23 與角相關(guān)的問題 閱讀與思考 角也是一種基本的幾何圖形，凡是由直線組成的圖形都出現(xiàn)角. 角既可以看成有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形，也可以看成是一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形. 按角的大小可以分成銳角、直角和鈍角. 由于直角和平角在角中顯得特別重要，所以處于不同位置，但兩角的和是一個直角或是一個平角的角仍然得到我們的特別關(guān)注. 兩角之和為直角的，這兩個角叫做互為余角；而兩角之和為平角的，這兩個角叫做互為補(bǔ)角，余角和補(bǔ)角的概念及其應(yīng)用在幾何計算和證明中都有十分重要的地位. 解與角有關(guān)的問題常用到以下知識與方法： 1. 角的分類； 2. 角平分線的概念； 3. 互余、互補(bǔ)等數(shù)量關(guān)系角； 4. 用方程的觀點(diǎn)來進(jìn)行角的計算. 例題與求解 【例1】如圖，在33的網(wǎng)格上標(biāo)出了∠1和∠2，則 . （“希望杯”邀請賽試題） 解題思路：對圖形進(jìn)行恰當(dāng)?shù)奶幚?，通過拼補(bǔ)求出的值. 【例2】如果與互補(bǔ)，且，則下列表示的余角的式子中：①；②；③；④. 其中正確的有（ ） A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個 （xx年浙江省衢江市數(shù)學(xué)競賽試題） 解題思路：彼此互余的角只要滿足一定的數(shù)量關(guān)系即可，而與位置無關(guān). 【例3】已知，OC是不在直線OA，OB上的任一條射線. OM，ON分別平分∠AOC，∠BOC. 求∠MON的大小.（題目中考慮的角都小于平角） （湖北省武漢市武昌區(qū)調(diào)考試題） 解題思路：因OC位置不確定，故分類討論是解本例的關(guān)鍵. 【例4】鐘表在12點(diǎn)鐘時三針重合，經(jīng)過x分鐘秒針第一次將分鐘和時針?biāo)鶌A的銳角平分，求x的值. （湖北省黃岡市競賽試題） 解題思路：把秒針第一次將分鐘和時針?biāo)鶌A的銳角平分所得的兩個角用x的代數(shù)式表示，通過解方程求出x的值. 【例5】（1）現(xiàn)有一個19的“模板”（如圖），請你設(shè)計一種辦法，只用這個“模板”和鉛筆在紙上畫出1的角來. （2）現(xiàn)有一個17的“模板”與鉛筆，你能否在紙上畫出一個1的角來？ （3）用一個21的“模板”與鉛筆，你能否在紙上畫出一個1的角來？ 對（2）（3）兩問，如果能，請你簡述畫法步驟；如果不能，請你說明理由. （“希望杯”邀請賽試題） 解題思路：若只連續(xù)使用模板，則得到的是一個19（或17或21）的整數(shù)倍的角，其實(shí)，解題的關(guān)鍵是在于能否找到19（或17或21）的一個倍數(shù)與某個特殊角的某個倍數(shù)相差1. 【例6】如圖所示，O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC. （1）如圖①，若，求∠DOE的度數(shù)； （2）在圖①中，若，直接寫出∠DOE的度數(shù) （用含α的代數(shù)式表示）； （3）將圖①中的∠DOC繞頂點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置. ① 探究∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由； ② 在∠AOC的內(nèi)部有一條射線OF，滿足，試確定∠AOF與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，說明理由 圖 ① 圖 ② （湖北省武漢市模擬試題） 解題思路：（1）利用互余、互補(bǔ)關(guān)系易求出∠DOE的度數(shù)； （2）先根據(jù)∠DOE與∠COE的互余關(guān)系列出相應(yīng)的關(guān)系式，然后用∠BOC表示出∠COE，再根據(jù)互補(bǔ)角的關(guān)系用α表示出所求角的度數(shù)； （3）①可設(shè)∠BOC為一個未知數(shù)，分別表示出∠AOC與∠DOE，可得相應(yīng)關(guān)系；②結(jié)合①把所給等式整理為只含所求角的關(guān)系式即可. 能力訓(xùn)練 A 級 1. 已知一個角的補(bǔ)角等于這個角余角的6倍，那么這個角等于 . （“祖沖之杯”邀請賽試題） 2. 如圖，，，那么不大于90的角有 個，它們的度數(shù)之和是 . （“希望杯”邀請賽試題） 3. 如圖，，若，則等于 . 4. 如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，，，OE平分∠BOD，則圖中彼此互補(bǔ)的角有 對. （北京市“迎春杯”競賽試題） 5. 