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初高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論 1. 元素與集合的關(guān)系 ,. 2.德摩根公式 . 3.包含關(guān)系 4.容斥原理 . 5．集合的子集個(gè)數(shù)共有 個(gè)；真子集有–1個(gè)；非空子集有 –1個(gè)；非空的真子集有–2個(gè). 6.二次函數(shù)的解析式的三種形式 (1)一般式; (2)頂點(diǎn)式; (3)零點(diǎn)式. 7.解連不等式常有以下轉(zhuǎn)化形式 . 8.方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根,與不等價(jià),前者是后者的一個(gè)必要而不是充分條件.特別地, 方程有且只有一個(gè)實(shí)根在內(nèi),等價(jià)于,或且,或且. 9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下： (1)當(dāng)a>0時(shí)，若，則； ，，. (2)當(dāng)a<0時(shí)，若，則，若，則，. 10.一元二次方程的實(shí)根分布 依據(jù)：若，則方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 . 設(shè)，則 （1）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或； （2）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或或或； （3）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或 . 11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù) (1)在給定區(qū)間的子區(qū)間（形如，，不同）上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是. (2)在給定區(qū)間的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是. (3)恒成立的充要條件是或. 12.真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常見結(jié)論的否定形式 原結(jié)論 反設(shè)詞 原結(jié)論 反設(shè)詞 是 不是 至少有一個(gè) 一個(gè)也沒有 都是 不都是 至多有一個(gè) 至少有兩個(gè) 大于 不大于 至少有個(gè) 至多有（）個(gè) 小于 不小于 至多有個(gè) 至少有（）個(gè) 對所有， 成立 存在某， 不成立 或 且 對任何， 不成立 存在某， 成立 且 或 14.四種命題的相互關(guān)系 原命題　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命題 若ｐ則ｑ　　　　　　　　　　　　　　　若ｑ則ｐ 　　　　　　　互　　　　　　　互 　　互　　　　　　　　為　　　為　　　　　　　　互 　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否 　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　否　　　　　　 否 否命題　　　　　　　　　　　　　　　逆否命題　　　 若非ｐ則非ｑ　　　　互逆　　　　　　若非ｑ則非ｐ 15.充要條件 （1）充分條件：若，則是充分條件. （2）必要條件：若，則是必要條件. （3）充要條件：若，且，則是充要條件. 注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然. 16.函數(shù)的單調(diào)性 (1)設(shè)那么 上是增函數(shù)； 上是減函數(shù). (2)設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù). 17.如果函數(shù)和都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)也是減函數(shù); 如果函數(shù)和在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)是增函數(shù). 18．奇偶函數(shù)的圖象特征 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)． 19.若函數(shù)是偶函數(shù)，則；若函數(shù)是偶函數(shù)，則. 20.對于函數(shù)(),恒成立,則函數(shù)的對稱軸是函數(shù);兩個(gè)函數(shù)與 的圖象關(guān)于直線對稱. 21.若,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱; 若,則函數(shù)為周期為的周期函數(shù). 22．多項(xiàng)式函數(shù)的奇偶性 多項(xiàng)式函數(shù)是奇函數(shù)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零. 多項(xiàng)式函數(shù)是偶函數(shù)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零. 23.函數(shù)的圖象的對稱性 (1)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 . (2)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 . 24.兩個(gè)函數(shù)圖象的對稱性 (1)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對稱. (2)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱. (3)函數(shù)和的圖象關(guān)于直線y=x對稱. 25.若將函數(shù)的圖象右移、上移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象；若將曲線的圖象右移、上移個(gè)單位，得到曲線的圖象. 26．互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系 . 27.若函數(shù)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為,并不是,而函數(shù)是的反函數(shù). 28.幾個(gè)常見的函數(shù)方程 (1)正比例函數(shù),. (2)指數(shù)函數(shù),. (3)對數(shù)函數(shù),. (4)冪函數(shù),. (5)余弦函數(shù),正弦函數(shù)，， . 29.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0) （1），則的周期T=a； （2）， 或， 或, 或,則的周期T=2a； (3)，則的周期T=3a； (4)且，則的周期T=4a； (5) ,則的周期T=5a； (6)，則的周期T=6a. 30.