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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 2.3 函數(shù)的單調性教案 ●知識梳理 1.增函數(shù)、減函數(shù)的定義 一般地，對于給定區(qū)間上的函數(shù)f（x），如果對于屬于這個區(qū)間的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）〔或都有f（x1）＞f（x2）〕，那么就說f（x）在這個區(qū)間上是增函數(shù)（或減函數(shù)）. 如果函數(shù)y=f（x）在某個區(qū)間上是增函數(shù)（或減函數(shù)），就說f（x）在這一區(qū)間上具有（嚴格的）單調性，這一區(qū)間叫做f（x）的單調區(qū)間.如函數(shù)是增函數(shù)則稱區(qū)間為增區(qū)間，如函數(shù)為減函數(shù)則稱區(qū)間為減區(qū)間. 2.函數(shù)單調性可以從三個方面理解 （1）圖形刻畫：對于給定區(qū)間上的函數(shù)f（x），函數(shù)圖象如從左向右連續(xù)上升，則稱函數(shù)在該區(qū)間上單調遞增，函數(shù)圖象如從左向右連續(xù)下降，則稱函數(shù)在該區(qū)間上單調遞減. （2）定性刻畫：對于給定區(qū)間上的函數(shù)f（x），如函數(shù)值隨自變量的增大而增大，則稱函數(shù)在該區(qū)間上單調遞增，如函數(shù)值隨自變量的增大而減小，則稱函數(shù)在該區(qū)間上單調遞減. （3）定量刻畫，即定義. 上述三方面是我們研究函數(shù)單調性的基本途徑. ●點擊雙基 1.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，2）上為增函數(shù)的是 A.y=－x+1 B.y= C.y=x2－4x+5 D.y= 答案：B 2.函數(shù)y=loga（x2＋2x－3），當x=2時，y＞0，則此函數(shù)的單調遞減區(qū)間是 A.（－∞，－3） B.（1，＋∞） C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞） 解析：當x=2時，y=loga5＞0，∴a＞1.由x2＋2x－3＞0x＜－3或x＞1，易見函數(shù)t＝x2＋2x－3在（－∞，－3）上遞減，故函數(shù)y=loga（x2＋2x－3）（其中a＞1）也在（－∞，－3）上遞減. 答案：A 3.（xx年北京朝陽區(qū)模擬題）函數(shù)y=log|x－3|的單調遞減區(qū)間是__________________. 解析：令u=|x－3|，則在（－∞，3）上u為x的減函數(shù)，在（3，+∞）上u為x的增函數(shù).又∵0＜＜1，∴在區(qū)間（3，＋∞）上，y為x的減函數(shù). 答案：（3，+∞） 4.有下列幾個命題： ①函數(shù)y=2x2+x+1在（0，＋∞）上不是增函數(shù)；②函數(shù)y=在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是減函數(shù)；③函數(shù)y=的單調區(qū)間是［－2，+∞）；④已知f（x）在R上是增函數(shù)，若a+b＞0，則有f（a）+f（b）＞f（－a）+f（－b）.其中正確命題的序號是___________________. 解析：①函數(shù)y=2x2+x+1在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴①錯；②雖然（－∞，－1）、（－1，＋∞）都是y=的單調減區(qū)間，但求并集以后就不再符合減函數(shù)定義，∴②錯；③要研究函數(shù)y=的單調區(qū)間，首先被開方數(shù)5+4x－x2≥0，解得－1≤x≤5，由于［－2，+∞）不是上述區(qū)間的子區(qū)間，∴③錯；④∵f（x）在R上是增函數(shù)，且a＞－b，∴b＞－a，f（a）＞f（－b），f（b）＞f（－a），f（a）+f（b）＞f（－a）+f（－b），因此④是正確的. 答案：④ ●典例剖析 【例1】 如果二次函數(shù)f（x）=x2－（a－1）x+5在區(qū)間（，1）上是增函數(shù)，求f（2）的取值范圍. 剖析：由于f（2）=22－（a－1）2+5=－2a+11，求f（2）的取值范圍就是求一次函數(shù)y=－2a+11的值域，當然就應先求其定義域. 解：二次函數(shù)f（x）在區(qū)間（，1）上是增函數(shù)，由于其圖象（拋物線）開口向上，故其對稱軸x=或與直線x=重合或位于直線x=的左側，于是≤，解之得a≤2，故f（2）≥－22+11=7，即f（2）≥7. 