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程佩青第三版課件,第一章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng),學(xué)習(xí)目標(biāo),掌握序列的概念及其幾種典型序列的定義,掌握序列的基本運(yùn)算，并會(huì)判斷序列的周期性。 掌握線性/移不變/因果/穩(wěn)定的離散時(shí)間系統(tǒng)的概念并會(huì)判斷，掌握線性移不變系統(tǒng)及其因果性/穩(wěn)定性判斷的充要條件。 理解常系數(shù)線性差分方程及其用迭代法求解單位抽樣響應(yīng)。 了解對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣，掌握奈奎斯特抽樣定理，了解抽樣的恢復(fù)過(guò)程。,1.1 離散時(shí)間信號(hào)——序列,信號(hào)是傳遞信息的函數(shù)。針對(duì)信號(hào)的自變量和函數(shù)值的取值，可分為三種信號(hào)： （1）連續(xù)時(shí)間信號(hào) -----自變量取連續(xù)值，而函數(shù)值可連續(xù)可離散。當(dāng)函數(shù)值是連續(xù)的，又常稱(chēng)模擬信號(hào)，如語(yǔ)音信號(hào)、電視信號(hào)等。 （2）離散時(shí)間信號(hào) -----自變量取離散值，而函數(shù)值連續(xù)。 （3）數(shù)字信號(hào) -----自變量和函數(shù)值均取離散值。它是信號(hào)幅度離散化了的離散時(shí)間信號(hào)。,離散時(shí)間信號(hào)是對(duì)模擬信號(hào) xa(t) 進(jìn)行等間隔采樣獲得的，采樣間隔為T(mén)，得到：,一、離散時(shí)間信號(hào)——序列的概念,這里 n 取整數(shù)。對(duì)于不同的 n 值，xa(nT) 是一個(gè)有序的數(shù)字序列，該數(shù)字序列就是離散時(shí)間信號(hào)。注意，這里的n取整數(shù)，非整數(shù)時(shí)無(wú)定義，另外，在數(shù)值上它等于信號(hào)的采樣值，即,,離散時(shí)間信號(hào)的表示方法：公式表示法、圖形表示法、集合符號(hào)表示法，如,二、常用序列,1. 單位抽樣序列?(n),,2. 單位階躍序列u(n),?(n)與u(n)之間的關(guān)系,令n-k=m，有,3. 矩形序列RN(n),N為矩形序列的長(zhǎng)度,4. 實(shí)指數(shù)序列,，a為實(shí)數(shù),a-1或-1a0,序列的幅值擺動(dòng),5. 正弦序列,式中，ω為數(shù)字域頻率，單位為弧度。,如果正弦序列是由模擬信號(hào)xa(t)采樣得到的，那么,Ω為模擬角頻率，單位為弧度/秒。T為信號(hào)的采樣周期，fs為信號(hào)的采樣頻率。,6. 復(fù)指數(shù)序列,這里ω為數(shù)字域頻率，單位為弧度。當(dāng)? =0時(shí)，上式可表示成,上式還可寫(xiě)成,表明復(fù)指數(shù)序列具有以2?為周期的周期性，在以后的研究中，頻率域只考慮一個(gè)周期就夠了。,7. 周期序列,如果對(duì)所有n存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，使下面等式成立：,例：,則稱(chēng)x(n)為周期序列，最小周期為N。,一般正弦序列的周期性,設(shè),那么,如果,則,N，k均取整數(shù),式中，A為幅度，ω0為數(shù)字域頻率，?為初相。,正弦序列的周期性討論：,整數(shù)時(shí)，則正弦序列有周期，當(dāng)k=1時(shí)，周期為,有理數(shù)時(shí)，設(shè) =P/Q，要使N=(2?/?0)k=(P/Q)k為最小正整數(shù)，只有k=Q，即N=P 時(shí)，所以正弦序列的周期為P,無(wú)理數(shù)時(shí)，則正弦序列無(wú)周期。例如，,用單位采樣序列來(lái)表示任意序列,三、 序列的運(yùn)算,1. 序列的加法,同序號(hào)的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加,2. 序列的乘法,同序號(hào)的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘,3. 序列的移位,當(dāng) n00 時(shí)，序列右移 ——延遲 當(dāng) n00 時(shí)，序列左移 ——超前,4. 序列的翻轉(zhuǎn),x(-n)是x(n)的翻轉(zhuǎn)序列。x(-n)是以縱軸（n=0）為對(duì)稱(chēng)軸將序列x(n)加以翻轉(zhuǎn)。,5. 尺度變換,6. 累加（等效積分）,7. 差分運(yùn)算 前向差分 后向差分,8. 卷積和,等效為翻褶、移位、相乘和相加四個(gè)步驟。,1.2 線性移不變系統(tǒng),在時(shí)域離散系統(tǒng)中，最重要、最常用的是線性時(shí)不變系統(tǒng)。,系統(tǒng)可定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一變換或運(yùn)算，并用T[]表示，即,1.2.1 線性系統(tǒng),若系統(tǒng)滿(mǎn)足可加性與比例性,則稱(chēng)此系統(tǒng)為離散時(shí)間線性系統(tǒng)。,其中a、b為任意常數(shù)。,設(shè),[例],是線性系統(tǒng)。,證：,所以，此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。,[例],所代表的系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。,證：,但是,所以，此系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。,增量線性系統(tǒng),對(duì)增量線性系統(tǒng)，任意兩個(gè)輸入的差是兩個(gè)輸入差的線性函數(shù),1.2.2 時(shí)不變系統(tǒng)（移不變系統(tǒng)）,若,則,n0為任意整數(shù)。,輸入移動(dòng)任意位（如n0位），其輸出也移動(dòng)這么多位，而幅值卻保持不變。,[例],證：,所以，此系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。,[例],證：,所以，此系統(tǒng)不是時(shí)不變系統(tǒng)。,同理，可證明 所代表的系統(tǒng)不是時(shí)不變系統(tǒng)。,1.2.3 線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入與輸出 之間的關(guān)系,一個(gè)既滿(mǎn)足疊加原理，又滿(mǎn)足時(shí)不變條件的系統(tǒng)，被稱(chēng)為線性時(shí)不變系統(tǒng)(linear shift invariant,LTI)。線性時(shí)不變系統(tǒng)可用它的單位抽樣響應(yīng)來(lái)表征。,單位取樣響應(yīng)，也稱(chēng)單位沖激響應(yīng)，是指輸入為單位沖激序列時(shí)系統(tǒng)的輸出，一般用h(n)來(lái)表示：,根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì),又根據(jù)時(shí)不變性質(zhì),設(shè)系統(tǒng)的輸入用x(n)表示，而,因此，系統(tǒng)輸出為,通常把上式稱(chēng)為離散卷積或線性卷積。這一關(guān)系常用符號(hào)“*”表示：,線性時(shí)不變系統(tǒng)的一個(gè)重要特性是它的輸入與輸出序列之間存在著線性卷積關(guān)系：,用單位取樣響應(yīng)h(n)來(lái)描述系統(tǒng),線性卷積的計(jì)算,計(jì)算它們的卷積的步驟如下： (1)折疊：先在啞變量坐標(biāo)軸k上畫(huà)出x(k)和h(k)，將h(k)以縱坐標(biāo)為對(duì)稱(chēng)軸折疊成 h(-k)。 (2)移位：將h(-k)移位n，得h(n-k)。當(dāng)n為正數(shù)時(shí)，右移n；當(dāng)n為負(fù)數(shù)時(shí)，左移n。 (3)相乘：將h(n-k)和x(k)的對(duì)應(yīng)取樣值相乘。 (4)相加：把所有的乘積累加起來(lái)，即得y(n)。,例 已知x(n)和h(n)分別為：,和,a為常數(shù)，且1a，試求x(n)和h(n)的線性卷積。,計(jì)算線性卷積時(shí)，一般要分幾個(gè)區(qū)間分別加以考慮，下面舉例說(shuō)明。,解 參看圖，分段考慮如下：,(1)對(duì)于n4，且n-6≤0，即46，且n-6≤4，即64，即n10。,圖解說(shuō)明,圖解說(shuō)明,(2)在0≤n≤4區(qū)間上,(3)在4n≤6區(qū)間上,(4)在6n≤10區(qū)間上,綜合以上結(jié)果，y(n)可歸納如下：,卷積結(jié)果y(n)如圖所示,[例],設(shè)有一線性時(shí)不變系統(tǒng)，其單位取樣響應(yīng)為,解：,分段考慮如下：,(1)對(duì)于n0； (2)對(duì)于0≤n ≤ N－1； (3)對(duì)于n?N。,(2)在0?nN 區(qū)間上,(3)在n?N 區(qū)間上,例,設(shè)有一線性時(shí)不變系統(tǒng)，其,解：,對(duì)有限長(zhǎng)序列相卷，可用豎乘法,注：1. 