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58 目 錄 王力平博士根據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)出以下參考方法，望廣大師生受益 前言 ……………………………………………………… 2 第一章 高中數(shù)學(xué)解題基本方法 ……………………… 3 一、 配方法 ……………………………………… 3 二、 換元法 ……………………………………… 7 三、 待定系數(shù)法 ………………………………… 14 四、 定義法 ……………………………………… 19 五、 數(shù)學(xué)歸納法 ………………………………… 23 六、 參數(shù)法 ……………………………………… 28 七、 反證法 ……………………………………… 32 八、 消去法 ……………………………………… 九、 分析與綜合法 ……………………………… 十、 特殊與一般法 ……………………………… 十一、 類比與歸納法 ………………………… 十二、 觀察與實(shí)驗(yàn)法 ………………………… 第二章 高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想 …………………… 35 一、 數(shù)形結(jié)合思想 ……………………………… 35 二、 分類討論思想 ……………………………… 41 三、 函數(shù)與方程思想 …………………………… 47 四、 轉(zhuǎn)化（化歸）思想 ………………………… 54 第三章 高考熱點(diǎn)問題和解題策略 …………………… 59 一、 應(yīng)用問題 …………………………………… 59 二、 探索性問題 ………………………………… 65 三、 選擇題解答策略 …………………………… 71 四、 填空題解答策略 …………………………… 77 附錄 ……………………………………………………… 一、 高考數(shù)學(xué)試卷分析 ………………………… 二、 兩套高考模擬試卷 ………………………… 三、 參考答案 …………………………………… 32頁以后為公式大全 前 言 美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們解題時(shí)遇到一個(gè)新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會(huì)貫通時(shí)，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們要有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。 高考試題主要從以下幾個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查： ① 常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等； ② 數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等； ③ 數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等； ④ 常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想等。 數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和符號(hào)來記錄和描述，隨著時(shí)間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數(shù)學(xué)思想方法則是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，只能夠領(lǐng)會(huì)和運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)、處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識(shí)忘記了，數(shù)學(xué)思想方法也還是對(duì)你起作用。 數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)獲得。 可以說，“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。 為了幫助學(xué)生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數(shù)學(xué)基本方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實(shí)驗(yàn)法，再介紹高考中常用的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想。最后談?wù)劷忸}中的有關(guān)策略和高考中的幾個(gè)熱點(diǎn)問題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。 在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對(duì)方法或者問題進(jìn)行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現(xiàn)。再現(xiàn)性題組是一組簡單的選擇填空題進(jìn)行方法的再現(xiàn)，示范性題組進(jìn)行詳細(xì)的解答和分析，對(duì)方法和問題進(jìn)行示范。鞏固性題組旨在檢查學(xué)習(xí)的效果，起到鞏固的作用。每個(gè)題組中習(xí)題的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個(gè)部分重要章節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)。 第一章 高中數(shù)學(xué)解題基本方法 一、 配方法 配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時(shí)也將其稱為“湊配法”。 