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (1)（，且）. (2)（，且）. 31．根式的性質(zhì) （1）. （2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，； 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，. 32．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) (1) . (2) . (3). 注： 若a＞0，p是一個(gè)無理數(shù)，則ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用. 33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式 . 34.對數(shù)的換底公式 (,且,,且, ). 推論 (,且,,且,, ). 35．對數(shù)的四則運(yùn)算法則 若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則 (1); (2) ; (3). 36.設(shè)函數(shù),記.若的定義域?yàn)?則，且;若的值域?yàn)?則，且.對于的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn). 37. 對數(shù)換底不等式及其推廣 若,,,,則函數(shù) (1)當(dāng)時(shí),在和上為增函數(shù). ， (2)當(dāng)時(shí),在和上為減函數(shù). 推論:設(shè)，，，且，則 （1）. （2）. 38. 平均增長率的問題 如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為，則對于時(shí)間的總產(chǎn)值，有. 39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系 ( 數(shù)列的前n項(xiàng)的和為). 40.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 ； 其前n項(xiàng)和公式為 . 41.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 ； 其前n項(xiàng)的和公式為 或. 42.等比差數(shù)列:的通項(xiàng)公式為 ； 其前n項(xiàng)和公式為 . 43.分期付款(按揭貸款) 每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為). 44．常見三角不等式 （1）若，則. (2) 若，則. (3) . 45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 ，=，. 46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式 (n為偶數(shù)) (n為奇數(shù)) (n為偶數(shù)) (n為奇數(shù)) 47.和角與差角公式 ; ; . (平方正弦公式); . =(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定, ). 48.二倍角公式 . . . 49. 三倍角公式 . .. 50.三角函數(shù)的周期公式 函數(shù)，x∈R及函數(shù)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期；函數(shù)，(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期. 51.正弦定理? . 52.余弦定理 ; ; . 53.面積定理 （1）（分別表示a、b、c邊上的高）. （2）. (3). 54.三角形內(nèi)角和定理 在△ABC中，有 . 55. 簡單的三角方程的通解 . . . 特別地,有 . . . 56.最簡單的三角不等式及其解集 . . . . . . 57.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律 設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么 (1) 結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律： (1) a·b= b·a （交換律）; (2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理? 如果e1、e 2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2． 不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 60．向量平行的坐標(biāo)表示?? 設(shè)a=,b=，且b0，則ab(b0). 53. a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積) a·b=|a||b|cosθ． 61. a·b的幾何意義 數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積． 62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)設(shè)a=,b=，則a+b=. (2)設(shè)a=,b=，則a-b=. (3)設(shè)A，B,則. (4)設(shè)a=，則a=. (5)設(shè)a=,b=，則a·b=. 63.兩向量的夾角公式 (a=,b=). 64.平面兩點(diǎn)間的距離公式 = (A，B). 65.向量的平行與垂直 設(shè)a=,b=，且b0，則 A||bb=λa . ab(a0)a·b=0. 66.線段的定比分公式 ? 設(shè)，，是線段的分點(diǎn),是實(shí)數(shù)，且，則 （）. 67.三角形的重心坐標(biāo)公式 △ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、,則△ABC的重心的坐標(biāo)是. 68.點(diǎn)的平移公式 . 注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x，y)在平移后圖形上的對應(yīng)點(diǎn)為，且的坐標(biāo)為. 69.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論 （1）點(diǎn)按向量a=平移后得到點(diǎn). (2) 函數(shù)的圖象按向量a=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為. (3) 圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為. (4)曲線:按向量a=平移后得到圖象,則的方程為. (5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然為m=. 