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第三十七講 氣體分子動理論之一 ——理想氣體的壓強(qiáng)和溫度公式 能量均分定理,第一部分 氣體動理論,第三十八講 氣體分子動理論之二 ——麥克斯韋速率分布律 分子的平均自由程,本講主要內(nèi)容：,一、分子熱運(yùn)動和統(tǒng)計規(guī)律 二、麥克斯韋速率分布律★ 三、玻爾茲曼分布（*略講自學(xué)） 四、分子平均自由程 五、真實氣體和范德瓦耳斯方程（*略講自學(xué)） 六、氣體內(nèi)的遷移現(xiàn)象（*自學(xué)）,—麥克斯韋速率分布律分子的平均自由程,第三十八講 氣體分子動理論之二,一、分子熱運(yùn)動和統(tǒng)計規(guī)律,分子熱運(yùn)動的基本特征,特征一:,混亂性和無序性,永恒的運(yùn)動;頻繁的碰撞,特征二: 在分子熱運(yùn)動中，個別分子的運(yùn)動存在著極大的偶然性。但總體上卻存在著確定的規(guī)律性------統(tǒng)計規(guī)律性。,特征三:漲落現(xiàn)象.一切與熱現(xiàn)象有關(guān)的宏觀量的數(shù)值都是統(tǒng)計平均值(如理想氣體壓強(qiáng))。在任一給定瞬間或在系統(tǒng)中任一給定局部范圍內(nèi)，觀測值都與統(tǒng)計平均值有偏差。,人口中身高為hi-hi+?h的人數(shù)為Ni 。,歸一化的分布數(shù),總?cè)藬?shù),歸一化條件,令間隔?h?0，,分布函數(shù)f(h)---分布在身高h(yuǎn)附近單位身高間隔的百分比。,分布函數(shù)和平均值,例:某大城市人口按身高的分布曲線。,歸一化分布函數(shù)f(h)滿足,平均身高,身高在h→h+dh 范圍內(nèi)的人數(shù)dN=Nf(h)dh,分布函數(shù)f(h)---分布在身高h(yuǎn) 附近，單位身高間隔的人口占總?cè)丝诘陌俜直取?可將h 推廣為任意物理量。,可將上面的h 推廣為任意物理量,如理想氣體系統(tǒng)中分子的速度v . 討論分子數(shù)按速率的分布函數(shù)。,歸一化條件,思考：f (v) 的物理意義？,處于平衡態(tài)的氣體分子的熱運(yùn)動速度在每一個時刻都在隨機(jī)變化著，但是大多數(shù)分子之間存在一種統(tǒng)計相關(guān)性，它表現(xiàn)為平均來說氣體分子的速率介于v – v + d v 的概率是不會改變的。,分子速率分布函數(shù),速度為v→v + dv 間隔內(nèi)的分子數(shù)為dN,——分布在速率v1—v2 速率間隔的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率,——分布在速率v — v+dv 速率間隔的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率,速率的分布函數(shù) f( v ) ----分子分布在速率v 附近單位速率間隔的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率。,——分布在速率v — v+dv 速率間隔的分子數(shù),——分布在速率v1—v2 速率間隔的分子數(shù),問題:速率的分布函數(shù)f(v)的具體形式是怎樣的?,二、麥克斯韋速率分布律,1859年麥克斯韋從理論上得到速率分布定律：,1920年斯特恩從實驗上證實了速率分布定律,t=l/v=?/?,? v = ? l /?,Stern 做了分子射線束實驗,分子速率的實驗測定,通過改變ωφ可獲得不同速率區(qū)間的分子。,只有滿足此條件的分子才能同時通過兩縫。