最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項(xiàng)的二次曲線的平移變換等問題。 配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，將這個(gè)公式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如： a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab； a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）； a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)] a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝… 結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）； x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；…… 等等。 Ⅰ、再現(xiàn)性題組： 1. 在正項(xiàng)等比數(shù)列{a}中，asa+2asa+a?a=25，則 a＋a＝_______。 2. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圓的充要條件是_____。 A. 1 C. k∈R D. k＝或k＝1 3. 已知sinα＋cosα＝1，則sinα＋cosα的值為______。 A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0 4. 函數(shù)y＝log (－2x＋5x＋3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____。 A. （－∞, ] B. [,+∞) C. (－,] D. [,3) 5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的兩根x、x，則點(diǎn)P(x,x)在圓x+y=4上，則實(shí)數(shù)a＝_____。 【簡解】 1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)aa＝a，將已知等式左邊后配方（a＋a）易求。答案是：5。 2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r>0即可，選B。 3小題：已知等式經(jīng)配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。 4小題：配方后得到對(duì)稱軸，結(jié)合定義域和對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。 5小題：答案3－。 Ⅱ、示范性題組： 例1. 已知長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24，則這個(gè)長方體的一條對(duì)角線長為_____。 A. 2 B. C. 5 D. 6 【分析】 先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z，則 ,而欲求對(duì)角線長，將其配湊成兩已知式的組合形式可得。 【解】設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z，由已知“長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24”而得：。 長方體所求對(duì)角線長為：＝＝＝5 所以選B。 【注】本題解答關(guān)鍵是在于將兩個(gè)已知和一個(gè)未知轉(zhuǎn)換為三個(gè)數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三個(gè)數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個(gè)數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。 例2. 設(shè)方程x＋kx＋2=0的兩實(shí)根為p、q，若()+()≤7成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。 【解】方程x＋kx＋2=0的兩實(shí)根為p、q，由韋達(dá)定理得：p＋q＝－k，pq＝2 , ()+()＝＝＝＝≤7， 解得k≤－或k≥ 。 又 ∵p、q為方程x＋kx＋2=0的兩實(shí)根， ∴ △＝k－8≥0即k≥2或k≤－2 綜合起來，k的取值范圍是：－≤k≤－ 或者 ≤k≤。 【注】 關(guān)于實(shí)系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“Δ”；已知方程有兩根時(shí)，可以恰當(dāng)運(yùn)用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到p＋q、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成p＋q與pq的組合式。假如本題不對(duì)“△”討論，結(jié)果將出錯(cuò)，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對(duì)“△”的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這一點(diǎn)我們要尤為注意和重視。 例3. 設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足a＋ab＋b=0，求()＋() 。 【分析】 對(duì)已知式可以聯(lián)想：變形為()＋()＋1＝0，則＝ω （ω為1的立方虛根）；或配方為(a＋b)＝ab 。則代入所求式即得。 【解】由a＋ab＋b=0變形得：()＋()＋1＝0 ， 設(shè)ω＝，則ω＋ω＋1＝0，可知ω為1的立方虛根，所以：＝，ω＝＝1。 又由a＋ab＋b=0變形得：(a＋b)＝ab ， 所以 ()＋()＝()＋()＝()＋()＝ω＋＝2 。 