70. 三角形五“心”向量形式的充要條件 設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，角所對邊長分別為，則 （1）為的外心. （2）為的重心. （3）為的垂心. （4）為的內(nèi)心. （5）為的的旁心. 71.常用不等式： （1）(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號)． （2）(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號)． （3） （4）柯西不等式 （5）. 72.極值定理 已知都是正數(shù)，則有 （1）若積是定值，則當(dāng)時(shí)和有最小值； （2）若和是定值，則當(dāng)時(shí)積有最大值. 推廣 已知，則有 （1）若積是定值,則當(dāng)最大時(shí),最大； 當(dāng)最小時(shí),最小. （2）若和是定值,則當(dāng)最大時(shí), 最?。? 當(dāng)最小時(shí), 最大. 73.一元二次不等式，如果與同號，則其解集在兩根之外；如果與異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間. ； . 74.含有絕對值的不等式 當(dāng)a> 0時(shí)，有 . 或. 75.無理不等式 （1） . （2）. （3）. 76.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式 (1)當(dāng)時(shí), ; . (2)當(dāng)時(shí), ; 77.斜率公式 （、）. 78.直線的五種方程 （1）點(diǎn)斜式 (直線過點(diǎn)，且斜率為)． （2）斜截式 (b為直線在y軸上的截距). （3）兩點(diǎn)式 ()(、 ()). (4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距，) （5）一般式 (其中A、B不同時(shí)為0). 79.兩條直線的平行和垂直 (1)若， ①; ②. (2)若,,且A1、A2、B1、B2都不為零, ①； ②； 80.夾角公式 (1). (，,) (2). (,,). 直線時(shí)，直線l1與l2的夾角是. 81. 到的角公式 (1). (，,) (2). (,,). 直線時(shí)，直線l1到l2的角是. 82．四種常用直線系方程 (1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過定點(diǎn)的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù); 經(jīng)過定點(diǎn)的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)． (2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線,的交點(diǎn)的直線系方程為(除)，其中λ是待定的系數(shù)． (3)平行直線系方程：直線中當(dāng)斜率k一定而b變動時(shí)，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是()，λ是參變量． (4)垂直直線系方程：與直線 (A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參變量． 83.點(diǎn)到直線的距離 (點(diǎn),直線：). 84. 或所表示的平面區(qū)域 設(shè)直線，則或所表示的平面區(qū)域是： 若，當(dāng)與同號時(shí)，表示直線的上方的區(qū)域；當(dāng)與異號時(shí)，表示直線的下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,異號在下. 若，當(dāng)與同號時(shí)，表示直線的右方的區(qū)域；當(dāng)與異號時(shí)，表示直線的左方的區(qū)域. 簡言之,同號在右,異號在左. 85. 或所表示的平面區(qū)域 設(shè)曲線（），則 或所表示的平面區(qū)域是： 所表示的平面區(qū)域上下兩部分； 所表示的平面區(qū)域上下兩部分. 86. 圓的四種方程 （1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 . （2）圓的一般方程 (＞0). （3）圓的參數(shù)方程 . （4）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點(diǎn)是、). 87. 圓系方程 (1)過點(diǎn),的圓系方程是 ,其中是直線的方程,λ是待定的系數(shù)． (2)過直線:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)． (3) 過圓:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)． 88.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種 若，則 點(diǎn)在圓外;點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓內(nèi). 89.直線與圓的位置關(guān)系 直線與圓的位置關(guān)系有三種: ; ; . 其中. 90.兩圓位置關(guān)系的判定方法 設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2， ; ; ; ; . 91.圓的切線方程 (1)已知圓． ①若已知切點(diǎn)在圓上，則切線只有一條，其方程是 . 當(dāng)圓外時(shí), 表示過兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程． ②過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求k，這時(shí)必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線． ③斜率為k的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求b，必有兩條切線． (2)已知圓． ①過圓上的點(diǎn)的切線方程為; ②斜率為的圓的切線方程為. 92.橢圓的參數(shù)方程是. 93.橢圓焦半徑公式 ，. 94．橢圓的的內(nèi)外部 （1）點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部. （2）點(diǎn)在橢圓的外部. 95. 橢圓的切線方程 (1)橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是. （2）過橢圓外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 . （3）橢圓與直線相切的條件是. 96.雙曲線的焦半徑公式 ，. 97.雙曲線的內(nèi)外部 (1)點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部. (2)點(diǎn)在雙曲線的外部. 98.