【例2】 討論函數(shù)f（x）=（a＞0）在x∈（－1，1）上的單調性. 解：設－1＜x1＜x2＜1，則f（x1）－f（x2）=－ ==. ∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x1x2+1＞0，（x12－1）（x22－1）＞0.又a＞0，∴f（x1）－f（x2）＞0，函數(shù)f（x）在（－1，1）上為減函數(shù). 【例3】 求函數(shù)y=x+的單調區(qū)間. 剖析：求函數(shù)的單調區(qū)間（亦即判斷函數(shù)的單調性），一般有三種方法： （1）圖象法；（2）定義法；（3）利用已知函數(shù)的單調性.但本題圖象不易作，利用y=x與y=的單調性（一增一減）也難以確定，故只有用單調性定義來確定，即判斷f（x2）－ f（x1）的正負. 解：首先確定定義域：{x|x≠0}，∴在（－∞，0）和（0，+∞）兩個區(qū)間上分別討論.任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，則f（x2）－f（x1）=x2+－x1－=（x2－x1）+=（x2－x1）（1－），要確定此式的正負只要確定1－的正負即可. 這樣，又需要判斷大于1，還是小于1.由于x1、x2的任意性，考慮到要將（0，+∞）分為（0，1）與（1，+∞）（這是本題的關鍵）. （1）當x1、x2∈（0，1）時，1－＜0，∴f（x2）－f（x1）＜0，為減函數(shù). （2）當x1、x2∈（1，+∞）時，1－＞0，∴f（x2）－f（x1）＞0，為增函數(shù). 同理可求（3）當x1、x2∈（－1，0）時，為減函數(shù)；（4）當x1、x2∈（－∞，－1）時，為增函數(shù). 評述：解答本題易出現(xiàn)以下錯誤結論：f（x）在（－1，0）∪（0，1）上是減函數(shù)，在（－∞，－1）∪（1，+∞）上是增函數(shù)，或說f（x）在（－∞，0）∪（0，+∞）上是單調函數(shù).排除障礙的關鍵是要正確理解函數(shù)的單調性概念：函數(shù)的單調性是對某個區(qū)間而言的，而不是兩個或兩個以上不相交區(qū)間的并. 深化拓展 求函數(shù)y=x+（a＞0）的單調區(qū)間. 提示：函數(shù)定義域x≠0，可先考慮在（0，+∞）上函數(shù)的單調性，再根據(jù)奇偶性與單調性的關系得到在（－∞，0）上的單調性. 答案：在（－∞，－］，（，+∞）上是增函數(shù)，在（0，］，（－，0）上是減函數(shù). 【例4】 定義在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）≠0，當x＞0時，f（x）＞1，且對任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）f（b）. （1）求證：f（0）=1； （2）求證：對任意的x∈R，恒有f（x）＞0； （3）求證：f（x）是R上的增函數(shù)； （4）若f（x）f（2x－x2）＞1，求x的取值范圍. （1）證明：令a=b=0，則f（0）=f 2（0）.又f（0）≠0，∴f（0）=1. （2）證明：當x＜0時，－x＞0，∴f（0）=f（x）f（－x）=1. ∴f（－x）=＞0.又x≥0時f（x）≥1＞0，∴x∈R時，恒有f（x）＞0. （3）證明：設x1＜x2，則x2－x1＞0.∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）f（x1）. ∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）f（x1）＞f（x1）. ∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函數(shù). （4）解：由f（x）f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函數(shù)，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3. 評述：解本題的關鍵是靈活應用題目條件，尤其是（3）中“f（x2）=f［（x2－x1）+x1］”是證明單調性的關鍵，這里體現(xiàn)了向條件化歸的策略. ●闖關訓練 夯實基礎 1.（xx年湖北，理7）函數(shù)f（x）=ax+loga（x+1）在［0，1］上的最大值與最小值的和為a，則a的值為 A. B. C.2 D.4 解析：f（x）是［0，1］上的增函數(shù)或減函數(shù)，故f（0）+f（1）=a，即1+a+loga2=aloga2=－1，∴2=a－1a=. 答案：B 2.設函數(shù)f（x）=loga|x|在（－∞，0）上單調遞增，則f（a+1）與f（2）的大小關系是 A.f（a+1）=f（2） B.f（a+1）＞f（2） C.f（a+1）＜f（2） D.