù)的奇偶性. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 6.設(shè)下列考慮的函數(shù)都是定義在區(qū)間上的，證明： （1）兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)； （2）兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)和奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù). 7.下列函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？如果是，確定其周期. （1）； （2）； （3）； （4）. 8.求下列函數(shù)的反函數(shù). （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 9.下列函數(shù)是有哪些函數(shù)復(fù)合而成的. （1）； （2）； （3）； （4）. 10.設(shè)，，求，，. 第2節(jié) 極限 極限在高等數(shù)學(xué)中占有重要地位，微積分思想的構(gòu)架就是用極限定義的. 本節(jié)主要研究數(shù)列極限、函數(shù)極限的概念以及極限的有關(guān)性質(zhì)等內(nèi)容. 2.1 數(shù)列的極限 2.1.1 數(shù)列的概念 定義1 若按照一定的法則，有第一個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)a2，…，依次排列下去，使得任何一個(gè)正整數(shù)n對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的數(shù)，那么，我們稱這列有次序的數(shù)a1，a2，…，an，…為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)。第n項(xiàng)叫做數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng). 例如 ； ； ； 都是數(shù)列，它們的一般項(xiàng)依次為 ，，，. 我們可以看到，數(shù)列值隨著n變化而變化，因此可以把數(shù)列看作自變量為正整數(shù)的函數(shù)，即 另外，從幾何的角度看，數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列，可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取a1，a2，，，，在數(shù)軸上表示為（圖1-11）： 圖1-11 2.1.2 數(shù)列極限的定義 數(shù)列極限的思想早在古代就已萌生，我國(guó)《莊子》一書中著名的“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”，魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中首創(chuàng)“割圓術(shù)”，用圓內(nèi)接多邊形的 面積去逼近圓的面積，都是極限思想的萌芽. 設(shè)有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為；再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為；依次進(jìn)行下去，一般把內(nèi)接正邊形的面積記為，可得一系列內(nèi)接正多邊形的面積： ，，，…，，…， 它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列.可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，也無(wú)限接近某一確定的數(shù)值(圓的面積)，這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱為數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限. 在上面的例子中，數(shù)列如圖1-12： 圖1-12 當(dāng)時(shí)，無(wú)限接近于常數(shù)0，則0就是數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限. 再如數(shù)列：當(dāng)時(shí)，無(wú)限接近于常數(shù)1，則1就是數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限；而數(shù)列：當(dāng)時(shí)，在1和-1之間來(lái)回震蕩，無(wú)法趨近一個(gè)確定的常數(shù)，故數(shù)列當(dāng)時(shí)無(wú)極限.由此推得數(shù)列的直觀定義： 定義2 設(shè)是一數(shù)列，是一常數(shù).當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)（即），無(wú)限接近于，則稱為數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限，記作 或 an→a （n→∞）． 在上例中， ，， 對(duì)于數(shù)列，其極限為，即當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限接近于.如何度量與無(wú)限接近呢？ 一般情況下，兩個(gè)數(shù)之間的接近程度可以用這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值來(lái)度量，并且 越小，表示與越接近. 例如數(shù)列，通過(guò)觀察我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限接近0，即0是數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限.下面通過(guò)距離來(lái)描述數(shù)列的極限為0. 由于 當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，越來(lái)越小，從而越來(lái)越接近于0. 當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限接近于0. 