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系 (1）若雙曲線方程為漸近線方程：. (2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為. (3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）. 99. 雙曲線的切線方程 (1)雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是. （2）過雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 . （3）雙曲線與直線相切的條件是. 100. 拋物線的焦半徑公式 拋物線焦半徑. 過焦點(diǎn)弦長. 101.拋物線上的動點(diǎn)可設(shè)為P或 P，其中 . 102.二次函數(shù)的圖象是拋物線：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）準(zhǔn)線方程是. 103.拋物線的內(nèi)外部 (1)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部. 點(diǎn)在拋物線的外部. (2)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部. 點(diǎn)在拋物線的外部. (3)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部. 點(diǎn)在拋物線的外部. (4) 點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部. 點(diǎn)在拋物線的外部. 104. 拋物線的切線方程 (1)拋物線上一點(diǎn)處的切線方程是. （2）過拋物線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是. （3）拋物線與直線相切的條件是. 105.兩個(gè)常見的曲線系方程 (1)過曲線,的交點(diǎn)的曲線系方程是 (為參數(shù)). (2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程,其中.當(dāng)時(shí),表示橢圓; 當(dāng)時(shí),表示雙曲線. 106.直線與圓錐曲線相交的弦長公式 或 （弦端點(diǎn)A，由方程 消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率）. 107.圓錐曲線的兩類對稱問題 （1）曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的曲線是. （2）曲線關(guān)于直線成軸對稱的曲線是 . 108.“四線”一方程 對于一般的二次曲線，用代，用代，用代，用代，用代即得方程 ，曲線的切線，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦，弦中點(diǎn)方程均是此方程得到. 109．證明直線與直線的平行的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)； （2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行； （3）轉(zhuǎn)化為線面平行； （4）轉(zhuǎn)化為線面垂直； （5）轉(zhuǎn)化為面面平行. 110．證明直線與平面的平行的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)； （2）轉(zhuǎn)化為線線平行； （3）轉(zhuǎn)化為面面平行. 111．證明平面與平面平行的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)； （2）轉(zhuǎn)化為線面平行； （3）轉(zhuǎn)化為線面垂直. 112．證明直線與直線的垂直的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為相交垂直； （2）轉(zhuǎn)化為線面垂直； （3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直； （4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直. 113．證明直線與平面垂直的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直； （2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直； （3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行； （4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面； （5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直. 114．證明平面與平面的垂直的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角； （2）轉(zhuǎn)化為線面垂直. 115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律 (1)加法交換律：a＋b=b＋a． (2)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)數(shù)乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb． 116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣 始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對角線所表示的向量. 117.共線向量定理 對空間任意兩個(gè)向量a、b(b≠0 )，a∥b存在實(shí)數(shù)λ使a=λb． 三點(diǎn)共線. 、共線且不共線且不共線. 118.共面向量定理 向量p與兩個(gè)不共線的向量a、b共面的存在實(shí)數(shù)對,使． 推論 空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對,使， 或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有序?qū)崝?shù)對，使. 119.對空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)A、B、C，滿足（），則當(dāng)時(shí)，對于空間任一點(diǎn)，總有P、A、B、C四點(diǎn)共面；當(dāng)時(shí)，若平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)共面；若平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)不共面． 四點(diǎn)共面與、共面 （平面ABC）. 120.