各點(diǎn)要分別乘、分別加且不跨點(diǎn)進(jìn)位； 2. 卷和結(jié)果的起始序號(hào)等于兩序列的起始序號(hào)之和。,由上面幾個(gè)例子的討論可見(jiàn)，,設(shè)x(n)和h(n)兩序列的長(zhǎng)度分別是N 和M ，線性卷積后的序列長(zhǎng)度為(N + M -1)。,線性卷積滿(mǎn)足以下運(yùn)算規(guī)律：,交換律,結(jié)合律,分配律,序列本身與單位取樣序列的線性卷積等于序列本身：,如果序列與一個(gè)移位的單位取樣序列?(n-n0)進(jìn)行線性卷積，就相當(dāng)于將序列本身移位n0：,[例],求系統(tǒng)的輸出y(n)。,m(n),解：設(shè)級(jí)聯(lián)的第一個(gè)系統(tǒng)輸出 m(n),1.2.4 系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性,在系統(tǒng)中，若輸出y(n)只取決于n時(shí)刻，以及n時(shí)刻以前的輸入，即,稱(chēng)該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。,對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，具有因果性的充要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)滿(mǎn)足：,如,因果系統(tǒng)是指輸出的變化不領(lǐng)先于輸入的變化的系統(tǒng)。,穩(wěn)定系統(tǒng),對(duì)一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位取樣響應(yīng)絕對(duì)可和，即,穩(wěn)定系統(tǒng)是指對(duì)于每個(gè)有界輸入x(n)，都產(chǎn)生有界輸出y(n)的系統(tǒng)。即如果|x(n)|≤M(M為正常數(shù))，有|y(n)|+∞，則該系統(tǒng)被稱(chēng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。,[例],設(shè)某線性時(shí)不變系統(tǒng)，其單位取樣響應(yīng)為,式中a是實(shí)常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。,解：,由于n0時(shí)，h(n)=0，故此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。,所以 時(shí)，此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。,[例],設(shè)某線性時(shí)不變系統(tǒng)，其單位取樣響應(yīng)為,式中a是實(shí)常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。,解：(1)討論因果性,由于n0時(shí)，h(n)?0，故此系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。,(2)討論穩(wěn)定性,所以 時(shí)，此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。,1.3 線性常系數(shù)差分方程,一個(gè)N 階線性常系數(shù)差分方程用下式表示：,連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng) 線性常系數(shù)微分方程,,求解差分方程的基本方法有三種：,,經(jīng)典法,求齊次解、特解、全解,,遞推法,求解時(shí)需用初始條件啟動(dòng)計(jì)算,,變換域法,,將差分方程變換到Z域進(jìn)行求解,[例],設(shè)差分方程為,求輸出序列,設(shè)系統(tǒng)參數(shù),設(shè)輸入為,初始條件為,解：,依次類(lèi)推,差分方程表示法的另一優(yōu)點(diǎn)是可以直接得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),1.4 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣,信號(hào)經(jīng)過(guò)采樣以后，將發(fā)生一些什么變化？例如，信號(hào)頻譜將發(fā)生怎樣變化； 經(jīng)過(guò)采樣后信號(hào)內(nèi)容會(huì)不會(huì)有丟失； 如果信號(hào)沒(méi)有被丟失，其反變換應(yīng)該怎樣進(jìn)行，即由數(shù)字信號(hào)恢復(fù)成模擬信號(hào)應(yīng)該具備那些條件等。,1.4.1 采樣,理想采樣,一、理想采樣,定義,單位沖擊函數(shù),,,,t,0,? (t),,(1),單位沖擊函數(shù)有一個(gè)重要的性質(zhì)：,采樣性,若f(t)為連續(xù)函數(shù)，則有,將上式推廣，可得,,t0,? (t-t0),二、頻譜的周期延拓,即,即,,,由于 是周期函數(shù),可用傅立葉級(jí)數(shù)表示，即,采樣角頻率,系數(shù),對(duì)稱(chēng)性,移頻特性,根據(jù),采樣信號(hào)的傅氏變換為,即,采樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)頻譜的周期延拓，其延拓周期為?s 。,討論：,稱(chēng)Nyquist采樣率,稱(chēng)折疊頻率,~,稱(chēng)Nyquist范圍,采樣定理 ：,要想采樣后能夠不失真地還原出原信號(hào)，則采樣頻率必須大于兩倍原信號(hào)頻譜的最高截止頻率?s?2?C。,由上面的分析有，頻譜發(fā)生混疊的原因有兩個(gè)： 1.采樣頻率低 2.連續(xù)信號(hào)的頻譜沒(méi)有被限帶,可選?s =(3?4)?C,頻域分析,且在 時(shí)，,1.4.2 采樣的恢復(fù),時(shí)，,時(shí)域分析,g(t),,,時(shí)，,,,0,?,,T,,或,稱(chēng)為內(nèi)插函數(shù),,,,,采樣內(nèi)插公式,采樣內(nèi)插公式說(shuō)明：只要滿(mǎn)足采樣頻率高于兩倍信號(hào)最高截止頻率，則整個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)就可以用它的采樣值來(lái)完全代表，而不會(huì)丟失任何信息。,,,內(nèi)插函數(shù),采樣的內(nèi)插恢復(fù),第二章 z變換和DTFT,本章主要內(nèi)容：,1、z變換的定義及收斂域 2、z變換的反變換 3、z變換的基本性質(zhì)和定理 4、離散信號(hào)的DTFT 5、z變換與DTFT的關(guān)系 6、離散系統(tǒng)的z變換法描述,§2.1 z變換的定義及收斂域,信號(hào)和系統(tǒng)的分析方法有兩種： ——時(shí)域分析方法 ——變換域分析方法 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) —— LT FT 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) —— ZT FT,一、ZT的定義,z 是復(fù)變量，所在的復(fù)平面稱(chēng)為z平面,二、ZT的收斂域,對(duì)于任意給定序列x(n)，使其z變換X(z)收斂的所有z值的集合稱(chēng)為X(z)的收斂域。 級(jí)數(shù)收斂的充要條件是滿(mǎn)足絕對(duì)可和,1）有限長(zhǎng)序列,除0和∞兩點(diǎn)是否收斂與n1和n2取值情況有關(guān)外，整個(gè)z 平面均收斂。,如果n2≤0 ，則收斂域不包括∞點(diǎn) 如果n1≥0 ，則收斂域不包括0點(diǎn) 如果n10n2，收斂域不包括0 、∞點(diǎn),2）右邊序列,因果序列的z變換必在∞處收斂 在∞處收斂的z變換， 其序列必為因果序列,3）左邊序列,4）雙邊序列,例1,收斂域應(yīng)是整個(gè)z的閉平面,例2：求x(n)=RN(n)的z變換及其收斂域,,,,,,,,,,,,,,,,,例3：求x(n)=anu(n)的變換及其收斂域,例4：求x(n)=-anu(-n-1)的變換及其收斂域,例5：求x(n)=a|n|，a為實(shí)數(shù)，求ZT及其收斂域,給定z變換X(z)不能唯一地確定一個(gè)序列，只有同時(shí)給出收斂域才能唯一確定。 X(z)在收斂域內(nèi)解析，不能有極點(diǎn)，故： 右邊序列的z變換收斂域一定在模最大的有限極點(diǎn)所在圓之外 左邊序列的z變換收斂域一定在模最小的有限極點(diǎn)所在圓之內(nèi),§2.2 z反變換,實(shí)質(zhì)：求X(z)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 z反變換的求解方法： 圍線積分法（留數(shù)法） 部分分式法 長(zhǎng)除法,z反變換: 從X(z)中還原出原序列x(n),1、圍數(shù)積分法求解（留數(shù)法）,若函數(shù)X(z)zn-1在圍數(shù)C上連續(xù)，在C以?xún)?nèi)有K個(gè)極點(diǎn)zk，而在C以外有M個(gè)極點(diǎn)zm，則有：,1、圍數(shù)積分法求解（留數(shù)法）,根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，若函數(shù)X(z)在環(huán)狀區(qū)域 內(nèi)是解析的，則在此區(qū)域內(nèi)X(z)可展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)，即 而 其中圍線c是在X(z)的環(huán)狀 收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條 反時(shí)針?lè)较虻拈]合單圍線。