例如，給定，要使，只要即可.也就是說(shuō)從101項(xiàng)開始都能使 成立. 給定，要使，只要即可.也就是說(shuō)從10001項(xiàng)開始都能使 成立. 一般地，不論給定的正數(shù)多么的小，總存在一個(gè)正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式 都成立.這就是數(shù)列當(dāng)時(shí)極限的實(shí)質(zhì). 根據(jù)這一特點(diǎn)得到數(shù)列極限的精確定義. 定義3 設(shè)是一數(shù)列，是一常數(shù).如果對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式 都成立，則稱是數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于.記作. 反之，如果數(shù)列的極限不存在，則稱數(shù)列發(fā)散. 在上面的定義中，可以任意給定，不等式表達(dá)了與無(wú)限接近程度.此外與有關(guān)，隨著的給定而選定.表示了從項(xiàng)開始滿足不等式. 對(duì)數(shù)列的極限為也可以略寫為： 數(shù)列的極限為的幾何解釋： 將常數(shù)與數(shù)列在數(shù)軸上用對(duì)應(yīng)的點(diǎn)表示出來(lái)，從項(xiàng)開始，數(shù)列的點(diǎn)都落在開區(qū)間內(nèi)，而只有有限個(gè)(至多只有N個(gè))在此區(qū)間以外（圖1-13）. 圖1-13 例1 證明數(shù)列極限. 證明 由于 對(duì)，要使 即取當(dāng)時(shí)，有由極限的定義知 例2 證明數(shù)列極限. 證明 由于 對(duì)，要使 即取當(dāng)時(shí)，有由極限的定義知 . 注：在利用數(shù)列極限的定義來(lái)證明數(shù)列的極限時(shí)，重要的是要指出對(duì)于任意給定的正數(shù)，正整數(shù)確實(shí)存在，沒(méi)有必要非去尋找最小的. 例3 證明數(shù)列極限. 證明 由于 對(duì)，要使 即取對(duì)數(shù)得.取，當(dāng)時(shí)，有由極限的定義知 . 2.2 數(shù)列極限的性質(zhì) 定理1(極限的唯一性) 收斂數(shù)列的極限必唯一. 證明 （反證法）假設(shè)同時(shí)有及, 且，不妨設(shè)a0, 由于，存在充分大的正整數(shù), 使當(dāng)時(shí), 有 , 有 . 由于，存在充分大的正整數(shù), 使當(dāng)時(shí), 有 , 有 . 取，則當(dāng)時(shí)，同時(shí)有和成立，這是不可能的，故假設(shè)不成立.收斂數(shù)列的極限必唯一. 定理2(收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列收斂, 那它一定有界. 即對(duì)于收斂數(shù)列，必存在正數(shù)，對(duì)一切，有 證明 設(shè)， 根據(jù)數(shù)列極限的定義, 取e =1, 存在正整數(shù)N, 當(dāng)時(shí), 不等式 都成立. 于是當(dāng)時(shí), . 取，那么數(shù)列中的一切都滿足不等式.這就證明了數(shù)列是有界的. 定理2說(shuō)明了收斂數(shù)列一定有界，反之不成立. 例如，數(shù)列有界，但是不收斂. 定理3(收斂數(shù)列的保號(hào)性) 如果, 且(或), 那么存在正整數(shù)N, 當(dāng)時(shí), 有(或). 證明 就的情形. 由數(shù)列極限的定義, 對(duì),, 當(dāng)時(shí), 有 , 從而 . 推論 如果數(shù)列從某項(xiàng)起有(或), 且, 那么(或). 定理4(夾逼準(zhǔn)則) 如果數(shù)列、及滿足下列條件: (1), (2), , 那么數(shù)列的極限存在, 且. 證明 因?yàn)? , 以根據(jù)數(shù)列極限的定義, "e >0, $, 當(dāng)時(shí), 有 . 又, 當(dāng)時(shí), 有 . 現(xiàn)取, 則當(dāng) 時(shí), 有 , 同時(shí)成立. 又因 , 所以當(dāng) 時(shí), 有 , 即 . 這就證明了. 例4 求證. 證明 由于 ， 而，，由夾逼準(zhǔn)則知， . 如果數(shù)列滿足條件 , 就稱數(shù)列是單調(diào)增加的. 如果數(shù)列滿足條件 , 就稱數(shù)列是單調(diào)減少的. 單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列. 定理5(單調(diào)有界準(zhǔn)則) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 例5 求數(shù)列的極限. 解 證明數(shù)列的有界性. 令則 其中，.設(shè)，則 . 由歸納法知，對(duì)所有的，有故有界. 證明數(shù)列的單調(diào)性. 已知，，則.設(shè)，則 . 由歸納法知，對(duì)所有的，有故單調(diào)遞增. 由單調(diào)有界準(zhǔn)則知，數(shù)列存在極限，設(shè)為. 在兩邊取極限，得 , 解得或.由于收斂數(shù)列保號(hào)性知舍去. 故所求數(shù)列的極限是. 2.3 函數(shù)的極限 由于數(shù)列可以看做是自變量為的函數(shù)：.所以數(shù)列的極限為，可以認(rèn)為是當(dāng)自變量取正整數(shù)且無(wú)限增大時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于常數(shù).對(duì)一般的函數(shù)而言，在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)就叫做在自變量在這一變化過(guò)程的極限.這說(shuō)明函數(shù)的極限與自變量的變化趨勢(shì)有關(guān)，自變量的變化趨勢(shì)不同，函數(shù)的極限也會(huì)不同. 下面主要介紹自變量的兩種變化趨勢(shì)下函數(shù)的極限. 2.3.1 自變量時(shí)函數(shù)的極限 引例 觀察函數(shù)當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì)（圖1-14）. 