不能確定 解析：由f（x）=且f（x）在（－∞，0）上單調遞增，易得0＜a＜1.∴1＜a+1＜2.又∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞減.∴f（a+1）＞f（2）. 答案：B 3.函數(shù)y=loga（2－ax）在［0，1］上是減函數(shù)，則a的取值范圍是 A.（0，1） B.（0，2） C.（1，2） D.（2，+∞） 解析：題中隱含a＞0，∴2－ax在［0，1］上是減函數(shù).∴y=logau應為增函數(shù)，且u= 2－ax在［0，1］上應恒大于零.∴∴1＜a＜2. 答案：C 4.（文）如果函數(shù)f（x）=x2+2（a－1）x+2在區(qū)間（－∞，4］上是減函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是___________________. 解析：對稱軸x=1－a，由1－a≥4，得a≤－3. 答案：a≤－3 （理）（xx年湖北省荊州市高中畢業(yè)班質量檢查題）函數(shù)y=f（x）的圖象與y=2x的圖象關于直線y=x對稱，則函數(shù)y=f（4x－x2）的遞增區(qū)間是___________________. 解析：先求y=2x的反函數(shù)，為y=log2x，∴f（x）=log2x，f（4x－x2）=log2（4x－x2）.令u=4x－x2，則u＞0，即4x－x2＞0.∴x∈（0，4）. 又∵u=－x2+4x的對稱軸為x=2，且對數(shù)的底為2＞1，∴y=f（4x－x2）的遞增區(qū)間為（0，2）. 答案：（0，2） 5.討論函數(shù)f（x）=（a≠）在（－2，+∞）上的單調性. 解：設x1、x2為區(qū)間（－2，+∞）上的任意兩個值，且x1＜x2，則 f（x1）－f（x2）== =. ∵x1∈（－2，+∞），x2∈（－2，+∞）且x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1+2＞0，x2+2＞0. ∴當1－2a＞0，即a＜時，f（x1）＞f（x2），該函數(shù)為減函數(shù)； 當1－2a＜0，即a＞時，f（x1）＜f（x2），該函數(shù)為增函數(shù). 培養(yǎng)能力 6.（xx年重慶市高三畢業(yè)班診斷性試題）已知函數(shù)f（x）=m（x+）的圖象與函數(shù)h（x）=（x+）+2的圖象關于點A（0，1）對稱. （1）求m的值； （2）若g（x）=f（x）+在區(qū)間（0，2］上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍. 解：（1）設P（x，y）為函數(shù)h（x）圖象上一點，點P關于A的對稱點為 Q（x′，y′），則有x′=－x，且y′=2－y. ∵點Q（x′，y′）在f（x）=m（x+）上，∴y′=m（x′+）. 將x、y代入，得2－y=m（－x－）.整理，得y=m（x+）+2.∴m=. （2）∵g（x）=（x+），設x1、x2∈（0，2］，且x1＜x2， 則g（x1）－g（x2）=（x1－x2）＞0對一切x1、x2∈（0，2］恒成立. ∴x1x2－（1+a）＜0對一切x1、x2∈（0，2］恒成立. ∴由1+a＞x1x2≥4，得a＞3. 7.（xx年春季上海）已知函數(shù)f（x）=|x－a|，g（x）=x2+2ax+1（a為正常數(shù)），且函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等. （1）求a的值； （2）求函數(shù)f（x）+g（x）的單調遞增區(qū)間； （3）若n為正整數(shù)，證明10f（n）（）g（n）＜4. （1）解：由題意，f（0）=g（0），|a|=1，又a＞0，所以a=1. （2）解：f（x）+g（x）=|x－1|+x2+2x+1. 當x≥1時，f（x）+g（x）=x2+3x，它在［1，+∞）上單調遞增； 當x＜1時，f（x）+g（x）=x2+x+2，它在［－，1）上單調遞增. （3）證明：設cn=10f（n）（）g（n），考查數(shù)列{cn}的變化規(guī)律：解不等式＜1，由cn＞0，上式化為10（）2n+3＜1， 解得n＞－≈3.7.因n∈N*，得n≥4，于是c1≤c2≤c3≤c4.而c4＞c5＞c6＞…， 所以10f（n）（）g（n）≤10f（4）（）g（4）=103（）25＜4. 探究創(chuàng)新 8.（xx年北京西城區(qū)模擬題）設a∈R，函數(shù)f（x）=（ax2+a+1），其中e是自然對數(shù)的底數(shù). （1）判斷f（x）在R上的單調性； （2）當－1＜a＜0時，求f（x）在［1，2］上的最小值. 解：（1）由已知（x）=－e－x（ax2+a+1）+e－x2ax =e－x（－ax2+2ax－a－1）. 