,麥克斯韋速率分布函數(shù),麥克斯韋速率分布曲線的特點：,利用理想氣體模型，麥克斯韋推導(dǎo)了分子速率分布函數(shù)：,麥克斯韋速率分布律,a:最概然速率vp,b:不同溫度下的速率分布曲線,c:不同的氣體質(zhì)量下的速率分布曲線,,,,73K,1273K,273K,同一種氣體,同一個溫度,,m1,,m2,分布在速率vp--vp+dvp速率間隔的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率最大。,麥克斯韋速率分布曲線的特點：,算術(shù)平均速率,同理，方均根速率,方均根速率用來計算分子平均動能,速率的三個統(tǒng)計值,一般用于計算分子運(yùn)動的平均距離；,最概然速率對應(yīng)分布函數(shù)的極大值，令,得,最概然速率用在討論分子速率分布。,例1 試計算分子熱運(yùn)動速率的大小介于vp- vp /100和vp + vp /100之間的分子數(shù)占總數(shù)的百分?jǐn)?shù)。,解:按題意,v=vp- vp /100 = 99vp /100, ?v = vp /50,引入W=v/vp,把麥克斯韋速率分布律改為如下形式,現(xiàn)在W =v /vp =99/100, ?W= ?v / vp =1/50, 代入上式得,1. k =？,由歸一化條件,例2,,,麥克斯韋速率分布函數(shù),麥克斯韋速度分布函數(shù)F(v)（*自學(xué)）,既為分子分布在vx-vx+dvx, vy-vy+dvy, vz-vz+dvz間隔內(nèi)的概率。,麥克斯韋速度分布律,方均根速率與大氣成分,在地球周圍厚厚的大氣層中，富含著自有氧粒子和氮粒子，卻幾乎沒有宇宙中含量最多的自由氫分子和氦原子。想不到這卻是與方均根速率有關(guān)的自然現(xiàn)象。 我們在力學(xué)中已經(jīng)知道，地球表面附近的物體要脫離地球引力場的束縛，其逃逸速率（第二宇宙速度）為v =11.2 km /s 。現(xiàn)在，按式計算一下t =200C 時，氫、氦原子、氧、氮的方均根速率，依次得到：,趣味物理,顯然它們都小于逃逸速度，其中氫的方均根速率最大，也只是逃逸速度的1/6，這樣一來大氣層中似乎應(yīng)該有大量的自由氫分子，但實際上地球大氣層中幾乎沒有自由氫分子。這是什么原因呢？要解決這個問題要借助分布曲線。,從圖中可以看出，有相當(dāng)數(shù)量 的一部分氣體分子的速率比方均 根速率要大得多，當(dāng)這些分子的 速率達(dá)到逃逸速率時，他們就逃 逸出地球的大氣層。由于氫氣的 方均根速率比氧、氮都大得多， 因此不斷有氫分子逃逸出大氣層， 氦氣也與氫氣有類似情況。而氧 分子的方均根速率只有氫分子的1/4（氮分子也接近），只有很少的氧分子能達(dá)到逃逸速率，所以，在地球大氣層中只有自由氧離子和氮離子，而幾乎不存在自由氫分子和氦離子。,趣味物理,三、玻爾茲曼分布（*略講自學(xué)）,麥克斯韋速度分布函數(shù)F(v)（*自學(xué)）,上面我們沒有考慮外力場對氣體分子的作用,氣體按位置的分布是均勻的，概率因子：,考慮分子受到外力作用而具有勢能,將Ek,代之以 E = Ek+ Ep,玻爾茲曼計算得到,玻爾茲曼分布律,考慮分子受到外力作用,將Ek,代之以 E=Ek+Ep,玻爾茲曼計算得到,在速度間隔,空間間隔,內(nèi)的分子數(shù)為,這就是玻爾茲曼分布律.,概率因子:,它說明分子優(yōu)先占據(jù)能量較低的狀態(tài).,由于:,因此玻爾茲曼分布可寫成如下常用形式,表明粒子數(shù)如何按位置分布。,在溫度為T的平衡態(tài)下，任何系統(tǒng)的微觀粒子按狀態(tài)的分布，即在某一狀態(tài)區(qū)間的粒子數(shù)與該狀態(tài)區(qū)間的一個粒子能量有關(guān)，與,成正比。