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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 空間向量與立體幾何 板塊六 用空間向量解錐體問題(1)完整講義（學(xué)生版） 典例分析 【例1】 如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，，，點(diǎn)是上的點(diǎn)，且． ⑴求證：對(duì)任意的，都有； ⑵設(shè)二面角的大小為，直線與平面所成的角為，若，求的值． 【例2】 如圖，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，分別為，，的中點(diǎn)，，． ⑴設(shè)是的中點(diǎn)，證明：平面； ⑵證明：在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，并求點(diǎn)到，的距離． 【例3】 在四棱錐中，底面是矩形，平面，，． 以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)，交于點(diǎn)． ⑴求證：平面平面； ⑵求直線與平面所成的角的大小； ⑶求點(diǎn)到平面的距離． 【例4】 如圖，四棱錐的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，為側(cè)棱上的點(diǎn)． ⑴求證：； ⑵若平面，求二面角的大??； ⑶在⑵的條件下，側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面．若存在，求的值；若不存在，試說明理由． 【例5】 如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點(diǎn)． ⑴證明：； ⑵若為上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值． 【例6】 如圖，已知三棱錐中，平面，于，是的中點(diǎn)，且，． ⑴求證：； ⑵求異面直線與所成角的大??； ⑶求點(diǎn)到平面的距離． 【例7】 如圖，直二面角中，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，，為上的點(diǎn)，且平面． ⑴求證：平面； ⑵求二面角的大小； ⑶求點(diǎn)到平面的距離． 【例8】 如圖，正三棱錐的三條側(cè)棱、、兩兩垂直，且長(zhǎng)度均為．、分別是、的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過作平面與側(cè)棱、、或其延長(zhǎng)線分別相交于、、，已知． ⑴求證：平面； ⑵求二面角的大小的余弦值． 【例9】 如圖，在中，，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動(dòng)點(diǎn)在斜邊上． ⑴ 求證：平面平面； ⑵ 當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的大??； ⑶ 求與平面所成角的最大值． 【例10】 如圖，在三棱錐中，，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)， 底面． ⑴求證：平面； ⑵當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值． ⑶當(dāng)取何值時(shí)，在平面內(nèi)的射影恰好為的重心？ 【例11】 如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點(diǎn)． ⑴證明：； ⑵若為上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值． 【例12】 如圖，已知三棱錐中，平面，于，是的中點(diǎn)，且，． ⑴求證：； ⑵求異面直線與所成角的大?。? ⑶求點(diǎn)到平面的距離．