空間向量基本定理 如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc． 推論 設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使. 121.射影公式 已知向量=a和軸，e是上與同方向的單位向量.作A點(diǎn)在上的射影，作B點(diǎn)在上的射影，則 〈a，e〉=a·e 122.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè)a＝，b＝則 (1)a＋b＝； (2)a－b＝； (3)λa＝ (λ∈R)； (4)a·b＝； 123.設(shè)A，B，則 = . 124．空間的線線平行或垂直 設(shè)，，則 ； . 125.夾角公式 設(shè)a＝，b＝，則 cos〈a，b〉=. 推論 ，此即三維柯西不等式. 126. 四面體的對棱所成的角 四面體中, 與所成的角為,則 . 127．異面直線所成角 = （其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量） 128.直線與平面所成角 (為平面的法向量). 129.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個(gè)內(nèi)角，則 . 特別地,當(dāng)時(shí),有 . 130.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個(gè)內(nèi)角，則 . 特別地,當(dāng)時(shí),有 . 131.二面角的平面角 或（，為平面，的法向量）. 132.三余弦定理 設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為．則. 133. 三射線定理 若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是,,與二面角的棱所成的角是θ，則有 ; (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立). 134.空間兩點(diǎn)間的距離公式 若A，B，則 =. 135.點(diǎn)到直線距離 (點(diǎn)在直線上，直線的方向向量a=，向量b=). 136.異面直線間的距離 (是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離). 137.點(diǎn)到平面的距離 （為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）. 138.異面直線上兩點(diǎn)距離公式 . . （）. (兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段的長度為h.在直線a、b上分別取兩點(diǎn)E、F，,,). 139.三個(gè)向量和的平方公式 140. 長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有 . （立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）. 141. 面積射影定理 . (平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的側(cè)棱長是,側(cè)面積和體積分別是和,它的直截面的周長和面積分別是和,則 ①. ②. 143．作截面的依據(jù) 三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行. 144．棱錐的平行截面的性質(zhì) 如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比． 145.歐拉定理(歐拉公式) (簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F). （1）=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個(gè)面的邊數(shù)為的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：； （2）若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為，則頂點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：. 146.球的半徑是R，則 其體積, 其表面積． 147.球的組合體 (1)球與長方體的組合體: 長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長. (2)球與正方體的組合體: 正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長. (3) 球與正四面體的組合體: 棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為. 148．柱體、錐體的體積 （是柱體的底面積、是柱體的高）. （是錐體的底面積、是錐體的高）. 149.分類計(jì)數(shù)原理（加法原理） . 150.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理） . 151.排列數(shù)公式 ==.(，∈N*，且)． 注:規(guī)定. 152.排列恒等式 (1）; （2）; （3）; （4）; （5）. (6) . 153.組合數(shù)公式 ===(∈N*，，且). 154.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì) (1)= ; (2) +=. 注:規(guī)定. 155.組合恒等式 （1）; （2）; （3）; （4）=; （5）. (6). (7). (8). (9). (10). 156.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系 . 157．單條件排列 以下各條的大前提是從個(gè)元素中取個(gè)元素的排列. （1）“在位”與“不在位” ①某（特）元必在某位有種；②某（特）元不在某位有（補(bǔ)集思想）（著眼位置）（著眼元素）種. （2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰） ①定位緊貼：個(gè)元在固定位的排列有種. ②浮動緊貼：個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一起的排法有種.注：此類問題常用捆綁法； ③插空：兩組元素分別有k、h個(gè)（），把它們合在一起來作全排列，k個(gè)的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有種. （3）兩組元素各相同的插空 個(gè)大球個(gè)小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？ 當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，有種排法. （4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個(gè)和n個(gè)，各組元素分別相同的排列數(shù)為. 158．