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第三章習(xí)題答案 1. 分別用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式計(jì)算積分計(jì)誤差。 解：1）用梯形公式有： 事實(shí)上， 2）Simpson公式 事實(shí)上， 3）由Cotes公式有： 事實(shí)上， 2．證明Simpson公式具有三次代數(shù)精度。 證明： 而當(dāng)時 左側(cè)： 右側(cè)： 左側(cè)不等于右側(cè)。所以Simpson具有三次代數(shù)精度. 3.分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化公式Simpson計(jì)算下列積分. (1)，（3）， 解：（1）用復(fù)化梯形公式有： ，由復(fù)化Simpson公式有： 解：刪去 解（3）： 由復(fù)化梯形公式有： 由復(fù)化公式有： （4）解： 由復(fù)化梯形公式： 由復(fù)化Simpson公式： 4．給定求積節(jié)點(diǎn)試推出計(jì)算積分的插值型求積公式，并寫出它的截?cái)嗾`差。 解： 考慮到對稱性，有，于是有求積公式 由于原式含有3個節(jié)點(diǎn)，故它至少有2階精度。考慮到其對稱性，可以猜想到它可能有3階精度。事實(shí)上，對原式左右兩端相等： 此外，容易驗(yàn)證原式對不準(zhǔn)確，故所構(gòu)造出的求積公式有3階精度。 5．給定積分。 （1） 利用復(fù)化梯形公式計(jì)算上述積分值，使其截?cái)嗾`差不超過 （2） 取同樣的求積節(jié)點(diǎn)，改用復(fù)化Simpson公式計(jì)算時，截?cái)嗾`差是多少？ （3） 如果要求截?cái)嗾`差不超過，那么使用復(fù)化Simpson公式計(jì)算時，應(yīng)將積分區(qū)間分成多少等分？ 解：(1) =, 當(dāng)誤差時，25.6, 所以取=26。 （2） 6．用Romberg求積方法計(jì)算下列積分，使誤差不超過。 （1）；（2）；（3）;(4) 解（1）： 計(jì)算可以停止。 解（2）： （3）解: 解（4）: 7．推導(dǎo)下列三種矩形求積公式： 證明：將在處Taylor展開，得 兩邊在上積分，得 將在處Taylor展開，得 兩邊在上積分，得 將在處Taylor展開，得 兩邊在上積分，得 8．如果證明用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分所得結(jié)果比準(zhǔn)確值大，并說明其幾何意義。 證明：復(fù)化梯形公式為 若在上連續(xù)，則復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)為 由于且 所以使 則(1)式成為： 又因?yàn)樗? 即用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分所得結(jié)果比準(zhǔn)確值大。 其幾何意義：曲線在定義域內(nèi)是向下凹的，即曲線在曲線上任兩點(diǎn)連線的下方。 9．對構(gòu)造一個至少具有三次代數(shù)精度的求積公式。 解：因?yàn)榫哂?個求積節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式，至少有三次代數(shù)精度。如果在上取節(jié)點(diǎn)0，1，2，3，則插值型求積公式為： 　　　　　　　　 　　　　其中系數(shù)為　 　　　　　　 　　　　　同理求得　　 　　　　　即有：　　 10．判別下列求積公式是否是插值型的，并指明其代數(shù)精度： 解：插值型求積公式 其中 則 因此，是插值型的求積公式。 因其求積公式是插值型的，且存在2個節(jié)點(diǎn)，所以其代數(shù)精度至少是1。 對于時， 可見它對于不準(zhǔn)確成立，故該求積公式的代數(shù)精度是1。 11．構(gòu)造下列求積公式，并指明這些求積公式所具有的代數(shù)精度： 解（1）：令原式對于準(zhǔn)確成立，于是有 解之得 ， 于是有求積公式 容易驗(yàn)證，它對于不準(zhǔn)確成立，故該求積公式的代數(shù)精度是1。 解（2）：令原式對于準(zhǔn)確成立，于是有 解之得 于是有求積公式 容易驗(yàn)證當(dāng)時，而 可見，它對于不準(zhǔn)確成立，故該求積公式的代數(shù)精度是3。 解(3)：令原式對于準(zhǔn)確成立，于是有 解得: 于是有求積公式 容易驗(yàn)證，當(dāng)時，而 可見，它對于不準(zhǔn)確成立，故該求積公式的代數(shù)精度是2。 12. 利用代數(shù)精度方法構(gòu)造下列兩點(diǎn)Gauss求積公式： 解（1）：令原式對于準(zhǔn)確成立，于是有 　　　　　 利用的第1式，可將第2式化為 　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　同樣，利用第2式化簡第3式，利用第3式化簡第4式，分別得 　　　　　　　　　　 　 　 　 由式消去得 　　　　　　　　　　　 　　　　　進(jìn)一步整理 　　　　　　　　　　　 　　　　　由此解出　 　　　　　　　解得：　　　 　　因此所求的兩點(diǎn)Gauss求積公式： 或依下面的思想： 解（2）：令原式對于準(zhǔn)確成立，于是有 　　　　　　 利用的第1式，可將第2式化為 　　　　　　　　　　 　　 　　　　　同樣，利用第2式化簡第3式，利用第3式化簡第4式，分別得 　　　　　　　　　　 　 　 　 由式消去得 　　　　　　　　　　　 　　　　　進(jìn)一步整理 　　　　　　　　　　　 　　　　　由此解出　 　　　　　　　解得：　　　 　　因此所求的兩點(diǎn)Gauss求積公式： 或依下面的思想： 13．分別用三點(diǎn)和四點(diǎn)Gauss－Chebyshev求積公式計(jì)算積分，并估計(jì)誤差。 解：用三點(diǎn)Gauss-Chebyshev求積公式來計(jì)算： 　　　此時， 　　　由公式可得： 由余項(xiàng)可估計(jì)誤差為　　　 用四點(diǎn)Gauss-Chebyshev求積公式來計(jì)算： 　　此時， 　　　　　 　　　　　 　 由余項(xiàng)可估計(jì)誤差為　 14．用三點(diǎn)求積公式計(jì)算積分，并估計(jì)誤差。 解：作變換則得 　　　 　　　由三點(diǎn)Gauss-Legendre公式： 　　　　　　　 　　　 　　　　 　　　　 其估計(jì)誤差為： ,（）。其準(zhǔn)確值　 其準(zhǔn)確誤差等于： 17