圖1-14 從圖1-14可以看出，當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)無(wú)限接近于0（確定的常數(shù)）. 由此推得函數(shù)在時(shí)極限的直觀定義： 定義4 設(shè)當(dāng) x 大于某一正數(shù)時(shí)有定義，當(dāng) x 無(wú)限增大時(shí),函數(shù)值無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù) ,稱為當(dāng) x→+∞時(shí)的極限. 記作 或 ． 引例中， 類比于數(shù)列極限的定義推得當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限的直觀定義： 定義5 設(shè)當(dāng) x 大于某一正數(shù)時(shí)有定義，如果存在常數(shù)，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式 都成立，則稱是函數(shù)在時(shí)的極限，記作 . 對(duì)定義5的簡(jiǎn)單敘述： 類比當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限定義，當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限定義： 定義6 設(shè)當(dāng) 大于某一正數(shù)時(shí)有定義，如果存在常數(shù)，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式 都成立，則稱是函數(shù)在時(shí)的極限，記作 . 對(duì)定義6的簡(jiǎn)單敘述： 在引例中， 結(jié)合定義5和定義6，推得函數(shù)在時(shí)的極限定義： 定義7 設(shè)當(dāng) 大于某一正數(shù)時(shí)有定義，如果存在常數(shù)，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式 都成立，則稱是函數(shù)在時(shí)的極限，記作 . 對(duì)定義7的簡(jiǎn)單敘述： 結(jié)合定義7，函數(shù)在時(shí)的極限存在的充要條件是： 例6 證明. 證明 由于 對(duì)，要使 即取當(dāng)時(shí)，有由極限的定義知 . 從幾何上看，表示當(dāng)時(shí)，曲線位于直線和之間（圖1-15）. 圖1-15 這時(shí)稱直線為曲線的水平漸近線. 例如 ，則是曲線的水平漸近線. 2.3.2 自變量時(shí)函數(shù)的極限 引例1 觀察函數(shù)和在時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)（圖1-16）： 圖1-16 從圖1-16中得出，函數(shù)和在時(shí)函數(shù)值都無(wú)限接近于2，則稱2是函數(shù)和在時(shí)的極限. 從上例中看出，雖然和在處都有極限，但在處不定義. 這說(shuō)明函數(shù)在一點(diǎn)處是否存在極限與它在該點(diǎn)處是否有定義無(wú)關(guān). 因此，在后面的定義中假定函數(shù)在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，函數(shù)在時(shí)函數(shù)極限的直觀定義： 定義7 函數(shù)在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值無(wú)限接近于確定的常數(shù)，稱為函數(shù)在時(shí)的極限. 在定義7中，函數(shù)的函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù)，表示能任意小，在此同樣可以通過(guò)對(duì)于任意給定的正數(shù)，表示. 而可以表示為（>0），體現(xiàn)了接近的程度. 由此得到函數(shù)在時(shí)函數(shù)極限的精確定義： 定義8 函數(shù)在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義.對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，當(dāng)滿足不等式時(shí)，函數(shù)滿足不等式 ， 稱為函數(shù)在時(shí)的極限.記作 或. 定義8簡(jiǎn)單表述為： 函數(shù)在時(shí)極限為的幾何解釋： 對(duì)，當(dāng)時(shí)，曲線位于直線和之間，如圖1-17： 圖1-17 例7 證明為常數(shù). 證明 由于 對(duì)，對(duì)，當(dāng)時(shí)，都有故 例8 證明 證明 由于 對(duì)，要使，即取，當(dāng)時(shí)，都有故 在函數(shù)的極限中，既包含從左側(cè)向靠近，又包含從右側(cè)向靠近. 因此，在求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限時(shí)，由于在處兩側(cè)函數(shù)式子不同，只能分別討論. 左側(cè)向靠近的情形，記作. 從右側(cè)向靠近的情形，記作. 在定義8中，若把空心鄰域改為，則稱為函數(shù)在時(shí)的左極限.記作 或 . 類似地，若把空心鄰域改為，則稱為函數(shù)在時(shí)的右極限.記作 或 . 我們把左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限. 根據(jù)在時(shí)極限的定義推出在時(shí)的極限存在的充要條件是左、右極限都存在并且相等，即： . 例9 討論函數(shù) 當(dāng)時(shí)極限不存在. 解 函數(shù)圖形（圖1-18）如下： 圖1-18 載處的左極限為 ； 右極限為 . 由于，故不存在. 2.3.3 函數(shù)的極限的性質(zhì) 類比數(shù)列極限的性質(zhì)，可以推得函數(shù)極限的性質(zhì).由于函數(shù)極限自變量的變化趨勢(shì)有不同的形式，下面僅以為代表討論. 性質(zhì)1（唯一性） 若，則極限值是唯一的. 性質(zhì)2（局部有界性） 若，若存在常數(shù)及，當(dāng)時(shí)，有. 性質(zhì)3（保號(hào)性） 若，且（或），若存在，當(dāng)時(shí)，有（或）. 性質(zhì)4（夾逼準(zhǔn)則） 設(shè)、、是三個(gè)函數(shù)，若存在，當(dāng)時(shí)，有 ，， 則 . 