分配問題 （1）(平均分組有歸屬問題)將相異的、個(gè)物件等分給個(gè)人，各得件，其分配方法數(shù)共有. （2）(平均分組無歸屬問題)將相異的·個(gè)物體等分為無記號或無順序的堆，其分配方法數(shù)共有 . （3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的個(gè)物體分給個(gè)人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且，，…，這個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有. （4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的個(gè)物體分給個(gè)人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且，，…，這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、…個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有 . （5）(非平均分組無歸屬問題)將相異的個(gè)物體分為任意的，，…，件無記號的堆，且，，…，這個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有. （6）(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的個(gè)物體分為任意的，，…，件無記號的堆，且，，…，這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、…個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有. （7）(限定分組有歸屬問題)將相異的（）個(gè)物體分給甲、乙、丙，……等個(gè)人，物體必須被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，…時(shí)，則無論，，…，等個(gè)數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有 . 159．“錯位問題”及其推廣 貝努利裝錯箋問題:信封信與個(gè)信封全部錯位的組合數(shù)為 . 推廣: 個(gè)元素與個(gè)位置,其中至少有個(gè)元素錯位的不同組合總數(shù)為 . 160．不定方程的解的個(gè)數(shù) (1)方程（）的正整數(shù)解有個(gè). (2) 方程（）的非負(fù)整數(shù)解有 個(gè). (3) 方程（）滿足條件(,)的非負(fù)整數(shù)解有個(gè). (4) 方程（）滿足條件(,)的正整數(shù)解有個(gè). 161.二項(xiàng)式定理 ; 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式 . 162.等可能性事件的概率 . 163.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 164.個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和 P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 165.獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)． 167.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率 168.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì) （1）; （2）. 169.數(shù)學(xué)期望 170.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) （1）. （2）若～,則. (3) 若服從幾何分布,且，則. 171.方差 172.標(biāo)準(zhǔn)差 =. 173.方差的性質(zhì) (1)； (2）若～，則. (3) 若服從幾何分布,且，則. 174.方差與期望的關(guān)系 . 175.正態(tài)分布密度函數(shù) ，式中的實(shí)數(shù)μ，（>0）是參數(shù)，分別表示個(gè)體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差. 176.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù) . 177.對于，取值小于x的概率 . . 178.回歸直線方程 ，其中. 179.相關(guān)系數(shù) . |r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小. 180.特殊數(shù)列的極限 （1）. （2）. （3）（無窮等比數(shù)列 ()的和）. 181. 函數(shù)的極限定理 . 182.函數(shù)的夾逼性定理 如果函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在點(diǎn)x0的附近滿足： （1）; （2）（常數(shù)）, 則. 本定理對于單側(cè)極限和的情況仍然成立. 183.幾個(gè)常用極限 （1），（）； （2），. 184.兩個(gè)重要的極限 （1）； （2）(e=2.718281845…). 185.函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則 若，，則 (1)； (2); (3). 186.數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則 若，則 (1)； (2)； (3) (4)( c是常數(shù)). 187.在處的導(dǎo)數(shù)（或變化率或微商） . 188.瞬時(shí)速度 . 189.瞬時(shí)加速度 . 190.在的導(dǎo)數(shù) . 191. 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是. 192.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) （C為常數(shù)）. (2) . (3) . (4) . (5) ；. (6) ; . 193.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 （1）. （2）. （3）. 194.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)處的對應(yīng)點(diǎn)U處有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，且，或?qū)懽? 195.常用的近似計(jì)算公式（當(dāng)充小時(shí)） (1);； (2) 、 ； ； (3)； (4)； (5)（為弧度）； (6)（為弧度）； (7)（為弧度） 196.