,若F(z)在c外M個(gè)極點(diǎn)zm，且分母多項(xiàng)式z的階次比分子多項(xiàng)式高二階或二階以上，則：,利用留數(shù)定理求圍線積分，令,若F(z)在圍線c上連續(xù)，在c內(nèi)有K個(gè)極點(diǎn)zk，則：,單階極點(diǎn)的留數(shù)：,思考：n=0,1時(shí)，F(xiàn)(z)在圍線c外也無(wú)極點(diǎn)，為何,2、部分分式展開(kāi)法求解IZT ：,常見(jiàn)序列的ZT參見(jiàn)書(shū)p.54頁(yè)的表2-1,若函數(shù)X(z) 是z的有理分式，可表示為：,利用部分分式的z反變換和可以得到函數(shù)X(z) 的z反變換。,,,例2 設(shè) 利用部分分式法求z反變換。,解：,3、冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法求解（長(zhǎng)除法）:,一般X(z)是有理分式，可利用分子多項(xiàng)式除分母多項(xiàng)式（長(zhǎng)除法法）得到冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，從而得到x(n)。,根據(jù)收斂域判斷x(n)的性質(zhì)，在展開(kāi)成相應(yīng)的z的冪級(jí)數(shù) 將X(z) X(z)的 x(n) 展成z的 分子分母 按z的 因果序列 負(fù)冪級(jí)數(shù) 降冪排列 左邊序列 正冪級(jí)數(shù) 升冪排列,例1,ROC1:,長(zhǎng)除法示例,,解：由Roc判定x(n)是因果序列，用長(zhǎng)除法展成z的負(fù)冪級(jí)數(shù),ROC2:,,解：由Roc判定x(n)是左邊序列，用長(zhǎng)除法展成z的正冪級(jí)數(shù),解：X(z)的Roc為環(huán)狀，故x(n)是雙邊序列 極點(diǎn)z=1/4對(duì)應(yīng)右邊序列，極點(diǎn)z=4對(duì)應(yīng)左邊序列 先把X(z)展成部分分式,1、線性性,§2.3 Z變換的基本性質(zhì)和定理,R1∩R2,R,|a|R,R,2、序列的移位,3、z域尺度變換 （乘以指數(shù)序列）,4、 z域求導(dǎo) （序列線性加權(quán)）,Z變換的基本性質(zhì)（續(xù)）,5、翻褶序列,1/R,R,6、共軛序列,7、初值定理,8、終值定理,Z變換的基本性質(zhì)（續(xù)）,9、有限項(xiàng)累加特性,ZT的主要性質(zhì)參見(jiàn)書(shū)p.69頁(yè)的表2-2,10、序列的卷積和,11、序列乘法,12、帕塞瓦定理,§2.4 序列ZT、連續(xù)信號(hào)LT和FT的關(guān)系,若：,連續(xù)信號(hào)采樣后的拉氏變換LT——,抽樣序列：,當(dāng),兩變換之間的關(guān)系，就是由復(fù)變量s平面到復(fù)變量z平面的映射，其映射關(guān)系為,對(duì)比：,進(jìn)一步討論這一映射關(guān)系：,1,s平面到z平面的 映射是多值映射。,,,,,,,,,,,,,Ω:,Ω:,ω:,ω:,抽樣序列在單位圓上的z變換，就等于其理想抽樣信號(hào)的傅里葉變換,數(shù)字頻率w表示z平面的輻角，它和模擬角頻率W的關(guān)系為,在以后的討論中，將用數(shù)字頻率w來(lái)作為z平面上單位圓的參數(shù)，即,所以說(shuō)，數(shù)字頻率是模擬角頻率的歸一化值，或是模擬頻率對(duì)抽樣頻率的相對(duì)比值乘以2p,§2.5 離散信號(hào)的付氏變換DTFT,一、DTFT的定義,變換對(duì)：,,,稱(chēng)為離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）。,FT存在的充分必要條件是：,如果引入沖激函數(shù)，一些絕對(duì)不可和的序列，如周期序列，其傅里葉變換可用沖激函數(shù)的形式表示出來(lái)。,二、比較ZT和DTFT的定義：,利用ZT和DTFT的關(guān)系可以有ZT計(jì)算DTFT。,序列的傅里葉變換是序列的z變換在單位圓上的值,,例1、計(jì)算門(mén)序列的DTFT,(類(lèi)似Sa(.)函數(shù) ),(線性相位),解：,DTFT,幅頻特性：,相頻特性：,圖示說(shuō)明：,例2、已知 ( ),計(jì)算其DTFT。,由此可以得到FT的幅頻特性和相頻特性,三、FT與DTFT的關(guān)系,歸一化,利用FT與DTFT關(guān)系計(jì)算下列序列的 DTFT,例：,解：1）,2）,3）,§2.6 DTFT的一些性質(zhì),1、線性性：,2、實(shí)序列：,實(shí)偶性：,實(shí)奇性：,3、時(shí)移特性：,4、乘以指數(shù)序列 （調(diào)制性）,5、序列線性加權(quán),6、序列翻褶,7、序列共軛,8、卷積定理： (時(shí)域) (頻域),DTFT的主要性質(zhì)參見(jiàn)書(shū)p.78頁(yè)的表2-3,9、帕塞瓦爾定理：(Parseval Theory),頻域卷積在一周期內(nèi)積分,稱(chēng)周期卷積。,下面舉例說(shuō)明DTFT性質(zhì)的使用。 計(jì)算下列積分I的值。,解：根據(jù),利用時(shí)域卷積定理有：,上式卷積n=0時(shí)就是積分I的值。,§2.7 周期性序列的DTFT,1、復(fù)指數(shù)序列的傅里葉變換,復(fù)指數(shù)序列ejw0n的傅里葉變換，是以w0為中心，以2p的整數(shù)倍為間距的一系列沖激函數(shù)，其積分面積為2p 思考，DTFT[cos(w0n+f)]、 DTFT[sin(w0n+f)],2、常數(shù)序列的傅里葉變換,常數(shù)序列的傅里葉變換，是以w=0為中心，以2p的整數(shù)倍為間距的一系列沖激函數(shù)，其積分面積為2p,3、周期為N的抽樣序列串的傅里葉變換,周期為N的周期性抽樣序列，其傅里葉變換是頻率在w=2p/N的整數(shù)倍上的一系列沖激函數(shù)之和，這些沖激函數(shù)的積分面積為2p/N,4、一般性的周期為N的周期性序列的傅里葉變換,,即：,周期性序列 （周期為N）的傅里葉變換是一系列沖激函數(shù)串，其沖激函數(shù)的積分面積等于 乘以 ，而 是x(n)[ 的一個(gè)周期]的傅里葉變換X(ejw)在頻域中w= 2p/N的整數(shù)倍的各抽樣點(diǎn)上的抽樣值。,,,e滿(mǎn)足0e 2p/N,從w=0之前開(kāi)始抽樣； 在w=2p之間結(jié)束抽樣； 此區(qū)間共有N個(gè)抽樣值： 0?k?N-1,——周期序列的DFS正變換和反變換,周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）,其中：,§2.8 Fourier變換的對(duì)稱(chēng)性質(zhì),共軛對(duì)稱(chēng)序列：,共軛反對(duì)稱(chēng)序列：,任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和:,其中：,定義：,其中：,同樣，x(n)的Fourier變換 也可分解成：,對(duì)稱(chēng)性質(zhì),序列 Fourier變換,,實(shí)數(shù)序列的對(duì)稱(chēng)性質(zhì),序列 Fourier變換,實(shí)數(shù)序列的Fourier變換滿(mǎn)足共軛對(duì)稱(chēng)性,實(shí)部是ω的偶函數(shù) 虛部是ω的奇函數(shù),幅度是ω的偶函數(shù) 幅角是ω的奇函數(shù),§2.9 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)、系統(tǒng)的頻率響應(yīng),LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)： 單位抽樣響應(yīng)h(n)的z變換,其中：y(n)=x(n)*h(n) Y(z)=X(z)H(z),系統(tǒng)的頻率響應(yīng) ：,單位圓上的系統(tǒng)函數(shù),單位抽樣響應(yīng)h(n)的DTFT,1、若LSI系統(tǒng)為因果穩(wěn)定系統(tǒng),穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的Roc須包含單位圓， 即頻率響應(yīng)存在且連續(xù),H(z)須從單位圓到∞的整個(gè)z域內(nèi)收斂即系統(tǒng)函數(shù)H(z)的全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi),1）因果：,2）穩(wěn)定：,序列h(n)絕對(duì)可和，即,而h(n)的z變換的Roc：,3）因果穩(wěn)定：Roc：,2、系統(tǒng)函數(shù)與差分方程,常系數(shù)線性差分方程：,取z變換,則系統(tǒng)函數(shù),3、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的意義,1）LSI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：,2）LSI系統(tǒng)對(duì)正弦序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),輸出同頻 