2.4無(wú)窮大與無(wú)窮小 在研究函數(shù)的變化趨勢(shì)時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到兩種特殊情形：一是函數(shù)的極限為零，二是函數(shù)的絕對(duì)值無(wú)限增大，即是本節(jié)討論的無(wú)窮小和無(wú)窮大，以為代表討論. 2.4.1 無(wú)窮小 若，則稱函數(shù)為時(shí)的無(wú)窮小. 例如 ，則是時(shí)的無(wú)窮小.，則是時(shí)的無(wú)窮小. 在此需要指出的是：（1）無(wú)窮小不是很小的數(shù)，它表示當(dāng)時(shí)，的絕對(duì)值可以任意小的函數(shù). （2）在說(shuō)一個(gè)函數(shù)是無(wú)窮小時(shí)，一定要指明自變量的變化趨勢(shì). 同一函數(shù)，在自變量的不同變化趨勢(shì)下，極限不一定為零；在常數(shù)里面. （3）0是唯一的無(wú)窮小. 2.4.2 無(wú)窮大 函數(shù)在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義.對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，當(dāng)滿足不等式時(shí)，函數(shù)值滿足不等式 ， 則稱函數(shù)為時(shí)的無(wú)窮大. 按照函數(shù)極限的定義，當(dāng)時(shí)無(wú)窮大的函數(shù)極限是不存在的.為了便于敘述函數(shù)的這一性態(tài)，習(xí)慣上稱作函數(shù)的極限是無(wú)窮大，記作 . 若把定義中改為，稱函數(shù)極限為正無(wú)窮大（或負(fù)無(wú)窮大），記作 . 在此，同樣注意無(wú)窮大不是很大的數(shù)，不能和很大的數(shù)混為一談. 例如 由于，為時(shí)的無(wú)窮大，如圖1-19. 圖1-19 從圖形上看，當(dāng)時(shí)，曲線無(wú)限接近于直線. 一般地，若，則直線為曲線的鉛直漸近線. 在上例中，是曲線的鉛直漸近線. 2.4.3 無(wú)窮小的性質(zhì) 性質(zhì)1 充要條件是，其中為時(shí)的無(wú)窮小. 證明 ，，當(dāng)時(shí)，都有 . 令，則，即，說(shuō)明為時(shí)的無(wú)窮小. 此時(shí). 性質(zhì)2 在自變量的同一變化過(guò)程中，若為無(wú)窮大，則為無(wú)窮??；若為無(wú)窮小，且，則為無(wú)窮大. 例如 由于，則. 性質(zhì)3 有限個(gè)無(wú)窮小的和是無(wú)窮小. 性質(zhì)4 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小. 例10 求極限. 解 由于，是有界函數(shù)，而.由性質(zhì)4得 推論1 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小. 推論2 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小. 習(xí)題1-2 1.根據(jù)數(shù)列的變化趨勢(shì)，求下列數(shù)列的極限： （1）； （2）； （3）； （4）. 2.根據(jù)數(shù)列極限的定義，證明： （1）； （2）. （3）； （4）. 3.設(shè)，求證. 4.設(shè)數(shù)列有界，，求證. 5.根據(jù)函數(shù)極限的定義，證明： （1）； （2）； （3）； （4）. 6.求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的左、右極限，并判斷在改點(diǎn)處極限是否存在. （1），在處； （2），在處； （3），在處. 7.指出下列函數(shù)在什么情況下是無(wú)窮小，什么情況下是無(wú)窮大. （1）； （2）； （3）； （4）. 8.求下列函數(shù)的極限. （1）； （2）； （3）； （4）. 9.求函數(shù)的圖形的漸近線. 10.利用極限存在準(zhǔn)則證明： （1）； （2）； （3）數(shù)列的極限存在； （4）數(shù)列，的極限存在. 第3節(jié) 極限的運(yùn)算 本節(jié)討論極限的求法，主要內(nèi)容是極限的四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則，以及利用這些法則，求某些特定函數(shù)的極限.由于函數(shù)極限自變量的變化趨勢(shì)有不同的形式，下面僅以為代表討論. 3.1 極限的四則運(yùn)算法則 定理1 如果，則 （1）； （2）； （3）若，則 證明 只證. 由于，則 ，, 其中是時(shí)的無(wú)窮小.于是 . 由于仍然是時(shí)的無(wú)窮小，則 . 其它情況類似可證. 注：本定理可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形. 例1 求 解 例2 求 解 注：在運(yùn)用極限的四則運(yùn)算的商運(yùn)算時(shí)，分母的極限.但有時(shí)分母的極限，這時(shí)就不能直接應(yīng)用商運(yùn)算了. 例3 求 解 由于，分母中極限為0，故不能用四則運(yùn)算計(jì)算. 由于，根據(jù)無(wú)窮小的性質(zhì)，知 例4 求 解 由于時(shí)，分子、分母的極限都為0，記作型.分子分母有公因子，可約去公因子，所以 總結(jié)：在求有理函數(shù)除法的極限時(shí)， （1）當(dāng)時(shí)，應(yīng)用極限四則運(yùn)算法則，； （2）當(dāng)，且時(shí)，由無(wú)窮小的性質(zhì)，； （3）當(dāng)，且時(shí)，約去使分子、分母同為零的公因子，再使用四則運(yùn)算求極限. 例5 求 解 由于時(shí)，分子、分母的極限都為，記作型.用去除分子及分母，即 例6 求（1） （2） 解 （1）用去除分子及分母，得 . （2）用去除分子及分母，求極限得 總結(jié)：型的函數(shù)極限的一般規(guī)律是：當(dāng)，，為正整數(shù)，則 . 例7 求 解 這是型，可以先通分，再計(jì)算. 例8 求 解 這是型無(wú)理式，可以先進(jìn)行有理化，再計(jì)算. . 3.2 兩個(gè)重要極限 3.2.1 作單位圓（圖1-20）, 圖1-20 取圓心角，設(shè)，由圖1-20可知， 的面積， 即 ， 整理，得 . 不等式兩邊同時(shí)除以，取倒數(shù)，得 . 