【注】 本題通過配方，簡化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用ω的性質(zhì)，計(jì)算表達(dá)式中的高次冪。一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開。 【另解】由a＋ab＋b＝0變形得：()＋()＋1＝0 ，解出＝后，化成三角形式，代入所求表達(dá)式的變形式()＋()后，完成后面的運(yùn)算。此方法用于只是未聯(lián)想到ω時(shí)進(jìn)行解題。 假如本題沒有想到以上一系列變換過程時(shí)，還可由a＋ab＋b＝0解出：a＝b，直接代入所求表達(dá)式，進(jìn)行分式化簡后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的計(jì)算。 Ⅲ、鞏固性題組： 1. 函數(shù)y＝(x－a)＋(x－b) （a、b為常數(shù)）的最小值為_____。 A. 8 B. C. D.最小值不存在 2. α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的兩實(shí)根，則(α-1) +(β-1)的最小值是_____。 A. － B. 8 C. 18 D.不存在 3. 已知x、y∈R，且滿足x＋3y－1＝0，則函數(shù)t＝2＋8有_____。 A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值 4. 橢圓x－2ax＋3y＋a－6＝0的一個(gè)焦點(diǎn)在直線x＋y＋4＝0上，則a＝_____。 A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或6 5. 化簡：2＋的結(jié)果是_____。 A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4 6. 設(shè)F和F為雙曲線－y＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足∠FPF＝90°，則△FPF的面積是_________。 7. 若x>－1，則f(x)＝x＋2x＋的最小值為___________。 8. 已知〈β<α〈π，cos(α-β)＝，sin(α+β)＝－，求sin2α的值。(92年高考題) 9. 設(shè)二次函數(shù)f(x)＝Ax＋Bx＋C，給定m、n（m0； ② 是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使當(dāng)t∈(m+t,n-t)時(shí)，f(x)<0 ？若不存在，說出理由；若存在，指出t的取值范圍。 10. 設(shè)s>1，t>1，m∈R，x＝logt＋logs，y＝logt＋logs＋m(logt＋logs), ① 將y表示為x的函數(shù)y＝f(x)，并求出f(x)的定義域； ② 若關(guān)于x的方程f(x)＝0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求m的取值范圍。 二、換元法 解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。 換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計(jì)算和推證簡化。 它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。 換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4＋2－2≥0，先變形為設(shè)2＝t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。 三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y＝＋的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)x∈[0,1]，設(shè)x＝sinα ，α∈[0,]，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件x＋y＝r（r>0）時(shí)，則可作三角代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角問題。 均值換元，如遇到x＋y＝S形式時(shí)，設(shè)x＝＋t，y＝－t等等。 我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的t>0和α∈[0,]。 Ⅰ、再現(xiàn)性題組： 1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.設(shè)f(x＋1)＝log(4－x) （a>1），則f(x)的值域是_______________。 3.已知數(shù)列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，則數(shù)列通項(xiàng)a＝___________。 4.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x＋2xy－1＝0，則x＋y的取值范圍是___________。 5.方程＝3的解是_______________。 6.不等式log(2－1) ·log(2－2)〈2的解集是_______________。 【簡解】1小題：設(shè)sinx+cosx＝t∈[－,]，則y＝＋t－，對(duì)稱軸t＝－1，當(dāng)t＝，y＝＋； 2小題：設(shè)x＋1＝t (t≥1)，則f(t)＝log[-(t-1)＋4]，所以值域?yàn)?－∞,log4]； 3小題：已知變形為－＝－1,設(shè)b＝，則b＝－1,b＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a＝－； 4小題：設(shè)x＋y＝k，則x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1； 5小題：設(shè)3＝y(tǒng)，則3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1； 6小題：設(shè)log(2－1)＝y(tǒng)，則y(y＋1)<2，解得－20，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值。 