正弦序列 幅度受頻率響應(yīng)幅度 加權(quán) 相位為輸入相位與系統(tǒng)相位響應(yīng)之和,3）LSI系統(tǒng)對(duì)任意輸入序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),其中：,微分增量（復(fù)指數(shù)）：,4、頻率響應(yīng)的幾何確定法,利用H(z)在z平面上的零極點(diǎn)分布,頻率響應(yīng)：,則頻率響應(yīng)的,令,幅角：,幅度：,零點(diǎn)位置影響凹谷點(diǎn)的位置與深度 零點(diǎn)在單位圓上，谷點(diǎn)為零 零點(diǎn)趨向于單位圓，谷點(diǎn)趨向于零 極點(diǎn)位置影響凸峰的位置和深度 極點(diǎn)趨向于單位圓，峰值趨向于無(wú)窮 極點(diǎn)在單位圓外，系統(tǒng)不穩(wěn)定,5、IIR系統(tǒng)和FIR系統(tǒng),無(wú)限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（IIR）系統(tǒng)： 單位沖激響應(yīng)h(n)是無(wú)限長(zhǎng)序列,有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（FIR）系統(tǒng)： 單位沖激響應(yīng)h(n)是有限長(zhǎng)序列,IIR系統(tǒng)：至少有一個(gè),FIR系統(tǒng)：全部,全極點(diǎn)系統(tǒng)（自回歸系統(tǒng)，AR系統(tǒng)） ：分子只有常數(shù)項(xiàng),零極點(diǎn)系統(tǒng)（自回歸滑動(dòng)平均系統(tǒng)，AR－MA系統(tǒng)）: 分子不止常數(shù)項(xiàng),收斂域 內(nèi)無(wú)極點(diǎn)，是全零點(diǎn)系統(tǒng),（滑動(dòng)平均系統(tǒng)，MA系統(tǒng)）,IIR系統(tǒng)：至少有一個(gè),有反饋環(huán)路，采用遞歸型結(jié)構(gòu),FIR系統(tǒng)：全部,無(wú)反饋環(huán)路，多采用非遞歸結(jié)構(gòu),Homework：P83－1(1)(2)(3) 3(1) 7 10 14 18,第三章 離散傅里葉變換,主要內(nèi)容,離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS） 離散傅里葉變換（DFT） 抽樣z變換——頻域抽樣理論,§3.1 引言,傅里葉變換的幾種形式：,連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率—傅里葉變換,連續(xù)時(shí)間、離散頻率—傅里葉級(jí)數(shù),離散時(shí)間、連續(xù)頻率—序列的傅里葉變換,離散時(shí)間、離散頻率—離散傅里葉變換,FT,§3.2 傅里葉變換的幾種可能形式,FS,時(shí)域周期化，頻域離散化,時(shí)域離散化，頻域周期化。,DTFT,但是，前三種傅里葉變換對(duì)都不適于計(jì)算機(jī)上運(yùn)算，因?yàn)樗鼈冎辽僭谝粋€(gè)域（時(shí)域或頻域）中函數(shù)是連續(xù)的。 因此，我們感興趣的是時(shí)域及頻域都是離散的情況。,若時(shí)域離散并周期化，頻域周期化并離散化。,四種傅里葉變換形式的歸納,§3.3 離散傅里葉級(jí)數(shù)DFS ( Discrete Fourier Series ),連續(xù)周期信號(hào):,周期序列 ( r 為整數(shù), N 為周期),周期序列的DFS正變換和反變換：,其中：,一般性的周期為N的周期性序列的傅里葉變換,,可看作是對(duì) 的一個(gè)周期 做z變換然后將z變換在z平面單位圓上按等間隔角 抽樣得到,DFS的圖示說(shuō)明,2、序列的移位,3、調(diào)制特性,§3.4 離散傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)FS性,1、線性：,其中， 為任意常數(shù),若,則,4、對(duì)偶性,證：,5、周期卷積和,若,則,討論: 周期卷積與線性卷積的區(qū)別在于：周期卷積求和只在一周期內(nèi)進(jìn)行。(注意周期信號(hào)的線性卷積不存在),式中的卷積稱(chēng)為周期卷積,同樣，利用對(duì)稱(chēng)性,若,則,§3.5 離散傅里葉變換 ——有限長(zhǎng)序列的離散頻域表示,在進(jìn)行DFS分析時(shí)，時(shí)域、頻域序列都是無(wú)限長(zhǎng)的周期序列 周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值有意義 長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列可以看成周期為N的周期序列的一個(gè)周期（主值序列） 借助DFS變換對(duì)，取時(shí)域、頻域的主值序列可以得到一個(gè)新的變換—DFT，即有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換,另外一種寫(xiě)法是,其中 表示對(duì) n 取模N 運(yùn)算(或模 N的余數(shù))。,對(duì)周期信號(hào)而言, 或 。,舉例：設(shè)周期為 N=6。則有周期序列和求余運(yùn)算： 或 這是因?yàn)椋?(19=3×6+1) 同理 或 這是因?yàn)椋?(-2=-1×6+4),同樣：X(k)也是一個(gè)N點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列,有限長(zhǎng)序列的DFT定義式,關(guān)于離散傅里葉變換(DFT)：,序列x(n)在時(shí)域是有限長(zhǎng)的(長(zhǎng)度為N)，它的離散傅里葉變換X(k)也是離散、有限長(zhǎng)的(長(zhǎng)度也為N)。 n為時(shí)域變量，k為頻域變量。 離散傅里葉變換與離散傅里葉級(jí)數(shù)沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，DFT實(shí)際上是離散傅里葉級(jí)數(shù)的主值，DFT也隱含有周期性。 離散傅里葉變換(DFT)具有唯一性。 DFT的物理意義：序列x(n)的Z變換在單位圓上的等角距取樣。,x(n)的N點(diǎn)DFT是 x(n)的z變換在單位圓上的N點(diǎn)等間隔抽樣； x(n)的DTFT在區(qū)間[0,2π]上的N點(diǎn)等間隔抽樣。,例1、計(jì)算 (N=12)的N點(diǎn)DFT. 解：,N=4點(diǎn)的DFT？,§3.6 離散傅里葉變換的性質(zhì),1、線性,這里，序列長(zhǎng)度及DFT點(diǎn)數(shù)均為N 若不等，分別為N1，N2，則需補(bǔ)零使兩序列長(zhǎng)度相等，均為N，且,若,則,有限長(zhǎng)序列的圓周移位導(dǎo)致頻譜線性相移，而對(duì)頻譜幅度無(wú)影響。 時(shí)域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位,2、圓周移位,其中 ；同理可證另一公式。,證：,推論：,從圖中兩虛線之間的主值序列的移位情況可以看出： 當(dāng)主值序列左移m個(gè)樣本時(shí)，從右邊會(huì)同時(shí)移進(jìn)m個(gè)樣本 好像是剛向左邊移出的那些樣本又從右邊循環(huán)移了進(jìn)來(lái) 因此取名“循環(huán)移位”。 顯然，循環(huán)移位不同于線性移位,若,則,證：,3、對(duì)偶性,4、圓周共軛對(duì)稱(chēng)性,其中：,共軛反對(duì)稱(chēng)分量：,共軛對(duì)稱(chēng)分量：,任意周期序列：,定義：,則任意有限長(zhǎng)序列：,圓周共軛反對(duì)稱(chēng)序列：,圓周共軛對(duì)稱(chēng)序列：,設(shè)N點(diǎn)復(fù)數(shù)序列,證明：,則,同理可證明：,,,序列 DFT,共軛對(duì)稱(chēng)性,,,,,,序列 DFT,實(shí)數(shù)序列的共軛對(duì)稱(chēng)性,純虛數(shù)序列的共軛對(duì)稱(chēng)性,例：設(shè)x1(n)和x2(n)都是N點(diǎn)的實(shí)數(shù)序列，試用一次N點(diǎn)DFT運(yùn)算來(lái)計(jì)算它們各自的DFT:,五、Parseval Theory,若令 y(n) = x(n),表明序列時(shí)域、頻域能量相等,六、圓周卷積和,圓周卷積A：設(shè),則,實(shí)際上，圓周卷積為周期卷積的主值序列。即,圓周卷積B：設(shè),圓周卷積記為,N,N,圓周卷積過(guò)程： 1）補(bǔ)零 2）周期延拓 3）翻褶，取主值序列 4）圓周移位 5）相乘相加,兩個(gè)N點(diǎn)序列的N點(diǎn)圓周卷積得到的結(jié)果仍為N點(diǎn)序列。