當(dāng)取值范圍換成區(qū)間，不等式符號(hào)不改變. 當(dāng)時(shí)，，有夾逼準(zhǔn)則知 注意：在利用求函數(shù)的極限時(shí)，要注意使用條件： （1）極限是型；（2）式中帶有三角函數(shù)；（3）中的變量一致，都趨向于0. 例9 求 解 例10 求 解 例11 求 解 3.2.2 考慮（正整數(shù)）的情形.記，下面證明是單調(diào)有界數(shù)列. 由于 . 類似地， . 比較和的展開式，除前兩項(xiàng)外，的每一項(xiàng)都小于的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，且比多了最后的正數(shù)項(xiàng)，所以，即是單調(diào)遞增數(shù)列. 由于 . 即是有界數(shù)列. 由極限存在準(zhǔn)則知，當(dāng)時(shí)，的極限存在，通常用字母來(lái)表示,即 . 可以證明，當(dāng)取實(shí)數(shù)而趨向（或）時(shí)，函數(shù)的極限也存在，且等于. 故當(dāng)時(shí)， . 令，當(dāng)時(shí)，，上式可變?yōu)? ， 故極限的另一種形式是 注意：在利用求函數(shù)極限時(shí)，要注意使用條件： （1）極限是型；（2）和中的變量一致，且括號(hào)內(nèi)與括號(hào)右上角處互為倒數(shù). 例12 求 解 例13 求 解 例14 求 解 3.3 無(wú)窮小的比較 引例 當(dāng)時(shí)，、、都是無(wú)窮小，而極限 ，，. 引例中，在時(shí)，三個(gè)函數(shù)都是無(wú)窮小，但比值的極限結(jié)果不同，這反映了不同的無(wú)窮小趨于0的速度“快慢”不同. 定義 在時(shí)，和為無(wú)窮小， （1）如果則稱是為高階無(wú)窮小，記作； （2）如果則稱是為低階無(wú)窮?。? （3）如果則稱與為同階無(wú)窮??； （4）如果則稱是關(guān)于的階無(wú)窮??； （5）如果則稱與為等價(jià)無(wú)窮小，記作. 顯然等價(jià)無(wú)窮小是同階無(wú)窮小的特殊情形，即. 在上面的例子中， 由于，則當(dāng)時(shí)，是的高階無(wú)窮小，記作； 由于，則當(dāng)時(shí)，是的低階無(wú)窮??； 由于，則當(dāng)時(shí)，是的同階無(wú)窮??； 由于，則當(dāng)時(shí)，是的等價(jià)無(wú)窮小. 在此，列舉出當(dāng)時(shí)，常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小有 ；；；；； ；；. 在上述幾個(gè)無(wú)窮小的概念中，最常見(jiàn)的是等價(jià)無(wú)窮小，下面給出等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)： 定理2 的充要條件是. 證明 以自變量時(shí)的極限為例. 必要性 設(shè)，則 . 故，即. 充分性 設(shè)，則 ， 故. 注：其他自變量的變化趨勢(shì)下同上. 定理3 ，，且存在，則 . 證明 以自變量時(shí)的極限為例. 定理3表明，在求兩個(gè)無(wú)窮小之比的的極限時(shí)，分子或分母都可用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替. 例15 求 解 當(dāng)時(shí)，，，則 例16 求 解 當(dāng)時(shí)，，，則 例17 求 解 （錯(cuò)誤做法）當(dāng)時(shí)，.則 （正確做法）當(dāng)時(shí)，.則 說(shuō)明：在代數(shù)和中各等價(jià)無(wú)窮小不能分別替換，在因式中可以用等價(jià)無(wú)窮小的替換. 習(xí)題1-3 1.求下列極限： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）（常數(shù)）； （14）； （15）； （16）（常數(shù)）； （17）； （18）； （19）； （20）； （21）； （22）； （23）； （24）. 2.已知，求常數(shù). 3.已知，求常數(shù). 第4節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性 在自然界中，有許多現(xiàn)象都是連續(xù)變化的，如氣溫的變化、河水的流動(dòng)、植物的生長(zhǎng)等.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性. 4.1 函數(shù)連續(xù)的概念 4.1.1 函數(shù)的增量 定義1 設(shè)變量從它的一個(gè)值變到另一個(gè)值，其差稱作變量的增量，記作，即. 例如，一天中某段時(shí)間，溫度從到，則溫度的增量.當(dāng)溫度升高時(shí)，；當(dāng)溫度降低時(shí)，；當(dāng)時(shí)間的改變量很微小時(shí)，溫度的變化也會(huì)很小；當(dāng)時(shí)，. 定義2 對(duì)于函數(shù)，如果在定義區(qū)間內(nèi)自變量從變到，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值由變化到，則稱為自變量的增量，記作，即 或. （1-4-1） 為函數(shù)的增量，記作，即 或. （1-4-2） 注：增量不一定是正的，當(dāng)初值大于終值時(shí)，增量就是負(fù)的. 4.1.2 函數(shù)連續(xù)的概念 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在這鄰域內(nèi)從變到時(shí)，函數(shù)增量（圖1-21）. 圖1-21 假定不變，讓變動(dòng)，也隨之變化.如果當(dāng)無(wú)限變小時(shí)，也無(wú)限變小.根據(jù)這一特點(diǎn)，給出函數(shù)在處連續(xù)的概念. 定義3 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果 ， （1-4-3） 則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù). 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，即是.而 ， 由就是，即 . 