【解】 設(shè)sinx＋cosx＝t，則t∈[-,]，由(sinx＋cosx)＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝ ∴ f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋ （a>0），t∈[-,] t＝-時(shí)，取最小值：－2a－2a－ 當(dāng)2a≥時(shí)，t＝，取最大值：－2a＋2a－ ； 當(dāng)0<2a≤時(shí)，t＝2a，取最大值： 。 ∴ f(x)的最小值為－2a－2a－，最大值為。 【注】 此題屬于局部換元法，設(shè)sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx與sinx·cosx的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解。換元過程中一定要注意新的參數(shù)的范圍（t∈[-,]）與sinx＋cosx對(duì)應(yīng)，否則將會(huì)出錯(cuò)。本題解法中還包含了含參問題時(shí)分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對(duì)稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論。 一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時(shí)，即函數(shù)為f(sinx±cosx，sinxcsox)，經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。 例4. 設(shè)對(duì)所于有實(shí)數(shù)x，不等式xlog＋2x log＋log>0恒成立，求a的取值范圍。（87年全國理） 【分析】不等式中l(wèi)og、 log、log三項(xiàng)有何聯(lián)系？進(jìn)行對(duì)數(shù)式的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實(shí)施換元法。 【解】 設(shè)log＝t，則log＝log＝3＋log＝3－log＝3－t，log＝2log＝－2t， 代入后原不等式簡化為（3－t）x＋2tx－2t>0，它對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，所以： ，解得 ∴ t<0即log<0 0<<1，解得00恒成立，求k的范圍。 【分析】由已知條件＋＝1，可以發(fā)現(xiàn)它與a＋b＝1有相似之處，于是實(shí)施三角換元。 【解】由＋＝1，設(shè)＝cosθ，＝sinθ， 即： 代入不等式x＋y－k>0得： 3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ) 所以k<-5時(shí)不等式恒成立。 【注】本題進(jìn)行三角換元，將代數(shù)問題（或者是解析幾何問題）化為了含參三角不等式恒成立的問題，再運(yùn)用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，從而求出參數(shù)范圍。一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式時(shí)，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關(guān)問題時(shí)，經(jīng)常使用“三角換元法”。 y x x＋y－k>0 k 平面區(qū)域 本題另一種解題思路是使用數(shù)形結(jié)合法的思想方法：在平面直角坐標(biāo)系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的區(qū)域?yàn)橹本€ax＋by＋c＝0所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。此題不等式恒成立問題化為圖形問題：橢圓上的點(diǎn)始終位于平面上x＋y－k>0的區(qū)域。即當(dāng)直線x＋y－k＝0在與橢圓下部相切的切線之下時(shí)。當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，方程組有相等的一組實(shí)數(shù)解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3時(shí)原不等式恒成立。 Ⅲ、鞏固性題組： 1. 已知f(x)＝lgx (x>0)，則f(4)的值為_____。 A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg4 2. 函數(shù)y＝(x＋1)＋2的單調(diào)增區(qū)間是______。 A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1] 3. 設(shè)等差數(shù)列{a}的公差d＝，且S＝145，則a＋a＋a＋……＋a的值為_____。 A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 4. 已知x＋4y＝4x，則x＋y的范圍是_________________。 5. 已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，則＋的范圍是____________。 6. 不等式>ax＋的解集是(4,b)，則a＝________，b＝_______。 7. 函數(shù)y＝2x＋的值域是________________。 8. 在等比數(shù)列{a}中，a＋a＋…＋a＝2，a＋a＋…＋a＝12，求a＋a＋…＋a。 y D C A B O x 9. 實(shí)數(shù)m在什么范圍內(nèi)取值，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式sinx＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。 10. 