,m N-m 1 N-1 2 N-2 N-3 ? ?,討論1:圓周卷積的物理意義圖示說(shuō)明,討論2:圓周卷積與線性卷積：,1) 設(shè),有限長(zhǎng)(N點(diǎn)),有限長(zhǎng)(M點(diǎn)),則線性卷積,有限長(zhǎng)(N+M-1),2) 而作長(zhǎng)度為L(zhǎng)的圓周卷積，即,(周期卷積),其中,L,則,(補(bǔ)零),存在交疊現(xiàn)象,這就是利用DFT計(jì)算線性卷積的方法和要求，即可以選擇長(zhǎng)度大于等于線性卷積的兩序列長(zhǎng)度之和的DFT運(yùn)算計(jì)算線性卷積。,討論3:周期卷積、圓周卷積與線性卷積,① 周期卷積與圓周卷積的差別在于：周期卷積是線性卷積的周期延拓；而圓周卷積是取周期卷積的主值序列。 ② 作圓周卷積 時(shí)，應(yīng)先將兩者“補(bǔ)零”至長(zhǎng)度為L(zhǎng)點(diǎn)的序列后進(jìn)行圓周卷積。而周期卷積是指兩者皆為長(zhǎng)度為L(zhǎng)點(diǎn)的周期序列(即周期延拓)的。 ③ 線性卷積的DFT計(jì)算方法要求DFT點(diǎn)數(shù) L=N+M+1。,④ 物理意義不同，周期卷積是周期信號(hào)運(yùn)算與DFS系數(shù)運(yùn)算的關(guān)系；圓周卷積是有限序列運(yùn)算與DFT變換結(jié)果運(yùn)算的關(guān)系（后面將說(shuō)明這是有限序列運(yùn)算與對(duì)應(yīng)的頻譜運(yùn)算的關(guān)系）。,七、線性相關(guān)與圓周相關(guān),線性相關(guān)：,自相關(guān)函數(shù)：,相關(guān)函數(shù)不滿(mǎn)足交換率：,相關(guān)函數(shù)的z變換：,相關(guān)函數(shù)的頻譜：,圓周相關(guān)定理,第四章 快速傅里葉變換 （FFT）,主要內(nèi)容,DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-FFT算法 線性卷積的FFT算法,§4.1 引言,FFT: Fast Fourier Transform 1965年，Cooley-Turky 發(fā)表文章《機(jī)器計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)的一種算法》，提出FFT算法，解決DFT運(yùn)算量太大，在實(shí)際使用中受限制的問(wèn)題。 FFT的應(yīng)用。頻譜分析、濾波器實(shí)現(xiàn)、實(shí)時(shí)信號(hào)處理等。 DSP芯片實(shí)現(xiàn)。TI公司的TMS 320c30，10MHz時(shí)鐘，基2-FFT1024點(diǎn)FFT時(shí)間15ms。,典型應(yīng)用：信號(hào)頻譜計(jì)算、系統(tǒng)分析等,系統(tǒng)分析,頻譜分析與功率譜計(jì)算,§4.2 直接計(jì)算DFT的問(wèn)題及改進(jìn)途徑,1、 DFT與IDFT,2、DFT與IDFT運(yùn)算特點(diǎn),同理：IDFT運(yùn)算量與DFT相同。,3、降低DFT運(yùn)算量的考慮,FFT算法分類(lèi):,時(shí)間抽選法 DIT: Decimation-In-Time 頻率抽選法 DIF: Decimation-In-Frequency,§4.3 按時(shí)間抽?。―IT）的FFT算法,（Decimation In Time）,1、算法原理 設(shè)序列點(diǎn)數(shù) N = 2L，L 為整數(shù)。 若不滿(mǎn)足，則補(bǔ)零,將序列x(n)按n的奇偶分成兩組：,N為2的整數(shù)冪的FFT算法稱(chēng)基-2FFT算法。,將N點(diǎn)DFT定義式分解為兩個(gè)長(zhǎng)度為N/2的DFT,記： ………（1）,再利用周期性求X(k)的后半部分,,將上式表達(dá)的運(yùn)算用一個(gè)專(zhuān)用“蝶形”信流圖表示。,注：a. 上支路為加法，下支路為減法； b. 乘法運(yùn)算的支路標(biāo)箭頭和系數(shù)。,用“蝶形結(jié)”表示上面運(yùn)算的分解：,分解后的運(yùn)算量：,運(yùn)算量減少了近一半,進(jìn)一步分解,由于 ， 仍為偶數(shù)，因此，兩個(gè) 點(diǎn) DFT又可同樣進(jìn)一步分解為4個(gè) 點(diǎn)的DFT。,“蝶形”信流圖表示,N點(diǎn)DFT分解為四個(gè)N/4點(diǎn)的DFT,類(lèi)似的分解一直繼續(xù)下去，直到分解為最后的兩類(lèi)蝶形運(yùn)算為止(2點(diǎn)DFT). 如上述N=8=23，N/4=2點(diǎn)中：,類(lèi)似進(jìn)一步分解,進(jìn)一步簡(jiǎn)化為蝶形流圖：,因此8點(diǎn)FFT時(shí)間抽取方法的信流圖如下——,FFT運(yùn)算量與運(yùn)算特點(diǎn),1． N=2L時(shí)，共有L=log2N級(jí)運(yùn)算；每一級(jí)有N/2個(gè)蝶形結(jié)。 2．每一級(jí)有N個(gè)數(shù)據(jù)中間數(shù)據(jù)），且每級(jí)只用到本級(jí)的轉(zhuǎn)入中間數(shù)據(jù)，適合于迭代運(yùn)算。 3．計(jì)算量： 每級(jí)N/2次復(fù)乘法，N次復(fù)加。（每蝶形只乘一次，加減各一次）。共有L*N/2=N/2log2N 次復(fù)乘法；復(fù)加法L*N=Nlog2N 次。與直接DFT定義式運(yùn)算量相比(倍數(shù)) N2/(Nlog2N) 。當(dāng) N大時(shí)，此倍數(shù)很大。,比較DFT,參考P150 表4-1 圖4-6,可以直觀看出，當(dāng)點(diǎn)數(shù)N越大時(shí)，F(xiàn)FT的優(yōu)點(diǎn)更突出。,按時(shí)間抽取FFT蝶形運(yùn)算特點(diǎn),1、關(guān)于FFT運(yùn)算的混序與順序處理（位倒序處理） 由于輸入序列按時(shí)間序位的奇偶抽取，故輸入序列是混序的，為此需要先進(jìn)行混序處理。 混序規(guī)律： x(n)按n位置進(jìn)行碼位（二進(jìn)制）倒置規(guī)律輸入，而非自然排序，即得到混序排列。所以稱(chēng)為位倒序處理。 位倒序?qū)崿F(xiàn)： （1）DSP實(shí)現(xiàn)采用位倒序?qū)ぶ?（2）通用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)可以有兩個(gè)方法：一是嚴(yán)格按照位倒序含義進(jìn)行；二是倒進(jìn)位的加N/2。,倒位序,例 計(jì)算 ， 。計(jì)算 點(diǎn)FFT。用時(shí)間抽取輸入倒序算法，問(wèn)倒序前寄存器的數(shù) 和倒序后 的數(shù)據(jù)值？,解：倒序前 倒序 倒序?yàn)?倒序后,DIT FFT中最主要的蝶形運(yùn)算實(shí)現(xiàn),（1）參與蝶形運(yùn)算的兩類(lèi)結(jié)點(diǎn)（信號(hào)）間“距離”（碼地址）與其所處的第幾級(jí)蝶形有關(guān)；第m級(jí)的“結(jié)距離”為 (即原位計(jì)算迭代） （2）每級(jí)迭形結(jié)構(gòu)為,蝶形運(yùn)算兩節(jié)點(diǎn)的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)為k值，表示成L位二進(jìn)制數(shù)，左移L – m位，把右邊空出的位置補(bǔ)零，結(jié)果為r的二進(jìn)制數(shù)。,（3） 的確定： 第m級(jí)的r取值：,DIT算法的其他形式流圖,輸入倒位序輸出自然序 輸入自然序輸出倒位序 輸入輸出均自然序 相同幾何形狀 輸入倒位序輸出自然序 輸入自然序輸出倒位序,參考P154-155,時(shí)間抽取、 輸入自然順序、 輸出倒位序的FFT流圖,例 用FFT算法處理一幅N×N點(diǎn)的二維圖像，如用每秒可做10萬(wàn)次復(fù)數(shù)乘法的計(jì)算機(jī)，當(dāng)N=1024時(shí)，問(wèn)需要多少時(shí)間（不考慮加法運(yùn)算時(shí)間）？ 解 當(dāng)N=1024點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)FT算法處理一幅二維圖像所需復(fù)數(shù)乘法約為 次，僅為直接計(jì)算DFT所需時(shí)間的10萬(wàn)分之一。 即原需要3000小時(shí)，現(xiàn)在只需要2 分鐘。,§4.4 按頻率抽?。―IF）的FFT算法,與DIT-FFT算法類(lèi)似分解，但是抽取的是X(k)。即分解X(k)成奇數(shù)與偶數(shù)序號(hào)的兩個(gè)序列。 設(shè)： N = 2L，L 為整數(shù)。將X(k)按k的奇偶分組前，先將輸入x(n)按n的順序分成前后兩半：,（Decimation In Frequency),一、算法原理,下面討論,按k的奇偶將X(k)分成兩部分：,顯然：,令：,用蝶型結(jié)構(gòu)圖表示為：,N/2仍為偶數(shù)，進(jìn)一步分解：N/2 → N/4,按照以上思路繼續(xù)分解，即一個(gè)N/2的DFT分解成兩個(gè)N/4點(diǎn)DFT，直到只計(jì)算2點(diǎn)的DFT，這就是DIF-FFT算法。