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2019-2020年高中數(shù)學(xué)模塊綜合檢測(cè)教學(xué)案蘇教版選修4-2 1．(本小題滿分10分)曲線9x2＋4y2＝1在→＝伸壓變換下變成另一曲線C，求曲線C的方程． 解：伸壓變換矩陣為M＝，由＝ ，得即其中點(diǎn)P(x，y)在曲線9x2＋4y2＝1上，所以有92＋42＝1，即x′2＋y′2＝1. 故曲線C的方程為x2＋y2＝1. 2．(本小題滿分10分)二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(1，－1)與(－2,1)分別變換成點(diǎn)(－1，－1)與(0，－2)． (1)求矩陣M； (2)設(shè)直線l在變換M作用下得到了直線m：x－y－4＝0，求l的方程． 解：(1)設(shè)M＝， 則有 ＝， ＝， 所以且解得 所以M＝. (2)因?yàn)椋?＝， 且x′－y′－4＝0，所以(x＋2y)－(3x＋4y)－4＝0， 整理得x＋y＋2＝0， 所以直線l的方程為x＋y＋2＝0. 3．(本小題滿分10分)已知M＝，N＝，求二階方陣X，使MX＝N. 解：設(shè)X＝， 據(jù)題意有 ＝， 根據(jù)矩陣乘法法則有 解得所以X＝. 4.(本小題滿分10分)變換T1是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換，對(duì)應(yīng)的變換矩陣是M1；變換T2對(duì)應(yīng)的變換矩陣是M2＝. (1)求點(diǎn)P(2,1)在T1作用下的點(diǎn)P′的坐標(biāo)； (2)求曲線2x2－2xy＋y2＝1先在T1旋轉(zhuǎn)變換作用下，后在T2變換的作用下所得曲線的方程． 解：(1)由題意知M1＝， 故M1＝ ＝， 所以點(diǎn)P(2,1)在T1作用下的點(diǎn)P′的坐標(biāo)是(－1,2)． (2)由題意得M＝M2M1＝， 設(shè)是變換后的圖像上任意一點(diǎn)，與之對(duì)應(yīng)的變換前的點(diǎn)是，則M＝，也就是即代入2x－2x0y0＋y＝1，得2y2－2y(y－x)＋(y－x)2＝1，即x2＋y2＝1. 所以所求曲線的方程是x2＋y2＝1. 5．(本小題滿分10分)在直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0)，B(1,1)，C(0,2)，求△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積．這里M＝，N＝.　 解：在矩陣N＝的作用下，一個(gè)圖形變換為其繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到的圖形， 在矩陣M＝的作用下，一個(gè)圖形變換為與之關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圖形． 所以△ABC在矩陣MN的作用下變換所得到的圖形與△ABC全等， 從而其面積等于△ABC的面積，即為21＝1. 6．(本小題滿分10分)已知矩陣A＝，B＝.　 (1)計(jì)算AB； (2)若矩陣B把曲線：x2－y2＝1變?yōu)榍€C′，求曲線C′的方程． 解：(1)AB＝. (2)任取直線l上一點(diǎn)P(x，y)，經(jīng)矩陣B變換后為點(diǎn)P′(x′，y′)， 則＝ ＝， ∴ ∴ 代入x2－y2＝1，得(x′＋2y′)2－y′2＝1， ∴x′2＋4x′y′＋3y′2＝1. ∴曲線C′的方程為x2＋4xy＋3y2＝1. 7．(本小題滿分10分)已知二階矩陣A的特征值λ1＝3及其對(duì)應(yīng)向量α1＝，特征值λ2＝－1及其對(duì)應(yīng)向量α2＝，求矩陣A的逆矩陣A－1. 解：設(shè)二階矩陣A＝(a，b，c，d∈R)，則有 ＝3， 且 ＝－， 即且 解得a＝1，b＝2，c＝2，d＝1. 所以A＝，從而A－1＝. 8．(本小題滿分10分)給定矩陣M＝及向量α＝.　 (1)求矩陣M的特征值及與各自對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1，e2； (2)確定實(shí)數(shù)a，b，使向量α可以表示為α＝ae1＋be2； (3)利用(2)中的表達(dá)式計(jì)算M3α，Mnα. 解：(1)矩陣M的特征多項(xiàng)式 f(λ)＝ ＝(λ－2)(λ－1)－30＝(λ－7)(λ＋4)． 令f(λ)＝0，解得矩陣M的特征值λ1＝－4，λ2＝7. 易求得屬于特征值λ1＝－4的一個(gè)特征向量e1＝， 屬于特征值λ2＝7的一個(gè)特征向量e2＝. (2)由(1)可設(shè)＝a＋b， 解得a＝1，b＝3，所以α＝e1＋3e2. (3)M3α＝M3(e1＋3e2)＝M3e1＋3M3e2 ＝(－4)3＋373 ＝＝. Mnα＝Mn(e1＋3e2)＝Mne1＋3Mne2 ＝(－4)n＋37n ＝. 9．(本小題滿分10分)曲線x2＋4xy＋2y2＝1在二階矩陣M＝的作用下變換為曲線x2－2y2＝1. (1)求a，b的值；(2)求M的逆矩陣． 解：(1)設(shè)P(x，y)為曲線x2－2y2＝1上任意一點(diǎn)， P′(x′，y′)為曲線x2＋4xy＋2y2＝1上與P對(duì)應(yīng)的點(diǎn)， 則 ＝，即， 代入得(x′＋ay′)2－2(bx′＋y′)2＝1， 即(1－2b2)x′2＋(2a－4b)x′y′＋(a2－2)y′2＝1， 即為方程x2＋4xy＋2y2＝1，比較系數(shù)得， 解得a＝2，b＝0. (2)因?yàn)閐et(M)＝＝1≠0， 故M－1＝＝. 10．(本小題滿分10分)已知矩陣A＝(BC)－1，其中B＝，C＝，求A特征值λ1，λ2及對(duì)應(yīng)的特征向量α1，α2. 解：由B＝，得B－1＝， 由C＝，得C－1＝， 所以A＝(BC)－1＝C－1B－1 ＝ ＝. 矩陣A的特征多項(xiàng)式為f(λ)＝＝(λ－3)(λ＋1)．　 令f(λ)＝0，得A的特征值為λ1＝3，λ2＝－1. 當(dāng)λ1＝3時(shí)，由 ＝3， 得 所以y＝0，取x＝1，得到A屬于特征值3的一個(gè)特征向量為α1＝； 當(dāng)λ2＝－1時(shí)，由 ＝－，得 取x＝1，則y＝－4，得到A屬于特征值－1的一個(gè)特征向量為α2＝.