判別是極大（小）值的方法 當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時(shí)， （1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極大值； （2）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極小值. 197.復(fù)數(shù)的相等 .（） 198.復(fù)數(shù)的模（或絕對值） ==. 199.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則 (1); (2); (3); (4). 200.復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算律 對于任何，有 交換律:. 結(jié)合律:. 分配律: . 201.復(fù)平面上的兩點(diǎn)間的距離公式 （，）. 202.向量的垂直 非零復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則 的實(shí)部為零為純虛數(shù) (λ為非零實(shí)數(shù)). 203.實(shí)系數(shù)一元二次方程的解 實(shí)系數(shù)一元二次方程， ①若,則; ②若,則; ③若，它在實(shí)數(shù)集內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根；在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根. 1．集合元素具有①確定性②互異性③無序性 2．集合表示方法①列舉法 ②描述法 ③韋恩圖 ④數(shù)軸法 3．集合的運(yùn)算 ⑴ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ⑵ Cu(A∩B)=CuA∪CuB Cu(A∪B)=CuA∩CuB 4．集合的性質(zhì) ⑴n元集合的子集數(shù)：2n 真子集數(shù)：2n-1；非空真子集數(shù)：2n-2 高中數(shù)學(xué)概念總結(jié) 一、 函數(shù) 1、 若集合A中有n 個(gè)元素，則集合A的所有不同的子集個(gè)數(shù)為 ，所有非空真子集的個(gè)數(shù)是 。 二次函數(shù) 的圖象的對稱軸方程是 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 。用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式時(shí)，解析式的設(shè)法有三種形式，即 ， 和 （頂點(diǎn)式）。 2、 冪函數(shù) ，當(dāng)n為正奇數(shù)，m為正偶數(shù)，m0，=0，<0，等價(jià)于直線與圓相交、相切、相離； ②考查圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系：距離大于半徑、等于半徑、小于半徑，等價(jià)于直線與圓相離、相切、相交。 15、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式是： 16、拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是： ，準(zhǔn)線方程是： 。 若點(diǎn) 是拋物線 上一點(diǎn)，則該點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離（稱為焦半徑）是： ，過該拋物線的焦點(diǎn)且垂直于拋物線對稱軸的弦（稱為通徑）的長是： 。 17、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式是： 和 。 18、橢圓 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ，準(zhǔn)線方程是 ，離心率是 ，通徑的長是 。其中 。 19、若點(diǎn) 是橢圓 上一點(diǎn)， 是其左、右焦點(diǎn)，則點(diǎn)P的焦半徑的長是 和 。 20、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式是： 和 。 21、雙曲線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ，準(zhǔn)線方程是 ，離心率是 ，通徑的長是 ，漸近線方程是 。其中 。 22、與雙曲線 共漸近線的雙曲線系方程是 。與雙曲線 共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是 。 23、若直線 與圓錐曲線交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為 ； 若直線 與圓錐曲線交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為 。 24、圓錐曲線的焦參數(shù)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，對于橢圓和雙曲線都有： 。 25、平移坐標(biāo)軸，使新坐標(biāo)系的原點(diǎn) 在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是（h，k），若點(diǎn)P在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是 在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是 ，則 = ， = 。 九、 極坐標(biāo)、參數(shù)方程 1、 經(jīng)過點(diǎn) 的直線參數(shù)方程的一般形式是： 。 2、 若直線 經(jīng)過點(diǎn) ，則直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式是： 。其中點(diǎn)P對應(yīng)的參數(shù)t的幾何意義是：有向線段 的數(shù)量。 若點(diǎn)P1、P2、P是直線 上的點(diǎn)，它們在上述參數(shù)方程中對應(yīng)的參數(shù)分別是 則： ；當(dāng)點(diǎn)P分有向線段 時(shí)， ；當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)， 。 3、圓心在點(diǎn) ，半徑為 的圓的參數(shù)方程是： 。 3、 若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為 直角坐標(biāo)為 ，則 ， ， 。 4、 經(jīng)過極點(diǎn)，傾斜角為 的直線的極坐標(biāo)方程是： ， 經(jīng)過點(diǎn) ，且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是： ， 經(jīng)過點(diǎn) 且平行于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是： ， 經(jīng)過點(diǎn) 且傾斜角為 的直線的極坐標(biāo)方程是： 。 