定義3可以改寫為如下定義： 定義4 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果 ， （1-4-4） 那么就稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù). 由定義4知，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，必須滿足下列三個(gè)條件： （1） 函數(shù)在點(diǎn)處有定義； （2） 存在，即； （3） 例1 討論函數(shù)在處的連續(xù)性. 解 由于 ， 而，故 . 由連續(xù)性的定義知，函數(shù)在處連續(xù). 由于函數(shù)在處極限存在等價(jià)于在處左、右極限都存在并且相等，結(jié)合這一特點(diǎn)，下面定義左、右連續(xù)的概念. 如果，則稱函數(shù)在點(diǎn)處的左連續(xù).如果，則稱函數(shù)在點(diǎn)處的右連續(xù). 如果函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，必有，則有 ， 這說(shuō)明了函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，既包含了在點(diǎn)處左連續(xù)，又包含了在點(diǎn)處右連續(xù). 定理1 函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是函數(shù)在點(diǎn)處既左連續(xù)又右連續(xù). 注：此定理常用于判定分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性. 例2 討論函數(shù) 在處的連續(xù)性. 解 函數(shù)圖形如圖1-22. 圖1-22 由于，故在處左連續(xù). ，故在處不右連續(xù). 因此由定理1知，函數(shù)在處不連續(xù). 以上是介紹函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的概念，下面介紹連續(xù)函數(shù)的概念. 定義5 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù),稱為內(nèi)的連續(xù)函數(shù). 如果函數(shù)在內(nèi)連續(xù),且在左端點(diǎn)處右連續(xù)，在右端點(diǎn)處左連續(xù)，則稱在閉區(qū)間上連續(xù). 例3 證明函數(shù)在內(nèi)是連續(xù)的. 證明 任取，則 由于 ， 當(dāng)時(shí)，由無(wú)窮小的性質(zhì)知，. 由定義1，在處連續(xù).而是在內(nèi)任取的，故在內(nèi)是連續(xù)的. 類似地，可以驗(yàn)證在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的. 4.2 函數(shù)的間斷點(diǎn) 定義6 如果函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，則稱在處間斷，稱為的間斷點(diǎn). 根據(jù)定義3，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件知.換句話說(shuō)，只要其中一個(gè)條件不滿足，函數(shù)就在處間斷.因此在處出現(xiàn)間斷的情形有下列三種： （1） 在處無(wú)定義； （2）在處雖然有定義，但是不存在； （3）在處有定義，存在，但是. 在處只要符合上述三種情形之一，則函數(shù)在處必間斷. 下面舉例函數(shù)間斷的例子. （1）函數(shù)在處無(wú)定義，所以是的間斷點(diǎn). （2）符號(hào)函數(shù)，在處，由于 ，. 由于在處函數(shù)左、右極限不相等，故不存在，因此是此函數(shù)的間斷點(diǎn). （3）函數(shù)，在處，由于 ， 而故，是此函數(shù)的間斷點(diǎn). 從上面的例子看出，函數(shù)在處雖然都是間斷，但產(chǎn)生間斷的原因各不相同.根據(jù)這一特點(diǎn)，下面對(duì)間斷點(diǎn)進(jìn)行分類: 如果與都存在，則稱為的第一類間斷點(diǎn)，否則稱為第二類間斷點(diǎn). 在第一類間斷點(diǎn)中，如果，則稱為的可去間斷點(diǎn)；如果，則稱為的跳躍間斷點(diǎn). 在上面的例子中，在（2）中是跳躍間斷點(diǎn)，在（3）中是可去間斷點(diǎn). 在第二類間斷點(diǎn)中，如果與至少有一個(gè)為，則稱為的無(wú)窮間斷點(diǎn)；如果與至少有一個(gè)是不斷振蕩的，則稱為的振蕩間斷點(diǎn). 在上例（1）中，是無(wú)窮間斷點(diǎn). 再如，為函數(shù)的間斷點(diǎn).當(dāng)時(shí)，函數(shù)在-1和1之間出現(xiàn)無(wú)限次的振蕩，如圖1-23： 圖1-23 則為振蕩間斷點(diǎn). 4.3 初等函數(shù)的連續(xù)性 定理2 設(shè)函數(shù)與在處連續(xù)，則其和、差、積、商（分母在處函數(shù)值不為零）在處也連續(xù). 定理3 設(shè)函數(shù)由和復(fù)合而成.且在處連續(xù)，處極限存在，則 . 注：內(nèi)函數(shù)的極限存在, 外函數(shù)在該極限點(diǎn)連續(xù)，則求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)極限符號(hào)可以與外函數(shù)符號(hào)互換. 例4 求 解 由和復(fù)合而成.且，在處連續(xù)，則 在定理3中，如果把條件改為在處連續(xù)，且結(jié)論仍然成立，即 . 例5 求 解 由和復(fù)合而成.在處連續(xù)，；在處連續(xù)，則 由于初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合構(gòu)成的，結(jié)合定理2和定理3知，初等函數(shù)在定義區(qū)間是連續(xù)的. 定理4 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的. 例6 求 解 例7 求 解 例8 求 解 令，則，當(dāng)時(shí)，.則 里7、例8也說(shuō)明了當(dāng)時(shí)，，. 例9 求 解 由于 ， 當(dāng)時(shí)，，故 . 一般地，形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù). 如果 則 . 4.