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2019-2020年高中數學第二冊(上)橢圓的簡單幾何性質(I) 教學目的： 1．熟練掌握橢圓的范圍，對稱性，頂點等簡單幾何性質 2．掌握標準方程中的幾何意義，以及的相互關系 3．理解、掌握坐標法中根據曲線的方程研究曲線的幾何性質的一般方法 教學重點：橢圓的幾何性質 教學難點：如何貫徹數形結合思想，運用曲線方程研究幾何性質 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 內容分析： 根據曲線的方程，研究曲線的幾何性質，并正確地畫出它的圖形，是解析幾何的基本問題之一，根據曲線的條件列出方程，如果說是解析幾何的手段，那么根據曲線的方程研究它的性質、畫圖就是解析幾何的目的 怎樣用代數的方法來研究曲線原性質呢？本節(jié)內容為系統(tǒng)地按照方程來研究曲線的幾何性質提供了一個范例，因此，本節(jié)內容在解析幾何中占有非常重要的地位 通過本節(jié)的學習，使學生掌握應從哪些方面來討論一般曲線的幾何性質，從而對曲線的方程和方程的曲線彼此之間的相輔相成的辯證關系，對解析幾何的基本思想有更深的了解 通過對橢圓幾種畫法的學習，能深化對橢圓定義的認識，提高畫圖能力；通過幾何性質的簡單的應用，了解到如何應用幾何性質去解決實際問題，提高學生用數學知識解決實際問題的能力 本節(jié)內容的重點是橢圓的幾何性質――范圍、對稱性、頂點、離心率、準線方程；根據方程研究曲線的幾何性質的思路與方法；橢圓的幾種畫法。難點是橢圓的離心率、準線方程及橢圓的第二定義的理解，關鍵是掌握橢圓的標準方程與橢圓圖形的對應關系，理解關掌握兩種橢圓的定義的等價性 根據教學大綱的安排，本節(jié)內容分4個課時進行教學，本節(jié)內容的課時分配作如下設計：第一課時，橢圓的范圍、對稱性、頂點坐標、離心率、橢圓的畫法；第二課時，橢圓的第二定義、橢圓的準線方程；第三課時，焦半徑公式與橢圓的標準方程；第四課時，橢圓的參數方程及應用 教學過程： 一、復習引入： 1．橢圓定義：在平面內，到兩定點距離之和等于定長（定長大于兩定點間的距離）的動點的軌跡 2．標準方程：， （） 3．問題： （1）橢圓曲線的幾何意義是什么？ （2）“范圍”是方程中變量的取值范圍，是曲線所在的位置的范圍，橢圓的標準方程中的取值范圍是什么？其圖形位置是怎樣的？ （3）標準形式的方程所表示的橢圓，其對稱性是怎樣的？ （4）橢圓的頂點是怎樣的點？橢圓的長軸與短軸是怎樣定義的？長軸長、短軸長各是多少？的幾何意義各是什么？ （5）橢圓的離心率是怎樣定義的？用什么來表示？它的范圍如何？在這個范圍內，它的變化對橢圓有什么影響？ （6）畫橢圓草圖的方法是怎樣的？ 二、講解新課： 由橢圓方程() 研究橢圓的性質.(利用方程研究,說明結論與由圖形觀察一致) (1)范圍: 從標準方程得出,,即有,，可知橢圓落在組成的矩形中． (2)對稱性: 把方程中的換成方程不變，圖象關于軸對稱．換成方程不變，圖象關于軸對稱．把同時換成方程也不變，圖象關于原點對稱． 如果曲線具有關于軸對稱，關于軸對稱和關于原點對稱中的任意兩種，則它一定具有第三種對稱 原點叫橢圓的對稱中心，簡稱中心．軸、軸叫橢圓的對稱軸．從橢圓的方程中直接可以看出它的范圍，對稱的截距 （3）頂點：橢圓和對稱軸的交點叫做橢圓的頂點 在橢圓的方程里，令得，因此橢圓和軸有兩個交點，它們是橢圓的頂點 令，得，因此橢圓和軸有兩個交，它們也是橢圓的頂點 因此橢圓共有四個頂點： ， 加兩焦點共有六個特殊點. 叫橢圓的長軸，叫橢圓的短軸．長分別為 分別為橢圓的長半軸長和短半軸長.橢圓的頂點即為橢圓與對稱軸的交點. 至此我們從橢圓的方程中直接可以看出它的范圍, 對稱性, 頂點．因而只需少量描點就可以較正確的作圖了． (4)離心率: 發(fā)現長軸相等，短軸不同，扁圓程度不同 這種扁平性質由什么來決定呢？ 概念：橢圓焦距與長軸長之比 定義式： 范圍： 考察橢圓形狀與的關系： ，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時也可認為圓為橢圓在時的特例 橢圓變扁，直至成為極限位置線段，此時也可認為圓為橢圓在時的特例 三、講解范例： 例1 求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標，并用描點法畫出它的圖形． 解：把已知方程化成標準方程 所以，， 因此，橢圓的長軸的長和短軸的長分別為，離心率，兩個焦點分別為，橢圓的四個頂點是， 將已知方程變形為，根據，在的范圍內算出幾個點的坐標： 0 1 2 3 4 5 4 3.9 3.7 3.2 2.4 0 先描點畫出橢圓的一部分，再利用橢圓的對稱性畫出整個橢圓： 例2 在同一坐標系中畫出下列橢圓的簡圖： 　　　　（1）　?。?） 答：簡圖如下： 例3 分別在兩個坐標系中，畫出以下橢圓的簡圖： ?。?）　　　（2） 答：簡圖如下： 四、課堂練習： 1．已知橢圓的一個焦點將長軸分為:兩段，求其離心率 解：由題意，=:,即,解得 2．如圖 ，求橢圓,()內接正方形ABCD的面積 解 由橢圓和正方形的中心對稱性知，正方形BFOE的面積是所求正方形面積的1/4,且B點橫縱坐標相等，故設B（),代入橢圓方程求得,即正方形ABCD面積為 五、小結 ：這節(jié)課學習了用方程討論曲線幾何性質的思想方法；學習了橢圓的幾何性質：對稱性、頂點、范圍、離心率；學習了橢圓的描點法畫圖及徒手畫橢圓草圖的方法 六、課后作業(yè)： 七、板書設計（略） 八、課后記：