,2個(gè)1點(diǎn)的DFT蝶形流圖,進(jìn)一步簡(jiǎn)化為蝶形流圖：,二、按頻率抽取FFT蝶形運(yùn)算特點(diǎn),1）原位計(jì)算,L級(jí)蝶形運(yùn)算，每級(jí)N/2個(gè)蝶形，每個(gè)蝶形結(jié)構(gòu)：,m表示第m級(jí)迭代，k，j表示數(shù)據(jù)所在的行數(shù),2）蝶形運(yùn)算,對(duì)N=2L點(diǎn)FFT，輸入自然序，輸出倒位序， 兩節(jié)點(diǎn)距離：2L-m=N / 2m,第m級(jí)運(yùn)算：,蝶形運(yùn)算兩節(jié)點(diǎn)的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)為k值，表示成L位二進(jìn)制數(shù)，左移m-1位，把右邊空出的位置補(bǔ)零，結(jié)果為r的二進(jìn)制數(shù)。,存儲(chǔ)單元,輸入序列x(n) : N個(gè)存儲(chǔ)單元,系數(shù) ：N / 2個(gè)存儲(chǔ)單元,三、DIT與DIF的異同,基本蝶形不同,DIT: 先復(fù)乘后加減,DIF: 先減后復(fù)乘,運(yùn)算量相同,都可原位運(yùn)算,DIT和DIF的基本蝶形互為轉(zhuǎn)置,§4.5 IDFT的FFT算法 （FFT應(yīng)用一）,一、從定義比較分析,與DFT的比較： 1）、旋轉(zhuǎn)因子WN-kn 的不同； 2）、結(jié)果還要乘 1/N。,二、實(shí)現(xiàn)算法——直接使用FFT程序的算法,直接調(diào)用FFT子程序計(jì)算IFFT的方法：,§4.6 線性調(diào)頻Z變換（Chirp-Z變換）算法 （FFT應(yīng)用二）,單位圓與非單位圓采樣 （a） 沿單位圓采樣; (b) 沿AB弧采樣,螺線采樣,zk=AW-k k=0, 1, …, M-1,Chirp-Z變換的線性系統(tǒng)表示,由于系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 可以想象為頻率隨時(shí)間(n)呈線性增長(zhǎng)的復(fù)指數(shù)序列。在雷達(dá)系統(tǒng)中,這種信號(hào)稱(chēng)為線性調(diào)頻信號(hào)（Chirp Signal），因此，這里的變換稱(chēng)為線性調(diào)頻Z變換。,一、基本算法思路,§4.7 線性卷積的FFT算法 （FFT應(yīng)用三）,若L點(diǎn)x(n)，M點(diǎn)h(n)， 則直接計(jì)算其線性卷積y(n),需運(yùn)算量：,若系統(tǒng)滿(mǎn)足線性相位，即：,則需運(yùn)算量：,FFT法：以圓周卷積代替線性卷積,N,總運(yùn)算量： 次乘法,比較直接計(jì)算和FFT法計(jì)算的運(yùn)算量,討論：,1）當(dāng),2）當(dāng),x(n)長(zhǎng)度很長(zhǎng)時(shí)，將x(n)分為L(zhǎng)長(zhǎng)的若干小的片段，L與M可比擬。,1、重疊相加法,則：,輸出：,其中：,可以用圓周卷積計(jì)算：,選 ，上面圓周卷積可用FFT計(jì)算。,N,由于yi(n)長(zhǎng)度為N，而xi(n)長(zhǎng)度L ，必有M-1 點(diǎn)重疊， yi(n)應(yīng)相加才能構(gòu)成最后y(n)的。,重疊相加法圖形,和上面的討論一樣， 用FFT法實(shí)現(xiàn)重疊相加法的步驟如下: ① 計(jì)算N點(diǎn)FFT， H(k)=DFT［h(n)］； ② 計(jì)算N點(diǎn)FFT，Xi(k)=DFT［xi(n)］； ③ 相乘，Yi(k)=Xi(k)H(k)； ④ 計(jì)算N點(diǎn)IFFT，yi(n)=IDFT［Yi(k)］； ⑤ 將各段yi(n)（包括重疊部分）相加，  。 重疊相加的名稱(chēng)是由于各輸出段的重疊部分相加而得名的。,例 已知序列x[n]=n+2,0?n?12, h[n]={1,2,1}試?yán)弥丿B相加法計(jì)算線性卷積, 取L=5 。,y[n]={2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14},解: 重疊相加法,x1[n]={2, 3, 4, 5, 6},x2[n]={7, 8, 9, 10, 11},x3[n]={12,13, 14},y1[n]={2, 7, 12, 16, 20, 17, 6},y2[n]={ 7, 22, 32, 36, 40, 32, 11},y3[n]={12, 37, 52, 41, 14},2、重疊保存法,此方法與上述方法稍有不同。 先將x(n)分段，每段L=N-M+1個(gè)點(diǎn)，這是相同的。 不同之處是，序列中補(bǔ)零處不補(bǔ)零，而在每一段的前邊補(bǔ)上前一段保留下來(lái)的（M-1）個(gè)輸入序列值， 組成L+M-1點(diǎn)序列xi(n) 。 如果L+M-12m， 則可在每段序列末端補(bǔ)零值點(diǎn)，補(bǔ)到長(zhǎng)度為2m，這時(shí)如果用DFT實(shí)現(xiàn)h(n)和xi(n)圓周卷積，則其每段圓周卷積結(jié)果的前（M-1）個(gè)點(diǎn)的值不等于線性卷積值，必須舍去。,重疊保留法示意圖,重疊保留法示意圖,y[k]={2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14},x1[k]={0, 0, 2, 3, 4},x2[k]={3, 4, 5, 6 ,7},x3[k]={6 ,7 , 8, 9, 10},y1[k]= x1[k]?h[k]= {11, 4, 2, 7, 12},x4[k]={9, 10 , 11, 12,13},y2[k]= x2[k]?h[k]= {23, 17, 16, 20, 24},y3[k]= x3[k]?h[k]= {35, 29, 28, 32, 36},y4[k]= x4[k]?h[k]= {47, 41, 40, 44, 48},x5[k]={12,13, 14, 0, 0},y5[k]= x5[k]?h[k]= {12, 37, 52, 41, 14},解: 重疊保留法,例 已知序列x[n]=n+2,0?n?12, h[n]={1,2,1}試?yán)弥丿B保留法計(jì)算線性卷積, 取L=5 。,語(yǔ)音信號(hào)消噪過(guò)程 信號(hào)淹沒(méi)在嘯叫噪聲中； (b) 信號(hào)與噪聲的功率譜； (c) 去噪后的功率譜； (d) 重構(gòu)原語(yǔ)音信號(hào),FFT應(yīng)用舉例,第五章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu),主要內(nèi)容,理解數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法 掌握IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu) 掌握FIR濾波器的直接型、級(jí)聯(lián)型、線性相位結(jié)構(gòu)，理解頻率抽樣型結(jié)構(gòu) 了解數(shù)字濾波器的格型結(jié)構(gòu),§4.1 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及表示,1、數(shù)字濾波器的表示：差分方程和系統(tǒng)函數(shù),單位延時(shí),基本運(yùn)算單元,方框圖,流圖,加法器,常數(shù)乘法器,2、結(jié)構(gòu)表示：方框圖和信流圖,3、實(shí)現(xiàn)方式：軟件與硬件 4、軟件方式：通用計(jì)算機(jī)或?qū)Ｓ糜?jì)算機(jī) 5、核心算法：乘加器 6、典型結(jié)構(gòu)—— 無(wú)限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（IIR）濾波器 有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（FIR）濾波器,§5.2 IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu),一、IIR濾波器的特點(diǎn) 1、電位沖激響應(yīng)h(n)是無(wú)限長(zhǎng)的（定義的由來(lái)） 2、系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面上 有極點(diǎn)存在； 3、結(jié)構(gòu)上存在著輸出到輸入的反饋，也就是結(jié)構(gòu)上的遞歸型的。,二、有限階IIR的表達(dá)式：（其中至少有一個(gè) ak≠0）,三、IIR濾波器四種結(jié)構(gòu),1、直接 I 型,結(jié)構(gòu)特點(diǎn)： 直接實(shí)現(xiàn) 第一個(gè)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)零點(diǎn) 第二個(gè)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn) N+M個(gè)時(shí)延單元,2、直接II型:典范型,結(jié)構(gòu)特點(diǎn)： Max(N、M) 個(gè)時(shí)延單元。,直接型的共同缺點(diǎn)：,系數(shù)ak，bk 對(duì)濾波器的性能控制作用不明顯,極點(diǎn)對(duì)系數(shù)的變化過(guò)于靈敏，易出現(xiàn)不穩(wěn)定或較大誤差,運(yùn)算的累積誤差較大,3、級(jí)聯(lián)型(Cascade Form),將系統(tǒng)函數(shù)按零極點(diǎn)因式分解:,結(jié)構(gòu)：將分解為一階及二階系統(tǒng)的串聯(lián)，每級(jí)子系統(tǒng)都用典范型實(shí)現(xiàn)。