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在4.1中已經(jīng)介紹了函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)的概念，下面繼續(xù)討論閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì). 4.4.1最值定理 定理5（最值定理）閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定存在最大值和最小值. 此定理說(shuō)明，如果函數(shù)，如圖1-24： 圖1-24 則至少存在一點(diǎn)，，，都有，則是上的最小值.至少存在一點(diǎn)，，，都有，則是上的最大值. 注：定理5中條件“閉區(qū)間”和“連續(xù)”很重要，如果缺少一個(gè)，定理5不一定成立. 例如，函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)雖然連續(xù)，但是沒(méi)有最大值和最小值（圖1-25）. 函數(shù)在閉區(qū)間上不連續(xù)，不存在最大值和最小值（圖1-26）. 圖1-25 圖1-26 由于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)存在最大值和最小值，因此閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必定有界. 推論：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上有界. 4.4.2 介值定理 定理6（介值定理）函數(shù)在上連續(xù)，和分別是在上的最大值和最小值，則至少存在一點(diǎn)，使得（圖1-27）. 圖1-27 定理7（零點(diǎn)定理）函數(shù)在上連續(xù)，且，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得（圖1-28）. 圖1-28 例10 證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根. 解 設(shè)，顯然在上連續(xù)，而 ，， 由零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn)，使得.即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根. 例11 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且,,證明至少存在一點(diǎn)，使得. 解 設(shè)，顯然在上連續(xù)，而 ，， 由零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn)，使得.即. 注：在應(yīng)用零點(diǎn)定理時(shí)，一定要注意檢驗(yàn)函數(shù)是否滿足定理使用的條件. 習(xí)題1-4 1.用定義證明在內(nèi)是連續(xù)的. 2.討論下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的連續(xù)性，如果間斷，說(shuō)明間斷點(diǎn)的類型；如果是可去間斷點(diǎn)，補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義使其連續(xù). （1），在處； （2），在處； （3），在處； （4），在處. 3.討論函數(shù)的連續(xù)性，如果間斷，說(shuō)明間斷點(diǎn)的類型. 4.已知函數(shù)在處連續(xù)，求的值. 5.求下列極限. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）. 6. 已知方程至少有一個(gè)實(shí)根. 7. 證明：若與都在上連續(xù)，且，，則存在點(diǎn)，使得. 8.證明方程（）至少有一個(gè)正根，且它不超過(guò). 9.證明函數(shù)在之間至少有2個(gè)零點(diǎn). 第5節(jié) 極限與連續(xù)的應(yīng)用 5.1 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用 5.1.1需求與供給函數(shù) 設(shè)為商品社會(huì)需求量，為商品的價(jià)格，則稱為需求函數(shù). 設(shè)商品的社會(huì)供給量為，則社會(huì)供給量與商品價(jià)格之間的函數(shù)為供給函數(shù). 某商品的價(jià)格水平位，商品的社會(huì)需求量和商品的供給量達(dá)到平衡，稱為均衡價(jià)格，即.此時(shí)，為均衡數(shù)量. 例1 某種商品的需求函數(shù)與供給函數(shù)分別為 ，， 求該商品的市場(chǎng)均衡價(jià)格和均衡數(shù)量. 解 設(shè)均衡價(jià)格為，滿足，即 ， 解得.從而均衡數(shù)量 5.1.2 成本、收益、利潤(rùn)函數(shù) 某商品的總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部經(jīng)濟(jì)資源的價(jià)格或費(fèi)用總額.它由固定資本(生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi),用于維修、添制設(shè)備等)和可變資本 (每單位產(chǎn)品消耗原材料、勞力等費(fèi)用)組成.由此可見(jiàn)總成本函數(shù)是產(chǎn)量（或銷量）的函數(shù)，即. 總收益是指銷售一定數(shù)量商品所得的收入，它既是銷量的函數(shù)，又是價(jià)格的函數(shù)，即. 生產(chǎn)（或銷售）一定數(shù)量商品的總利潤(rùn)在不考慮稅收的情況下，它是總收入 與總成本之差，即. 例2 已知某產(chǎn)品的價(jià)格為，需求函數(shù)為，成本函數(shù)為，求利潤(rùn)與產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系？產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大及最大利潤(rùn)是多少？ 解 有需求函數(shù)知，故收益函數(shù)為 ， 利潤(rùn)函數(shù) 因此，當(dāng)時(shí)取得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為25. 