,熱運(yùn)動使分子趨于均勻分布而重力使之位于低處,在重力加速度可以認(rèn)為不變的范圍,取z =0為勢能零點, z軸向上為正,則玻爾茲曼分布律可寫成,分布在高度為z的地方單位體積內(nèi)的分子數(shù),,O2,,H2,重力場中粒子按高度的分布,可由分子數(shù)分布求得大氣壓強(qiáng)按高度為z的變化關(guān)系,此式稱為等溫氣壓公式，使用于高度變化不大的條件下,登山時，利用氣壓計算高度可用以下公式,—高度計原理,四、分子的平均自由程,分子的平均碰撞次數(shù) (平均碰撞頻率),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,分子的平均自由程,幾個概念,分子的自由程,有效直徑d,,平均相對速率,跟蹤分子，看其在一段時間內(nèi)與多少分子相碰。以該分子質(zhì)心的運(yùn)動軌跡為軸，分子有效直徑d 為半徑，作一曲折圓柱體，則凡質(zhì)心在該圓柱體內(nèi)的分子都將與A相碰。Δt內(nèi)其它分子與A分子平均碰撞的次數(shù)等于圓柱體體積中的分子數(shù)。,,,,,,,,,,,,,,計算分子的平均自由程,實際上其它分子也在運(yùn)動,設(shè)圓柱體的截面積為πd 2 。在Δt內(nèi)，分子所走過的路程,相應(yīng)圓柱體的體積為,設(shè)氣體分子數(shù)密度為n，在Δt時間內(nèi)與A相碰的分子數(shù)為,設(shè)想某個分子以平均相對速率運(yùn)動，其余分子不動。,平均相對速率,,平均碰撞頻率為,平均自由程為,平均自由程與平均速率無關(guān)！僅與分子數(shù)密度有關(guān)！,思考：一定量氣體，體積不變而溫度升高，分子平均碰撞頻率和平均自由程將怎樣變化？,例 求在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下一秒內(nèi)分子的平均自由程 和平均碰撞次數(shù).已知氫分子的有效直徑為2?10-10m.,解:根據(jù),因此得,數(shù)億次!,標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下幾種氣體的,0?C不同壓強(qiáng)下空氣分子的,五、范德瓦耳斯方程*略講自學(xué),由于不需要考慮理想氣體分子的大小及分子之間的相互作用力，所以理想氣體狀態(tài)方程,但是，當(dāng)氣體的壓強(qiáng)比較大，溫度比較低即氣體分子的數(shù)密度，n比較大時，氣體的行為與理想氣體狀態(tài)方程就有較大的差異。這是因為，在這種情況下，氣體分子本身的體積不能不考慮，而且，分子間的相互作用力也不能忽略。1873年，荷蘭物理學(xué)家J．范德瓦耳斯考慮了上述兩個因素，對理想氣體狀態(tài)方程作了修正。,中氣體的體積V就是容器的體積，而P就是氣體內(nèi)部以及氣體對容器氣壁的壓強(qiáng)。,考慮到分子本身的體積，且分子之間斥力導(dǎo)致可壓縮空間的減少，氣體占有的體積比容器的體積要小，則1 mol氣體的狀態(tài)方程可修改為,式中，b為體積修正項。,再考慮到分子間的引力作用要產(chǎn)生內(nèi)壓強(qiáng)，由于內(nèi)壓強(qiáng)的作用，使實際觀測到的壓強(qiáng)P要略小于不考慮引力作用時氣體的壓強(qiáng)，于是，原方程中的P也應(yīng)加以修正，,范德瓦耳斯推證了pI ，并引入了另一個修正項a，得到真實氣體的范德瓦耳斯方程為,式中的修正項a和b一般均由實驗測定。