已知矩形ABCD，頂點(diǎn)C(4,4)，A點(diǎn)在曲線x＋y＝2 (x>0,y>0)上移動(dòng)，且AB、AD始終平行x軸、y軸，求矩形ABCD的最小面積。 三、待定系數(shù)法 要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項(xiàng)式恒等，也就是利用了多項(xiàng)式f(x)g(x)的充要條件是：對(duì)于一個(gè)任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個(gè)多項(xiàng)式各同類項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。 待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個(gè)問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。 使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是： 第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式； 第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程； 第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。 如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析： ① 利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等列方程； ② 由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程； ③ 利用定義本身的屬性列方程； ④ 利用幾何條件列方程。 比如在求圓錐曲線的方程時(shí)，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設(shè)所求方程的形式，其中含有待定的系數(shù)；再把幾何條件轉(zhuǎn)化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。 Ⅰ、再現(xiàn)性題組： 1. 設(shè)f(x)＝＋m，f(x)的反函數(shù)f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次為_____。 A. , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2 2. 二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，則a＋b的值是_____。 A. 10 B. －10 C. 14 D. －14 3. 在(1－x)（1＋x）的展開式中，x的系數(shù)是_____。 A. －297 B.－252 C. 297 D. 207 4. 函數(shù)y＝a－bcos3x (b<0)的最大值為，最小值為－，則y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。 1. 與直線L：2x＋3y＋5＝0平行且過點(diǎn)A(1,-4)的直線L’的方程是_______________。 2. 與雙曲線x－＝1有共同的漸近線，且過點(diǎn)(2,2)的雙曲線的方程是____________。 【簡解】1小題：由f(x)＝＋m求出f(x)＝2x－2m，比較系數(shù)易求，選C； 2小題：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的兩根，代入兩根，列出關(guān)于系數(shù)a、b的方程組，易求得a＋b，選D； 3小題：分析x的系數(shù)由C與(－1)C兩項(xiàng)組成，相加后得x的系數(shù)，選D； 4小題：由已知最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值，再代入求得答案； 5小題：設(shè)直線L’方程2x＋3y＋c＝0，點(diǎn)A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0； 6小題：設(shè)雙曲線方程x－＝λ，點(diǎn)(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1。 Ⅱ、示范性題組： 例1. 已知函數(shù)y＝的最大值為7，最小值為－1，求此函數(shù)式。 【分析】求函數(shù)的表達(dá)式，實(shí)際上就是確定系數(shù)m、n的值；已知最大值、最小值實(shí)際是就是已知函數(shù)的值域，對(duì)分子或分母為二次函數(shù)的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到“判別式法”。 【解】 函數(shù)式變形為： (y－m)x－4x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0 ∴ △＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0 即： y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ① 不等式①的解集為(-1,7)，則－1、7是方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的兩根， 代入兩根得： 解得：或 ∴ y＝或者y＝ 此題也可由解集(-1,7)而設(shè)(y＋1)(y－7)≤0,即y－6y－7≤0，然后與不等式①比較系數(shù)而得：，解出m、n而求得函數(shù)式y(tǒng)。 【注】 在所求函數(shù)式中有兩個(gè)系數(shù)m、n需要確定，首先用“判別式法”處理函數(shù)值域問題，得到了含參數(shù)m、n的關(guān)于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求參數(shù)m、n。兩種方法可以求解，一是視為方程兩根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集寫出不等式，比較含參數(shù)的不等式而列出m、n的方程組求解。