5.2 工程應(yīng)用 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，建立函數(shù)關(guān)系式（建立數(shù)學(xué)模型），并根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求，確定函數(shù)的定義域. 例3 放射性元素鍶的半衰期是25年，存量與時(shí)間的關(guān)系式為：.即任意質(zhì)量的鍶在25年后，其質(zhì)量將為原來(lái)的一半，其中為原始量. (1) 若一份鍶樣品的質(zhì)量為24mg，求鍶在年后質(zhì)量表達(dá)式； (2) 求. 解 （1）質(zhì)量為24mg，求鍶在年后質(zhì)量表達(dá)式：. （2）. 例4 設(shè) 冰從升到所需要的熱量（單位：）模型為 試問(wèn)當(dāng)時(shí)，函數(shù)是否連續(xù)？并解釋其幾何意義. 解 此分段函數(shù)的分界點(diǎn)為，因此只討論處的連續(xù)性即可. 由于 ， ， 故，函數(shù)在處的不連續(xù). 這是由于冰水混合物在時(shí)吸收熱量而不改變溫度. 習(xí)題1-5 1.某型號(hào)手機(jī)價(jià)格為每只1000元時(shí)能賣出15只，當(dāng)價(jià)格為每只800元時(shí)，能賣出20只.已知手機(jī)的價(jià)格高低與其需求量多少是線性關(guān)系，試建立該型號(hào)手機(jī)的需求量與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系. 2.工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)1000元，可變資本4元，單位售價(jià)8元.求： （1） 總成本函數(shù)； （2）單位成本函數(shù)； （3）銷售收入函數(shù)； （4）利潤(rùn)函數(shù). 3.某商品的銷售量與單價(jià)的關(guān)系為，試將總收益表示為銷售量的函數(shù). 4.某礦廠A要將生產(chǎn)出的礦石運(yùn)往鐵路旁的冶煉廠B冶煉.已知該礦距冶煉廠所在鐵路垂直距離為 a 公里,它的垂足 C 到 B 的距離為 b公里.又知鐵路運(yùn)價(jià)為 m 元/噸·公里,公路運(yùn)價(jià)是 n元/噸·公里(m < n),為節(jié)省運(yùn)費(fèi),擬在鐵路上另修一小站 M 作為轉(zhuǎn)運(yùn)站,那么總運(yùn)費(fèi)的多少?zèng)Q定于M的位置.試求出運(yùn)費(fèi)與距離的函數(shù)關(guān)系. 5.一個(gè)商場(chǎng)的停車場(chǎng)第一個(gè)小時(shí)及以內(nèi)收費(fèi)5元，以后每小時(shí)及以內(nèi)加收費(fèi)3元，每天最多收費(fèi)20元，討論此函數(shù)的間斷點(diǎn)及它們的意義. 6.空氣通過(guò)盛有吸收劑的圓柱形器皿，已知該器皿吸收的量與的體積分?jǐn)?shù)及吸收層厚度成正比.今有體積分?jǐn)?shù)為8%的空氣，通過(guò)厚度為10cm的吸收層后，體積分?jǐn)?shù)為2%.問(wèn) （1）若吸收層厚度為30cm，出口處空氣中的體積分?jǐn)?shù)是多少？ （2）若要使出口處空氣中的體積分?jǐn)?shù)為1%，吸收層厚度應(yīng)為多少？ 第6節(jié) MATLAB軟件應(yīng)用 6.1函數(shù)作圖 在高等數(shù)學(xué)中，經(jīng)常利用函數(shù)圖形研究函數(shù)的性質(zhì)，在此，我們應(yīng)用MATLAB命令來(lái)實(shí)現(xiàn)這一操作.應(yīng)用MATLAB命令描繪函數(shù)圖形常用命令是ezplot，其實(shí)用方法為： 對(duì)于一元函數(shù)在指定區(qū)間上做函數(shù)圖形命令：ezplot(f,[a,b])； 對(duì)于平面方程在指定區(qū)間上做函數(shù)圖形命ezplot(f,[a,b,c,d])； 對(duì)于參數(shù)方程在指定區(qū)間上做函數(shù)圖形命令：ezplot(f,g,[,]). 例1 作出在上的圖形. 解 輸入命令： ezplot(sin(x),[-pi,pi])； 輸出結(jié)果如圖1-28. 例2 作出在上的圖形. 解 輸入命令： ezplot(asin(x),[-1,1])； 輸出結(jié)果如圖1-29。 圖1-29 圖1-30 例3作出在上的圖形. 解 輸入命令： ezplot(t-sin(t),1-cos(t),[0,2*pi])； 輸出結(jié)果如圖1-30. 圖1-31 6.2 極限的計(jì)算 在MATLAB命令中，提供limit函數(shù)來(lái)求取數(shù)列的極限，其調(diào)用格式為： 的MATLAB命令：L=limit(an,n,inf); 的MATLAB命令：L=limit(f,x,inf); 的MATLAB命令：L=limit(f,x,-inf); 的MATLAB命令：L=limit(f,x,a); 的MATLAB命令：L=limit(f,x,a,’right’); 的MATLAB命令：L=limit(f,x,a,’left’). 例4 計(jì)算. 解 輸入命令： syms n； L=limit(1/n,n,inf)； 輸出結(jié)果：L=0. 例5 計(jì)算. 解 輸入命令： syms x； L=limit((x^2-1)/(x-1),x,1)； 輸出結(jié)果：L=2. 例6 計(jì)算. 解 輸入命令： syms x； L=limit(atan(x),x,inf)； 輸出結(jié)果：L =pi/2. 例7 設(shè)，計(jì)算. 解 此函數(shù)為分段函數(shù)，在處要討論左、右極限. 輸入命令： Lleft=limit(abs(x)/x,x,0,'left')； 輸出結(jié)果：Lleft = -1. Lright=limit(abs(x)/x,x,0,'right')； 輸出結(jié)果：Lright =1. 由于函數(shù)在處左、右極限不相等，故在處極限不存在. 總習(xí)題1 （A） 1. 求下列函數(shù)的定義域. （1）； （2）； （3）； （4）； （5），已知的定義域?yàn)椋? （6）. 2. 設(shè)，求. 3. 求下列函數(shù)的反函數(shù). （1）； （2）； （3）； （4）. 4. 求下列函數(shù)的極限. （1）； （2）； （3）；