一個角的補(bǔ)角的是6，則這個角是（ ） A. 68 B. 78 C. 88 D. 98 （“希望杯”邀請賽試題） 6. 用一副三角板可以畫出大于0且小于176的不同角度有（ ）種 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 如圖，若，∠1是銳角，則∠1的余角是（ ） A. B. C. D. （甘肅省蘭州市競賽試題） 8. 如圖，，OD是∠COB的平分線，OE是∠AOC的平分線，設(shè)，則與α的余角相等的角是（ ） A.∠COD B.∠COE C.∠DOA D.∠COA 9. 如圖，已知，OD平分∠AOB，且，求∠AOB的度數(shù). （北京市“迎春杯”競賽試題） 10. 如圖，已知∠AOB與∠BOC互為補(bǔ)角，OD是∠AOB的平分線，OE在∠BOC內(nèi)，，. 求∠EOC的度數(shù). 11. 已知，OC平分∠AOB，，OE平分∠COD. 求∠AOE的大小. 12. 如圖，已知OB，OC，OD為∠AOE內(nèi)三條射線. （1）圖中共有多少個角？ （2）若OB，OC，OD為∠AOE四等分線，且圖中所有銳角的和為400，求∠AOE的度數(shù). （3）若，，求圖中所有銳角的和. B 級 1. 已知一個角的補(bǔ)角比這個角余角的3倍大10，則這個角的度數(shù)是 . （浙江省杭州市競賽試題） 2. α，β，γ中有兩個銳角和一個鈍角，其數(shù)值已經(jīng)給出，在計算的值時，有三位同學(xué)分別算出了23，24，25這三個不同的結(jié)果. 其中只有一個是正確的答案，則 . （江蘇省競賽試題） 3. 如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC，OD，OE，OF是位于AB同一側(cè)的射線，那么在這個圖形中，不大于平角的角共有 個. （五城市聯(lián)賽試題） 4. 如圖，射線OC，OD，OE，OF分別平分∠AOB，∠COB，∠AOC，∠EOC，若，則 . （xx年“希望杯”數(shù)學(xué)邀請賽試題） 5. 4點(diǎn)鐘后，從時針到分針第二次成90角，共經(jīng)過（ ）分鐘（答案四舍五入到整數(shù)） A. 60 B. 30 C. 40 D. 33 （“五羊杯”競賽試題） 6. 如圖是一個33的正方形，則圖中的和等于（ ） A. 270 B. 315 C. 360 D. 405 （廣西省競賽試題） 7. 已知，OM，ON，OP分別是∠AOB，∠BOC，∠AOC的平分線，則下列各式中成立的是（ ） A. B. C. D.以上情況都有可能 8. 如圖，∠AOC是直角，，且OB，OD分別是∠AOC，∠BOE的平分線，則∠AOE等于（ ） A. 111.5 B. 138 C. 134.5 D. 178 （五城市聯(lián)賽試題） 9. 如圖，在直線AB上取一點(diǎn)O，在AB同側(cè)引射線OC，OD，OE，OF，使∠COE和∠BOE互余，射線OF和OD分別平分∠COE和∠BOE. 求證：. 10. 如圖，∠A1OA11是一個平角， . 求的度數(shù). （山東省競賽試題） 11. 在一個圓形時鐘的表面，OA表示秒針，OB表示分針（O為兩針的選擇中心）. 若現(xiàn)在時間恰好是12點(diǎn)整，問經(jīng)過多少秒后，△OAB的面積第一次達(dá)到最大？ （“CASIO杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題） 專題23 與角相關(guān)的問題 例1 45 提示：如圖，通過拼補(bǔ)得∠1+∠2=45. 例2．B 提示：①（90－∠）+∠=90符合； ②（∠－90）+∠=∠+∠－90=180－90=90符合； ③ ④符合. 故①②④能表示的余角. 13．∵OM、ON平分∠AOC，∠BOC， ∴∠AOM=∠COM=，∠CON=∠BON= （1）如圖①，若OC在∠AOB內(nèi)，設(shè)∠BOC=x，則 圖? 圖? 圖? 例6 （1），，且與互為相反數(shù)。 且。，，即， （2）有兩種情況，如圖?? 當(dāng)在上時， ；當(dāng)在的延長線上時， ，綜上可 知， （3） 作圖如圖?，結(jié)論?正確，設(shè)，則， ，當(dāng)然對于?我們也不難找出其值不為 定值的原因。