本題要求對(duì)一元二次不等式的解集概念理解透徹，也要求理解求函數(shù)值域的“判別式法”：將y視為參數(shù)，函數(shù)式化成含參數(shù)y的關(guān)于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了關(guān)于參數(shù)y的不等式，解出y的范圍就是值域，使用“判別式法”的關(guān)鍵是否可以將函數(shù)化成一個(gè)一元二次方程。 例2. 設(shè)橢圓中心在(2,-1)，它的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長軸較近的端點(diǎn)距離是－，求橢圓的方程。 y B’ x A F O’ F’ A’ B 【分析】求橢圓方程，根據(jù)所給條件，確定幾何數(shù)據(jù)a、b、c之值，問題就全部解決了。設(shè)a、b、c后，由已知垂直關(guān)系而聯(lián)想到勾股定理建立一個(gè)方程，再將焦點(diǎn)與長軸較近端點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為a－c的值后列出第二個(gè)方程。 【解】 設(shè)橢圓長軸2a、短軸2b、焦距2c，則|BF’|＝a ∴ 解得： ∴ 所求橢圓方程是：＋＝1 也可有垂直關(guān)系推證出等腰Rt△BB’F’后，由其性質(zhì)推證出等腰Rt△B’O’F’，再進(jìn)行如下列式： ，更容易求出a、b的值。 【注】 圓錐曲線中，參數(shù)（a、b、c、e、p）的確定，是待定系數(shù)法的生動(dòng)體現(xiàn)；如何確定，要抓住已知條件，將其轉(zhuǎn)換成表達(dá)式。在曲線的平移中，幾何數(shù)據(jù)（a、b、c、e）不變，本題就利用了這一特征，列出關(guān)于a－c的等式。 一般地，解析幾何中求曲線方程的問題，大部分用待定系數(shù)法，基本步驟是：設(shè)方程（或幾何數(shù)據(jù)）→幾何條件轉(zhuǎn)換成方程→求解→已知系數(shù)代入。 例3. 是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)對(duì)一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論。 （89年全國高考題） 【分析】是否存在，不妨假設(shè)存在。由已知等式對(duì)一切自然數(shù)n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出關(guān)于a、b、c的方程組，解方程組求出a、b、c的值，再用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對(duì)所有自然數(shù)n都成立。 【解】假設(shè)存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝(a＋b＋c)；n＝2，得22＝(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。整理得： ,解得， 于是對(duì)n＝1、2、3，等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(3n＋11n＋10)成立，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意自然數(shù)n，該等式都成立： 假設(shè)對(duì)n＝k時(shí)等式成立，即1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＝(3k＋11k＋10)； 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝(3k＋11k＋10) ＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)＝（3k＋5k＋12k＋24）＝[3(k＋1)＋11(k＋1)＋10]， 也就是說，等式對(duì)n＝k＋1也成立。 綜上所述，當(dāng)a＝8、b＝11、c＝10時(shí)，題設(shè)的等式對(duì)一切自然數(shù)n都成立。 【注】建立關(guān)于待定系數(shù)的方程組，在于由幾個(gè)特殊值代入而得到。此種解法中，也體現(xiàn)了方程思想和特殊值法。對(duì)于是否存在性問題待定系數(shù)時(shí)，可以按照先試值、再猜想、最后歸納證明的步驟進(jìn)行。本題如果記得兩個(gè)特殊數(shù)列1＋2＋…＋n、1＋2＋…＋n求和的公式，也可以抓住通項(xiàng)的拆開，運(yùn)用數(shù)列求和公式而直接求解：由n(n＋1)＝n＋2n＋n得S＝1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(1＋2＋…＋n)＋2(1＋2＋…＋n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋2×＋＝(3n＋11n＋10)，綜上所述，當(dāng)a＝8、b＝11、c＝10時(shí)，題設(shè)的等式對(duì)一切自然數(shù)n都成立。 例4. 有矩形的鐵皮，其長為30cm，寬為14cm，要從四角上剪掉邊長為xcm的四個(gè)小正方形，將剩余部分折成一個(gè)無蓋的矩形盒子，問x為何值時(shí)，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？ 【分析】實(shí)際問題中，最大值、最小值的研究，先由已知條件選取合適的變量建立目標(biāo)函數(shù)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值和最小值的研究。 【解】 依題意，矩形盒子底邊邊長為(30－2x)cm，底邊寬為(14－2x)cm，高為xcm。 ∴ 盒子容積 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ， 顯然:15－x>0，7－x>0，x>0。 設(shè)V＝(15a－ax)(7b－bx)x (a>0,b>0） 要使用均值不等式，則 解得：a＝， b＝ ， x＝3 。 從而V＝(－)(－x)x≤()＝×27＝576。 所以當(dāng)x＝3時(shí)，矩形盒子的容積最大，最大容積是576cm。 