,特點(diǎn)：方便調(diào)整極點(diǎn)和零點(diǎn)；但分解不唯一;實(shí)際中需要優(yōu)化。,4、并聯(lián)型(Paralle Form),將因式分解的H(z)展成部分分式：,組合成實(shí)系數(shù)二階多項(xiàng)式：,特點(diǎn): 方便調(diào)整極點(diǎn)，不便于調(diào)整零點(diǎn)；部分分式展開(kāi)計(jì)算量大。,結(jié)構(gòu)：將H(z)分解為一階及二階系統(tǒng)的并聯(lián)(部分分式展開(kāi))，每級(jí)子系統(tǒng)都用典范型實(shí)現(xiàn)。,IIR濾波器結(jié)構(gòu)表示舉例,例：用典范型和一階級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)方程：,解：正準(zhǔn)型、一階級(jí)聯(lián)和并聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)表示：,圖示如下：,轉(zhuǎn)置定理——,對(duì)于一個(gè)信流圖，如果將原網(wǎng)絡(luò)中所有支路方向加以倒轉(zhuǎn)，且將輸入 x(n) 和輸出有 y(n) 相互交換，則其系統(tǒng)函數(shù) H(z) 仍不改變。,直接II型的轉(zhuǎn)置:,§5.3 FIR 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu),不存在極點(diǎn)(z=0除外)，系統(tǒng)函數(shù)在 處收斂。 系統(tǒng)單位沖擊響應(yīng)在有限個(gè) n 值處不為零。 結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒(méi)有輸出到輸入的反饋。,一、FIR的特點(diǎn)：,二、FIR結(jié)構(gòu),1、橫截型 (又稱(chēng)為直接型或卷積型，直接完成差分方程）,特點(diǎn): N個(gè)延遲單元；不方便調(diào)整零點(diǎn)。,將H(z)分解為二階實(shí)系數(shù)因式的乘積。,2、級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)：,特點(diǎn): 便于調(diào)整零點(diǎn).,3、頻率采樣型結(jié)構(gòu)：,1） 理論型：,由,以及頻率采樣表達(dá)的內(nèi)插公式得：,其中： 為梳狀濾波器； (諧振器)其極點(diǎn)正好與零點(diǎn)對(duì)消。,關(guān)于梳狀濾波器說(shuō)明,梳狀濾波器傳輸函數(shù):,梳狀濾波幅頻特性:,梳狀濾波相頻特性:,頻率抽樣型結(jié)構(gòu)的優(yōu)缺點(diǎn): ① 便于控制濾波器頻率響應(yīng)，因?yàn)闉V波器在處的頻率響應(yīng)值。 ② 需要復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算; ③ 理論上諧振器的極點(diǎn)正好與零點(diǎn)對(duì)消，但實(shí)際上的有限字長(zhǎng)效應(yīng)，使之不能對(duì)消，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。,理論型,頻率采樣型結(jié)構(gòu)圖示,2）實(shí)際型 ( 解決量化誤差引入的不穩(wěn)定 ),第一步:采樣點(diǎn)修正為:,將零極點(diǎn)移至半徑為r的圓上,第二步:內(nèi)插公式為:,實(shí)際型,4、快速卷積結(jié)構(gòu),結(jié)構(gòu)圖示為:,設(shè):,有:,5、線性相位FIR濾波器的結(jié)構(gòu),FIR濾波器單位抽樣響應(yīng)h(n)為實(shí)數(shù)，,且滿(mǎn)足：,偶對(duì)稱(chēng)：,或奇對(duì)稱(chēng)：,即對(duì)稱(chēng)中心在 (N-1) / 2處,則這種FIR濾波器具有嚴(yán)格線性相位。,N為奇數(shù)時(shí),h(n)偶對(duì)稱(chēng)，取“+”,h(n)奇對(duì)稱(chēng)，取“-”，且,N為偶數(shù)時(shí),第六章 IIR濾波器的設(shè)計(jì),主要內(nèi)容,理解數(shù)字濾波器的基本概念 了解最小相位延時(shí)系統(tǒng) 理解全通系統(tǒng)的特點(diǎn)及應(yīng)用 掌握沖激響應(yīng)不變法 掌握雙線性變換法 掌握Butterworth、Chebyshev低通濾波器的特點(diǎn) 了解利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程 了解利用頻帶變換法設(shè)計(jì)各種類(lèi)型數(shù)字濾波器的方法,6.1 引言,數(shù)字濾波器：,是指輸入輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過(guò)一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或者濾除某些頻率成分的器件。,高精度、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活，不要求阻抗匹配，可實(shí)現(xiàn)特殊濾波功能,優(yōu)點(diǎn)：,1、濾波器的基本概念,（1） 濾波器的功能 濾波器的功能是對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行濾波以增強(qiáng)所需信號(hào)部分，抑制不要的部分。,a） 時(shí)域說(shuō)明 b） 頻域說(shuō)明,（2） 四種基本的濾波器,四種基本濾波器為低通（LP）、高通（HP）、帶通（BP）和帶阻濾波器（BRF）：,（3） 四種基本濾波器的數(shù)字表示,低通 高通 帶通 帶阻,,2、LP到其他濾波器的變換,由LP實(shí)現(xiàn)的HP,,LP實(shí)現(xiàn)的BP,,,LP實(shí)現(xiàn)的BRF,3、 濾波器的性能指標(biāo),帶寬：當(dāng)幅度降低到0.707時(shí)的寬度稱(chēng)為濾波器的帶寬（3dB帶寬）,通帶、阻帶與過(guò)渡帶：信號(hào)允許通過(guò)的頻帶為通帶，完全不允許通過(guò)的頻帶為阻帶，通帶與阻帶之間為過(guò)渡帶。,滾降與滾降率：濾波器幅頻特性在過(guò)渡帶的衰減和衰減速度稱(chēng)為滾降與滾降率。,阻帶衰減：輸入信號(hào)在阻帶的衰減量,帶內(nèi)平坦度：通帶和阻帶內(nèi)的平坦程度,4、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟,數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)三個(gè)步驟: (1) 按要求確定濾波器的性能參數(shù)； (2) 用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近去逼近這一性能要求； (3) 用有限精度的運(yùn)算實(shí)現(xiàn)；實(shí)現(xiàn)可以采用通用計(jì)算機(jī)，也可以采用DSP。,5、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求,選頻濾波器的頻率響應(yīng)：,為幅頻特性：表示信號(hào)通過(guò)該濾波器后各頻率成分的衰減情況,為相頻特性：反映各頻率成分通過(guò)濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況,理想濾波器不可實(shí)現(xiàn)，只能以實(shí)際濾波器逼近,通帶最大衰減：,阻帶最小衰減：,6、表征濾波器頻率響應(yīng)的特征參量,幅度平方響應(yīng),的極點(diǎn)既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對(duì)稱(chēng)的,H(z)的極點(diǎn)：?jiǎn)挝粓A內(nèi)的極點(diǎn),相位響應(yīng),相位響應(yīng)：,群延遲響應(yīng),相位對(duì)角頻率的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值,若濾波器通帶內(nèi) = 常數(shù)， 則為線性相位濾波器,7、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法,先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器,用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：,即為求濾波器的各系數(shù),計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法,s平面逼近：模擬濾波器,z平面逼近：數(shù)字濾波器,6.2 最小與最大相位延時(shí)系統(tǒng)、最小與最大相位超前系統(tǒng),LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：,頻率響應(yīng)：,模：,相角：,當(dāng),位于單位圓內(nèi)的零/極矢量角度變化為2p,位于單位圓外的零/極矢量角度變化為 