，變化，其值也變化 A級 1 或 提示：當(dāng)，在點(diǎn)兩側(cè)時，；當(dāng)，在同一側(cè) 時， 2 20 3 41.6 提示：所有線段長度總和為∠AOC＝80－x，∴∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝40． （2）如圖②，若OC在A′OB內(nèi)，設(shè)∠BOC＝x，則∠AOC＝80＋x． ∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝40． （3）如圖③，若OC在∠A′OB′內(nèi)，設(shè)∠BOC ＝x，則 ∠AOC＝280－x． ∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝140． （4）如圖④，若OC在∠AOB′內(nèi)，設(shè)∠BOC＝x，則∠AOC＝x－80． ∴∠MON＝∠NOC－∠MOC＝40．綜上所述：∠MON＝40或 140． 例4 x＝ 提示：顯然x的值大于1小于2， 依題意得6x－360(x—1)＝360(x—1)—0. 5x． 例5 提示：設(shè)“模板”角度為α，假設(shè)可由k個α角與t個 180角畫出1的角來，即k，t滿足等式kα－180t＝1． （1）當(dāng)α＝19時，取k＝19，t＝2，即用模板連續(xù)畫出19個19的角，得到361的角，去掉360的周角， 即得1的角． （2）當(dāng)α＝17時，即17k一180t＝1，此時，k＝53，t＝5是一組解，即用模板連續(xù)畫53個17的角，得到901的角，除去兩個周角和一個平角，即得1的角． （3）當(dāng)α＝21時，即21k—180t＝1無整數(shù)解，不能用21的模板與鉛筆畫出1的角． 例6 (1) ∠BOC＝180－∠AOC＝180－30＝150． 又∵QE 平分∠BOC，∠COE＝∠BOC＝75， ∠DOE＝90－75＝15． （2）∠DOE＝90－＝α． （3）①∠AOC＝180－2∠COE＝180—2(90—∠DOE)＝2∠DOE；②設(shè)∠DOE＝x，∠AOF＝y(tǒng)．則 ∠AOC－4∠AOF＝2∠DOE－4∠AOF＝2x－4y．2∠BOE＋∠AOF＝2∠COE＋∠AOF＝2 ( 90—∠DOE) ＋∠AOF＝2 ( 90一 x )＋y＝180一2x＋y．故 2x—4y＝180—2x ＋y，即 4x—5y＝180．所以 4∠DOE－5∠AOF＝180． A級 1．72 2．10 450 提示：一共有10個角，其中∠AOE＝90， ∠BOD＝45，∠AOB十∠BOE＝90，∠AOC＋∠COE＝90，∠AOD＋∠DOE＝90，∠BOC＋∠COD＝45．故這10個角的度數(shù)和為904＋452＝360＋90＝450． 3．30 4．6 提示：∠AOC 和∠BOC，∠AOD 和∠BOD，∠AOE和∠BOE，∠AOE 和∠DOE ，∠AOE和∠COD，∠AOD 和∠COE． 5．B 6．A 7．C 8．B 9．114 提示：設(shè)∠AOC＝x，是∠BOC＝2x，∠AOD＝(x)，∠COD＝(x)，∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝114 10．設(shè)∠AOD＝∠BOD＝x，則∠BOC＝180—2x． 又∵∠BOE＝∠EOC，∴∠BOE＝∠BOC＝(180－2x)． 又∵∠BOD＋∠BOE＝∠DOE＝72，∴x＋(180－2x)＝72，解得x＝36． 則∠EOC＝∠BOC＝(180—2x)＝72． 11．（1）如圖①，若 OD在∠A′OB 內(nèi)時，∵∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝40，∠COE＝∠DOE＝∠COD＝30，∴∠AOE＝∠AOC＋∠COE＝70． （2）如圖②，若OD在∠AOB′內(nèi)時，同理，∠AOC＝40，∠OOE＝30，∴∠AOE＝∠AOC－∠COE＝10． 綜上所述：∠AOE＝70或10． 12．（1）共有：4＋3＋2＋l＝10 個角． （2）∠AOE＝80． （3）所有銳角度數(shù)和為：416． B級 1．50 2．345 3．15 4．64 提示：設(shè)∠EOF＝∠COF＝x，則∠AOE＝2x．∴∠BOC＝∠AOC＝2x＋x＋x＝4x，∠COD＝∠BOD＝∠BOC＝2x，又∵∠FOD＝∠FOC＋∠COD＝x＋2x＝3x＝24，x＝80，∴∠AOB＝8x＝64． 5．D 6．D 沿AB對折，上下圖形能夠完全重合，則∠1＋∠9＝∠4＋∠8＝∠2＋∠6＝90． 7．B 8．D 9．提示：∠COE＋∠BOE＝90，∠DOF＝45，∠AOF＋∠BOD＝135． 10．由題中條件知∠A3OA2—∠A2OA1＝2①，∠A4OA3—∠A3OA2＝2 ②，∠A5OA4—∠A4OA3＝2③，…， ∠A11OA10－∠A10OA9＝2⑨，以上9個等式相加得∠A11OA10—∠A2 OA1 ＝92＝18．.即∠A11OA10＝∠A2OA1＋18．由題設(shè)知，∠A1OA11＝∠A2OA1＋∠A3OA2 ＋∠A4OA3＋…＋∠A11OA10＝(∠A2OA1＋∠A11OA10)10＝180． ∴∠A2OA1＋∠A11OA10＝36，∴∠A11OA10＝27． 11．經(jīng)過x秒時，OA與OB第一次垂直．由(6－0. 1)x＝90得x＝15．