【注】均值不等式應(yīng)用時(shí)要注意等號(hào)成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)要湊配系數(shù)，可以用“待定系數(shù)法”求。本題解答中也可以令V＝(15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳條件而列出方程組，求出三項(xiàng)該進(jìn)行湊配的系數(shù)，本題也體現(xiàn)了“湊配法”和“函數(shù)思想”。 Ⅲ、鞏固性題組： 1. 函數(shù)y＝logx的x∈[2,+∞)上恒有|y|>1，則a的取值范圍是_____。 A. 2>a>且a≠1 B. 02或01 C. a>0 D. a<－1或a>1 4. 橢圓＋＝1上有一點(diǎn)P，它到左準(zhǔn)線的距離為，那么P點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為_____。 A. 8 C. 7.5 C. D. 3 5. 奇函數(shù)f(x)的最小正周期為T，則f(－)的值為_____。 A. T B. 0 C. D. 不能確定 6. 正三棱臺(tái)的側(cè)棱與底面成45°角，則其側(cè)面與底面所成角的正切值為_____。 【簡解】1小題：利用并集定義，選B； 2小題：利用三角函數(shù)線定義，作出圖形，選B； 3小題：利用復(fù)數(shù)模的定義得<，選A； 4小題：利用橢圓的第二定義得到＝e＝，選A； 5小題：利用周期函數(shù)、奇函數(shù)的定義得到f(－)＝f()＝－f(－)，選B； 6小題：利用線面角、面面角的定義，答案2。 Ⅱ、示范性題組： 例1. 已知z＝1＋ｉ， ① 設(shè)w＝z＋3－4，求w的三角形式； ② 如果＝1－ｉ，求實(shí)數(shù)a、b的值。（94年全國理） 【分析】代入z進(jìn)行運(yùn)算化簡后，運(yùn)用復(fù)數(shù)三角形式和復(fù)數(shù)相等的定義解答。 【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z＋3－4＝(1＋ｉ)＋3－4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w的三角形式是（cos＋ｉsin）； 由z＝1＋ｉ，有＝＝＝(a＋2)－(a＋b)ｉ。 由題設(shè)條件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ； 根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得：， 解得。 【注】求復(fù)數(shù)的三角形式，一般直接利用復(fù)數(shù)的三角形式定義求解。利用復(fù)數(shù)相等的定義，由實(shí)部、虛部分別相等而建立方程組，這是復(fù)數(shù)中經(jīng)常遇到的。 例2. 已知f(x)＝－x＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝logf(x)的定義域，判定在(,1)上的單調(diào)性。 【分析】要判斷函數(shù)的單調(diào)性，必須首先確定n與c的值求出函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷。 【解】 解得： ∴ f(x)＝－x＋x 解f(x)>0得：0， x+x> ∴ (x+x)( x+x)〉×＝1 ∴ f(x)－f(x)>0即f(x)在(,1)上是減函數(shù) ∵ <1 ∴ y＝logf(x) 在(,1)上是增函數(shù)。 A’ A D C’ C O H B’ B 【注】關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、周期性的判斷，一般都是直接應(yīng)用定義解題。本題還在求n、c的過程中，運(yùn)用了待定系數(shù)法和換元法。 例3. 如圖，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn)。 ① 證明：AB’∥平面DBC’； ② 假設(shè)AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度數(shù)。（94年全國理） 【分析】 由線面平行的定義來證①問，即通過證AB’平行平面DBC’內(nèi)的一條直線而得；由二面角的平面角的定義作出平面角，通過解三角形而求②問。 【解】 ① 連接B’C交BC’于O, 連接OD ∵ A’B’C’—ABC是正三棱柱 ∴ 四邊形B’BCC’是矩形 ∴ O是B’C中點(diǎn) △AB’C中， D是AC中點(diǎn) ∴ AB’∥OD ∴ AB’∥平面DBC’ ② 作DH⊥BC于H，連接OH ∴ DH⊥平面BC’C ∵ AB’∥OD, AB’⊥BC’ ∴ BC’⊥OD ∴ BC’⊥OH 即∠DOH為所求二面角的平面角。 設(shè)AC＝1，作OE⊥BC于E，則DH＝sin60°＝，BH＝，EH＝ ； Rt△BOH中，OH＝BH×EH＝， ∴ OH＝＝DH ∴∠DOH＝45°，即二面角D—BC’—C的度數(shù)為45°。 【注】對(duì)于二面角D—BC’—C的平面角，容易誤認(rèn)為∠DOC即所求。利用二面角的平面角定義，兩邊垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂線DH，再證得垂直于棱的垂線DO，最后連接兩個(gè)垂足OH，則∠DOH即為所求，其依據(jù)是三垂線定理。本題還要求解三角形十分熟練，在Rt△BOH中運(yùn)用射影定理求OH的長是計(jì)算的關(guān)鍵。 此題文科考生的第二問為：假設(shè)AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在側(cè)面BB’C’C的 射影長。解答中抓住斜線在平面上的射影的定義，先作平面的垂線，連接垂足和斜足而得到射影。其解法如下：作AE⊥BC于E，連接B’E即所求，易得到OE∥B’B，所以＝＝，EF＝B’E。在Rt△B’BE中，易得到BF⊥BE,由射影定理得：B’E×EF＝BE即B’E＝1，所以B’E＝。 y M F A x 例4. 求過定點(diǎn)M(1,2)，以x軸為準(zhǔn)線，離心率為的橢圓的下頂點(diǎn)的軌跡方程。 【分析】運(yùn)動(dòng)的橢圓過定點(diǎn)M，準(zhǔn)線固定為x軸，所以M到準(zhǔn)線距離為2。