5、 圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程是 ； 圓心在點(diǎn) 的圓的極坐標(biāo)方程是 ； 圓心在點(diǎn) 的圓的極坐標(biāo)方程是 ； 圓心在點(diǎn) ，半徑為 的圓的極坐標(biāo)方程是 。 6、 若點(diǎn)M 、N ，則 。 十、 立體幾何 1、求二面角的射影公式是 ，其中各個(gè)符號的含義是： 是二面角的一個(gè)面內(nèi)圖形F的面積， 是圖形F在二面角的另一個(gè)面內(nèi)的射影， 是二面角的大小。 2、若直線 在平面 內(nèi)的射影是直線 ，直線m是平面 內(nèi)經(jīng)過 的斜足的一條直線， 與 所成的角為 ， 與m所成的角為 , 與m所成的角為θ，則這三個(gè)角之間的關(guān)系是 。 3、體積公式： 柱體： ，圓柱體： 。 斜棱柱體積： （其中， 是直截面面積， 是側(cè)棱長）； 錐體： ，圓錐體： 。 臺體： ， 圓臺體： 球體： 。 4、 側(cè)面積： 直棱柱側(cè)面積： ，斜棱柱側(cè)面積： ； 正棱錐側(cè)面積： ，正棱臺側(cè)面積： ； 圓柱側(cè)面積： ，圓錐側(cè)面積： ， 圓臺側(cè)面積： ，球的表面積： 。 5、幾個(gè)基本公式： 弧長公式： （ 是圓心角的弧度數(shù)， >0）； 扇形面積公式： ； 圓錐側(cè)面展開圖（扇形）的圓心角公式： ； 圓臺側(cè)面展開圖（扇環(huán)）的圓心角公式： 。 經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的最大截面的面積為（圓錐的母線長為 ，軸截面頂角是θ）： 十一、比例的幾個(gè)性質(zhì) 1、比例基本性質(zhì)： 2、反比定理： 3、更比定理： 5、 合比定理； 6、 分比定理： 7、 合分比定理： 8、 分合比定理： 9、 等比定理：若 ， ，則 。 十二、復(fù)合二次根式的化簡 當(dāng) 是一個(gè)完全平方數(shù)時(shí)，對形如 的根式使用上述公式化簡比較方便。 ⑵并集元素個(gè)數(shù)： n(A∪B)=nA+nB-n(A∩B) 5．N 自然數(shù)集或非負(fù)整數(shù)集 Z 整數(shù)集 Q有理數(shù)集 R實(shí)數(shù)集 6．簡易邏輯中符合命題的真值表 p 非p 真 假 假 真 二．函數(shù) 1．二次函數(shù)的極點(diǎn)坐標(biāo)： 函數(shù) 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 2．函數(shù) 的單調(diào)性： 在 處取極值 3．函數(shù)的奇偶性： 在定義域內(nèi)，若 ，則為偶函數(shù)；若 則為奇函數(shù)。 1.誘導(dǎo)公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(π2-a)=cos(a) cos(π2-a)=sin(a) sin(π2+a)=cos(a) cos(π2+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) 2.兩角和與差的三角函數(shù) sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b) tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b) 3.和差化積公式 sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2) sin(a)?sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2) cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2) cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2) 4.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(b) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 5.半角公式 sin2(a2)=1-cos(a)2 cos2(a2)=1+cos(a)2 tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a) 6.萬能公式 sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2) cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2) tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2) 7.其它公式(推導(dǎo)出來的 ) a?sin(a)+b?cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中 tan(c)=ba a?sin(a)+b?cos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=ab 1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))2 1-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2 回答者： 吳域ぁ慕紫 - 二級 2007-7-23 21:57 可以下載HTML文件，總結(jié)得很好，很方便 http://www.ggjy.net/xspd/xsbk/200408/815.html 數(shù)學(xué)高考基礎(chǔ)知識、常見結(jié)論詳解 一、集合與簡易邏輯： 一、理解集合中的有關(guān)概念 （1）集合中元素的特征： 確定性 ， 互異性 ， 無序性 。 集合元素的互異性：如： ， ，求 ； （2）集合與元素的關(guān)系用符號 ， 表示。 （3）常用數(shù)集的符號表示：自然數(shù)集 ；正整數(shù)集 、 ；整數(shù)集 ；有理數(shù)集 、實(shí)數(shù)集 。 （4）集合的表示法： 列舉法 ， 描述法 ， 韋恩圖 。 注意：區(qū)分集合中元素的形式：如： ； ； ； ； ； ； （5）空集是指不含任何元素的集合。（ 、 和 的區(qū)別；0與三者間的關(guān)系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 注意：條件為 ，在討論的時(shí)候不要遺忘了 的情況。 如： ，如果 ，求 的取值。 二、集合間的關(guān)系及其運(yùn)算 （1）符號“ ”是表示元素與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn) 點(diǎn)與直線（面）的關(guān)系 ； 符號“ ”是表示集合與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn) 面與直線(面)的關(guān)系 。 （2） ； ； （3）對于任意集合 ，則： ① ； ； ； ② ； ； ； ； ③ ； ； （4）①若 為偶數(shù)，則 ；若 為奇數(shù)，則 ； ②若 被3除余0，則 ；若 被3除余1，則 ；若 被3除余2