因為e－x＞0，以下討論函數(shù)g（x）=－ax2+2ax－a－1值的情況： 當a=0時，g（x）=－1＜0，即（x）＜0，所以f（x）在R上是減函數(shù). 當a＞0時，g（x）=0的判別式Δ=4a2－4（a2+a）=－4a＜0，所以g（x）＜0，即（x）＜0，所以f（x）在R上是減函數(shù). 當a＜0時，g（x）=0有兩個根x1，2=，并且＜，所以在區(qū)間（－∞，）上，g（x）＞0，即（x）＞0，f（x）在此區(qū)間上是增函數(shù)； 在區(qū)間（，）上，g（x）＜0，即（x）＜0，f（x）在此區(qū)間上是減函數(shù). 在區(qū)間（，+∞）上，g（x）＞0，即（x）＞0，f（x）在此區(qū)間上是增函數(shù). 綜上，當a≥0時，f（x）在R上是減函數(shù)； 當a＜0時，f（x）在（－∞，）上單調遞增，在（，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增. （2）當－1＜a＜0時，=1+＜1，=1+＞2，所以在區(qū)間［1，2］上，函數(shù)f（x）單調遞減.所以函數(shù)f（x）在區(qū)間［1，2］上的最小值為f（2）=. 評述：函數(shù)的最值和函數(shù)的單調性有緊密聯(lián)系.判斷較復雜函數(shù)的單調性，利用導函數(shù)的符號是基本方法. ●思悟小結 1.函數(shù)的單調性是對于函數(shù)定義域內的某個子區(qū)間而言的.有些函數(shù)在整個定義域內是單調的，如一次函數(shù)；而有些函數(shù)在定義域內的部分區(qū)間上是增函數(shù)而在另一部分區(qū)間上可能是減函數(shù)，如二次函數(shù)；還有的函數(shù)是非單調的，如y= 2.函數(shù)單調性定義中的x1、x2有三個特征：一是同屬一個單調區(qū)間；二是任意性，即x1、x2是給定區(qū)間上的任意兩個值，“任意”二字絕不能丟掉，更不可隨意以兩個特殊值替換；三是有大小，通常規(guī)定x1＜x2.三者缺一不可. 3.在解決與函數(shù)單調性有關的問題時，通常有定義法、圖象法、復合函數(shù)判斷法，但最基本的方法是定義法，幾乎所有的與單調性有關的問題都可用定義法來解決. 4.討論函數(shù)的單調性必須在定義域內進行. ●教師下載中心 教學點睛 1.本節(jié)的重點是函數(shù)單調性的有關概念，難點是利用概念證明或判斷函數(shù)的單調性.復習本節(jié)時，老師最好引導學生總結出證明函數(shù)單調性的一般步驟：1設值；2作差；3變形；4定號；5結論. 2.教學過程中應要求學生準確理解、把握單調性定義中“任意”的含意，函數(shù)單調性的重要作用在于化歸，要重視運用函數(shù)的單調性將問題化歸轉化，培養(yǎng)化歸意識. 3.討論復合函數(shù)單調性的根據(jù)：設y=f（u），u=g（x），x∈［a，b］，u∈［m，n］都是單調函數(shù)，則y=f［g（x）］在［a，b］上也是單調函數(shù). （1）若y=f（u）是［m，n］上的增函數(shù)，則y=f［g（x）］與u=g（x）的增減性相同； （2）若y=f（u）是［m，n］上的減函數(shù)，則y=f［g（x）］的增減性與u=g（x）的增減性相反. 拓展題例 【例1】 設函數(shù)f（x）＝（a＞b＞0），求f（x）的單調區(qū)間，并證明f（x）在其單調區(qū)間上的單調性. 解：函數(shù)f（x）＝的定義域為（－∞，－b）∪（－b，＋∞）， 任取x1、x2∈（－∞，－b）且x1＜x2， 則f（x1）－f（x2）＝－＝. ∵a－b＞0，x2－x1＞0，（x1＋b）（x2＋b）＞0， ∴f（x1）－f（x2）＞0， 即f（x）在（－∞，－b）上是減函數(shù). 同理可證f（x）在（－b，＋∞）上也是減函數(shù). ∴函數(shù)f（x）=在（－∞，－b）與（－b，＋∞）上均為減函數(shù). 【例2】 已知f（x）是定義在［－1，1］上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若a、b∈［－1，1］，a+b≠0時，有＞0. 判斷函數(shù)f（x）在［－1，1］上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結論. 解：任取x1、x2∈［－1，1］，且x1＜x2，則－x2∈［－1，1］.又f（x）是奇函數(shù)，于是 f（x1）－f（x2）=f（x1）+f（－x2） =（x1－x2）. 據(jù)已知＞0，x1－x2＜0， ∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）. ∴f（x）在［－1，1］上是增函數(shù).