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2019-2020年高中數(shù)學 等差數(shù)列（3）教案 蘇教版必修5 【三維目標】： 一、知識與技能 1. 掌握等差數(shù)列前項和的公式以及推導該公式的數(shù)學思想方法，并能運用公式解決簡單的問題； 2.探索活動中培養(yǎng)學生觀察、分析的能力，培養(yǎng)學生由特殊到一般的歸納能力。 二、過程與方法 1.通過對歷史有名的高斯求和的介紹，引導學生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的第項與倒數(shù)第項的和等于首項與末項的和這個規(guī)律；由學生建立等差數(shù)列模型用相關知識解決一些簡單的問題，進行等差數(shù)列通項公式應用的實踐操作并在操作過程中，通過類比函數(shù)概念、性質(zhì)、表達式得到對等差數(shù)列相應問題的研究。 2.通過公式的推導和公式的運用，使學生體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思維規(guī)律，初步形成認識問題，解決問題的一般思路和方法；通過公式推導的過程教學，對學生進行思維靈活性與廣闊性的訓練，發(fā)展學生的思維水平. 三、情感、態(tài)度與價值觀 1.通過公式的推導過程，獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，逐步養(yǎng)成科學嚴謹?shù)膶W習態(tài)度，提高代數(shù)推理的能力。 2.培養(yǎng)學生利用學過的知識解決與現(xiàn)實有關的問題的能力。 【教學重點與難點】： 重點：等差數(shù)列項和公式的理解、推導及應用 難點：等差數(shù)列前項和公式推導思路的獲得，靈活應用等差數(shù)列前n項公式解決一些簡單的有關問題，體會等差數(shù)列的前項和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系。 【學法與教學用具】： 1.學法：講練結(jié)合 2.教學用具：多媒體、實物投影儀. 【授課類型】：新授課 【課時安排】：1課時 【教學思路】： 一、創(chuàng)設情景，揭示課題 “小故事”：著名的數(shù)學家高斯（德國 1777-1855）十歲時計算1+2+3+…+100的故事：高斯是偉大的數(shù)學家，天文學家，高斯十歲時,有一次老師出了一道題目,老師說: “現(xiàn)在給大家出道題目:“1+2+…100=?” 過了兩分鐘,正當大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦樂乎時，高斯站起來回答說：“1+2+3+…+100=5050。教師問：“你是如何算出答案的？高斯回答說：因為1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以10150=5050” 故事結(jié)束：歸納為 1．這是求等差數(shù)列1，2，3，…，100前100項和 2．高斯的解法是：前100項和，即 二、研探新知 1.等差數(shù)列的求和公式 （1）求和公式（一）：（倒序相加法） 思考：受高斯的啟示，我們這里可以用什么方法去求和呢？ 思考后知道，也可以用“倒序相加法”進行求和。我們用兩種方法表示： 證明： ① ② ①+②： ∵ ∴ 由此得： 由此得到等差數(shù)列的前n項和的公式 注意：用上述公式要求必須具備三個條件： （2）求和公式（二）：按等差數(shù)列定義 當然，對于等差數(shù)列求和公式的推導，也可以有其他的推導途徑。例如： = === 這兩個公式是可以相互轉(zhuǎn)化的。把代入中，就可以得到 注意：此公式要求必須具備三個條件： （有時比較有用） 公式二又可化成式子：，當，是一個常數(shù)項為零的二次式，有關前項和得最值問題可由此公式解決 總之：兩個公式都表明要求必須已知中三個 說明：（1）等差數(shù)列的前和等于首末兩項和的一半的倍； （2）在等差數(shù)列前項和公式及通項公式中有，，，，五個量，已知其中三個可以求出另外兩個。 引導學生思考這兩個公式的結(jié)構特征得到：第一個公式反映了等差數(shù)列的任意的第項與倒數(shù)第項的和等于首項與末項的和這個內(nèi)在性質(zhì)。第二個公式反映了等差數(shù)列的前n項和與它的首項、公差之間的關系，而且是關于的“二次函數(shù)”，可以與二次函數(shù)進行比較。這兩個公式的共同點都是知道和，不同點是第一個公式還需知道，而第二個公式是要知道，解題時還需要根據(jù)已知條件決定選用哪個公式。 三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 例1（教材例1）在等差數(shù)列中， （1）已知，，，求；（2）已知，，求。 例2（教材例2）（1）在等差數(shù)列中，已知，，求及； （2）在等差數(shù)列中，，，，求及 解：（1）由題意，得 由（2）得： 代入（1）得，∴（舍去），∴ （2）由題意，得 解得： 例3（教材例3）在等差數(shù)列中，已知第項到第10項的和為310，第11項到第20項的和為910，求第21項到第30項的和。 解：設等差數(shù)列的首項為，公差為，由題意，得 即： 解得： ∴ ，∴ 從上例中我們發(fā)現(xiàn)：也成等差數(shù)列，你能得出更一般的結(jié)論嗎？ 結(jié)論：仍成等差數(shù)列，公差為（為確定的正整數(shù)）。 例4求集合的元素個數(shù)，并求這些元素的和。 解：由，得，故集合中的元素共有14個，將它們從小到大列出，得，，，，．這數(shù)列是等差數(shù)列，共有項，記為，其中，， 所以，，答：集合共有14個元素 ，它們的和等于． 例5 設等差數(shù)列的前項和為，已知，（1）求公差的取值范圍；（2）指出中哪一個值最大？并說明理由。 解：（1），，則，所以，； （2）∵，，∵，∴ ，∴且，所以，最大。 說明：（1），時，有最大值；，時，有最小值； （2）最值的求法：①若已知，可用二次函數(shù)最值的求法（）； ②若已知，則最值時的值（）可如下確定或 四、鞏固深化，反饋矯正 教材練習第1，2，3，4題 五、歸納整理，整體認識 1.等差數(shù)列的前項和的兩個公式及推導方法 ； （1）等差數(shù)列的前項和公式1（倒序相加法）： （2）等差數(shù)列的前項和公式2： （3），當，是一個常數(shù)項為零的二次式 2.對等差數(shù)列前項和的最值問題有兩種方法: （1） 利用: 當，前項和有最大值可由，且，求得的值 當，前項和有最小值可由，且，求得的值 （2） 利用： 由利用二次函數(shù)配方法求得最值時的值 3. 在等差數(shù)列前項和公式中有，，，，五個量，只要知道其中三個元素,結(jié)合通項公式就可求出另兩個元素.(體現(xiàn)了方程思想) 4．等差數(shù)列前項和的性質(zhì)：在等差數(shù)列中前項為，則仍成等差數(shù)列，公差為（為確定的正整數(shù)）。 六、承上啟下，留下懸念 1.預習等差數(shù)列的應用 2.補充：今有人與錢，初一人與三錢，次一人與四錢，次一人與五錢，以次與之，轉(zhuǎn)多一錢，與訖，還斂聚與均分之，人得一百錢，問人幾何？ 解：將每次發(fā)的錢從小到大排列為等差數(shù)列，記為，設公差為，前項和記為，則，，，∴，答：共有人個。 七、板書設計（略） 八、課后記：