,a、b 稱為范德瓦爾斯常量.,引入b,a的實質(zhì)是:,b—無法忽略分子間斥力,a—無法忽略分子間引力,氣體的范德瓦爾斯常量,系統(tǒng)要從非平衡態(tài)自發(fā)地向平衡態(tài)過渡亦 稱輸運(yùn)過程.,討論氣體在非平衡態(tài)下的三種特殊過程， 即：三種遷移現(xiàn)象：,粘 滯 現(xiàn) 象 ——分子動量遷移；,熱 傳 導(dǎo) 現(xiàn) 象——分子能量遷移；,擴(kuò) 散 現(xiàn) 象 ——分子密度遷移；,遷移現(xiàn)象產(chǎn)生的原因:,無外界干預(yù)時,六、氣體內(nèi)的遷移現(xiàn)象(*自學(xué)),流速,溫度,密度不均勻,河流中水流的流速分布：,,,粘滯現(xiàn)象,由于各層氣流的流速不同，產(chǎn)生相鄰兩層氣流之間的阻礙氣體流動的阻力，稱為粘性力。這種現(xiàn)象稱為內(nèi)摩擦現(xiàn)象。,ΔS-----相鄰兩層接觸面面積,粘性力,-----速度梯度,?—粘性系數(shù),由于各層氣流的流速不同，產(chǎn)生相鄰兩層氣流之間的阻礙氣體流動的阻力，稱為粘性力。這種現(xiàn)象稱為內(nèi)摩擦現(xiàn)象。,用分子運(yùn)動論解釋.,熱傳導(dǎo)現(xiàn)象——氣體內(nèi)部有熱量從溫度高的 地方傳遞到溫度低的地方,溫度梯度,?━ 熱導(dǎo)率(導(dǎo)熱系數(shù)),(能量輸運(yùn)),熱傳導(dǎo)現(xiàn)象,用分子運(yùn)動論解釋,遷移的氣體質(zhì)量,密度梯度,D —擴(kuò)散系數(shù),(質(zhì)量輸運(yùn)),擴(kuò)散現(xiàn)象,由氣體動理論可導(dǎo)出,用分子運(yùn)動論解釋,由氣體動理論可導(dǎo)出,影響擴(kuò)散的因素分析,由,可見溫度越高,壓強(qiáng)越低,擴(kuò)散進(jìn)行得越快.,,總結(jié)：,主要研究理想氣體處于平衡態(tài)下的性質(zhì)。,微觀理論：,狀態(tài)參量的統(tǒng)計意義,統(tǒng)計規(guī)律,壓強(qiáng)公式,溫度公式,能均分定理,｛,,麥克斯韋速率分布,平均碰撞頻率和平均自由程公式,｛,三種統(tǒng)計速率,,宏觀規(guī)律：,理想氣體的狀態(tài)方程,,真實氣體范德瓦耳斯方程,同學(xué)自學(xué)完后回答下列問題：,1.1873年，荷蘭物理學(xué)家J．范德瓦耳斯對理想氣體狀態(tài)方程作了修正，是考慮了哪兩個因素做了修正？,2.1mol氣體范德瓦耳斯方程,式中的修正項意義為： b____________; ___________________________。,3.麥克斯韋速率分布律是描述___________________________________,玻爾茲曼分布律是描述_____________________________.,4.寫出旋轉(zhuǎn)體中懸浮粒子的徑向分布。設(shè)旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)角速度為ω，粒子離旋轉(zhuǎn)中心軸距離為r.,5.試以氣體為例，用分子熱運(yùn)動觀點對內(nèi)摩擦、熱傳導(dǎo)、擴(kuò)散現(xiàn)象做出微觀定性解釋。,2）b表示1mol的氣體不可壓縮的體積；,表示氣體中的內(nèi)壓強(qiáng),1）考慮氣體分子本身的體積；分子間的相互作用力,4.旋轉(zhuǎn)體中懸浮粒子的徑向分布：,3.麥克斯韋速率分布律是描述理想氣體在無外力場作用下分子按速率的分布；玻爾茲曼分布律是描述物質(zhì)微粒在任一保守力場中粒子按速率和位置的分布。,懸浮粒子的壓強(qiáng)公式：,5.略（見教材講解）,