0,單位圓外的零點(diǎn)數(shù)為mo,單位圓內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)為pi,單位圓外的極點(diǎn)數(shù)為po,則：,全部極點(diǎn)在單位圓內(nèi)：po = 0，pi = N,因果穩(wěn)定系統(tǒng),1）全部零點(diǎn)在單位圓內(nèi)：,2）全部零點(diǎn)在單位圓外：,為最小相位延時(shí)系統(tǒng),為最大相位延時(shí)系統(tǒng),n 0時(shí)，h(n) = 0,相位延時(shí)系統(tǒng),逆因果穩(wěn)定系統(tǒng),1）全部零點(diǎn)在單位圓內(nèi)：,2）全部零點(diǎn)在單位圓外：,全部極點(diǎn)在單位圓外：po = N，pi = 0,為最大相位超前系統(tǒng),為最小相位超前系統(tǒng),相位超前系統(tǒng),n 0時(shí)，h(n) = 0,最小相位延時(shí)系統(tǒng)的性質(zhì),1）在 相同的系統(tǒng)中，具有最小的相位滯后,2）最小相位延時(shí)系統(tǒng)的能量集中在n=0附近，而總能量相同,5）級(jí)聯(lián)一個(gè)全通系統(tǒng)，可以將一最小相位系統(tǒng)轉(zhuǎn)變成一相同幅度響應(yīng)的非最小相位延時(shí)系統(tǒng),4）在 相同的系統(tǒng)中， 唯一,3）最小相位序列的 最大：,6.3 全通系統(tǒng),一階全通系統(tǒng)：,極點(diǎn)：,零點(diǎn)：,零極點(diǎn)以單位圓為鏡像對(duì)稱(chēng),極點(diǎn)：,零點(diǎn)：,實(shí)系數(shù)二階全通系統(tǒng),兩個(gè)零點(diǎn)（極點(diǎn)）共軛對(duì)稱(chēng),極點(diǎn)：,零點(diǎn)：,零點(diǎn)與極點(diǎn)以單位圓為鏡像對(duì)稱(chēng),N 階數(shù)字全通濾波器,極點(diǎn)： 的根,零點(diǎn)： 的根,全通系統(tǒng)的應(yīng)用,1）任一因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)都可以表示成全通系統(tǒng)Hap(z)和最小相位系統(tǒng)Hmin(z)的級(jí)聯(lián),其中：H1(z)為最小相位延時(shí)系統(tǒng)， 為單位圓外的一對(duì)共軛零點(diǎn),而幅度響應(yīng)不變：,P231 圖6－6,2）級(jí)聯(lián)一個(gè)全通系統(tǒng)可以使非穩(wěn)定濾波器變成一個(gè)穩(wěn)定濾波器,把非穩(wěn)定系統(tǒng)的單位圓外的極點(diǎn)映射到單位圓內(nèi),單位圓外極點(diǎn)：,3）作為相位均衡器，校正系統(tǒng)的非線性相位，而不改變系統(tǒng)的幅度特性,利用均方誤差最小準(zhǔn)則求均衡器Hap(z)的有關(guān)參數(shù),6.4 用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器,設(shè)計(jì)思想：,s 平面 z 平面,模擬系統(tǒng) 數(shù)字系統(tǒng),H(z) 的頻率響應(yīng)要能模仿 Ha(s) 的頻率響應(yīng)， 即 s 平面的虛軸映射到 z 平面的單位圓,因果穩(wěn)定的 Ha(s) 映射到因果穩(wěn)定的 H(z) ， 即 s 平面的左半平面 Re[s] 0 映射到 z 平面的單位圓內(nèi) |z| 1,設(shè)計(jì)方法：,- 沖激響應(yīng)不變法,- 階躍響應(yīng)不變法,- 雙線性變換法,6.5 沖激響應(yīng)不變法,一、變換原理,數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n) 模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t),T—抽樣周期,設(shè),則：,從頻率響應(yīng)來(lái)看：,數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓，周期為2p/T 只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是帶限的，且?guī)抻谡郫B頻率以?xún)?nèi)時(shí)，即,才能使數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率以?xún)?nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產(chǎn)生混迭失真,,實(shí)際系統(tǒng)不可能?chē)?yán)格限帶，都會(huì)混迭失真，在 |W|Ws/2處衰減越快，失真越小,當(dāng)濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)以數(shù)字域頻率wc給定時(shí)，不能通過(guò)提高抽樣頻率來(lái)改善混迭現(xiàn)象,二、模擬濾波器的數(shù)字化,,系數(shù)相同：,極點(diǎn)：s 平面 z 平面,穩(wěn)定性不變：s 平面 z 平面,當(dāng)T 很小時(shí)，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正,令：,則：,試用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器,例：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為,解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：,,設(shè)T = 1s，則,模擬濾波器的頻率響應(yīng)：,數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：,優(yōu)點(diǎn)：,缺點(diǎn)：,保持線性關(guān)系：w=WT 線性相位模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器,頻率響應(yīng)混迭 只適用于限帶的低通、帶通濾波器,h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應(yīng)ha(t) 時(shí)域逼近良好,沖激響應(yīng)不變法的優(yōu)缺點(diǎn),6.6 階躍響應(yīng)不變法,變換原理,數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng)g(n) 模仿模擬濾波器的階躍響應(yīng)ga(t),T — 抽樣周期,階躍響應(yīng)不變法同樣有頻率響應(yīng)的混疊失真現(xiàn)象但比沖激響應(yīng)不變法要小。,例：二階Butterworth 歸一化模擬濾波器（LPF）為：,設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)3dB截止模擬頻率為50Hz的二階Butterworth數(shù)字濾波器。設(shè)數(shù)字系統(tǒng)采樣頻率為500Hz，并采用階躍響應(yīng)不變法來(lái)設(shè)計(jì)。,解：求模擬系統(tǒng)函數(shù)：,最后得 （用在z-1表示）,代入T=1/500，計(jì)算ZT得,6.7 雙線性變換法,沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法：時(shí)域模仿逼近缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真 為了克服這一缺點(diǎn)，采用雙線性變換法。 使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似,一、變換原理及特點(diǎn),脈沖響應(yīng)不變法的映射是多值映射,導(dǎo)致頻率響應(yīng)交疊。 改進(jìn)思路：先將s域平面壓縮到一個(gè)中介平面s1，然后再將s1映射到Z平面。,為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對(duì)應(yīng)關(guān)系，引入系數(shù) c,,2）某一特定頻率嚴(yán)格相對(duì)應(yīng)：,1）低頻處有較確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系：,特定頻率處頻率響應(yīng)嚴(yán)格相等，可以較準(zhǔn)確地控制截止頻率位置,二、變換常數(shù)c的選擇,三、逼近情況,1）,2）,四、優(yōu)缺點(diǎn),優(yōu)點(diǎn)：,避免了頻率響應(yīng)的混迭現(xiàn)象,s 平面與 z 平面為單值變換,缺點(diǎn)：除了零頻率附近，W與w之間嚴(yán)重非線性,2）要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)為分段常數(shù)型，不然會(huì)產(chǎn)生畸變,分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)