抓住圓錐曲線的統(tǒng)一性定義，可以得到＝建立一個(gè)方程，再由離心率的定義建立一個(gè)方程。 【解】設(shè)A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，則橢圓上定點(diǎn)M到準(zhǔn)線距離為2，下頂點(diǎn)A到準(zhǔn)線距離為y。根據(jù)橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的定義，得到： ，消m得：（x－1）＋＝1， 所以橢圓下頂點(diǎn)的軌跡方程為（x－1）＋＝1。 【注】求曲線的軌跡方程，按照求曲線軌跡方程的步驟，設(shè)曲線上動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件，根據(jù)條件列出動(dòng)點(diǎn)所滿足的關(guān)系式，進(jìn)行化簡即可得到。本題還引入了一個(gè)參數(shù)m,列出的是所滿足的方程組，消去參數(shù)m就得到了動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程，即所求曲線的軌跡方程。在建立方程組時(shí)，巧妙地運(yùn)用了橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的定義。一般地，圓錐曲線的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、離心率等問題，常用定義法解決；求圓錐曲線的方程，也總是利用圓錐曲線的定義求解，但要注意橢圓、雙曲線、拋物線的兩個(gè)定義的恰當(dāng)選用。 Ⅲ、鞏固性題組： 1． 函數(shù)y＝f(x)＝a＋k的圖像過點(diǎn)(1,7)，它的反函數(shù)的圖像過點(diǎn)(4,0)，則f(x)的表達(dá)式是___。 2. 過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，若A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A、B,則∠AFB等于_____。 A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 3. 已知A＝{0,1}，B＝{x|xA}，則下列關(guān)系正確的是_____。 A. AB B. AB C. A∈B D. AB 4. 雙曲線3x－y＝3的漸近線方程是_____。 A. y＝±3x B. y＝±x C. y＝±x D. y＝±x 5. 已知定義在R上的非零函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，則f(x)是_____。 A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.非奇非偶函數(shù) D.既奇既偶函數(shù) 6. C＋C＝________。 7. Z＝4(sin140°－ｉcos140°)，則復(fù)數(shù)的輻角主值是__________。 8. 不等式ax＋bx＋c>0的解集是(1,2)，則不等式bx＋cx＋a<0解集是__________。 9. 已知數(shù)列{a}是等差數(shù)列，求證數(shù)列也是等差數(shù)列，其中b＝(a＋a＋…＋a)。 10. 已知F、F是橢圓＋＝1 (a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，其中F與拋物線y＝12x的焦點(diǎn)重合，M是兩曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且有cos∠M FF·cos∠MFF＝，求橢圓方程。 五、數(shù)學(xué)歸納法 歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對(duì)象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對(duì)象后歸納得出結(jié)論來。 數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n)時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在n＝k時(shí)命題成立，再證明n＝k＋1時(shí)命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無限。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對(duì)任何自然數(shù)（或n≥n且n∈N）結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，關(guān)鍵是n＝k＋1時(shí)命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識(shí)，注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)完成解題。 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。 Ⅰ、再現(xiàn)性題組： 1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1) （n∈N），從“k到k＋1”，左端需乘的代數(shù)式為_____。 A. 2k＋1 B. 2(2k＋1) C. D. 2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋1)時(shí)，由n＝k (k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)增加的代數(shù)式的個(gè)數(shù)是_____。 A. 2 B. 2－1 C. 2 D. 2＋1 3. 某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n＝k (k∈N)時(shí)該命題成立，那么可推得n＝k＋1時(shí)該命題也成立?，F(xiàn)已知當(dāng)n＝5時(shí)該命題不成立，那么可推得______。 (94年上海高考)