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大題精做8 圓錐曲線：定點(diǎn)、定值問題 [2019甘肅聯(lián)考]已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線的斜率為， 且原點(diǎn)到直線的距離為． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且與圓相切． 試探究的周長是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由題可知，，，則， 直線的方程為，即，所以， 解得，， 又，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）因?yàn)橹本€與圓相切， 所以，即． 設(shè)，，聯(lián)立，得， 所以， ，， 所以． 又，所以． 因?yàn)?，同理? 所以， 所以的周長是， 則的周長為定值． 1．[2019安慶期末]已知橢圓過點(diǎn)，焦距長，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)． （1）求橢圓的方程； （2）已知點(diǎn)，求證：為定值． 2．[2019東莞期末]已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為和，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過橢圓的右頂點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，，分別與橢圓交于點(diǎn)，（均異于點(diǎn)）， 求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． 3．[2019周口期末]已知過原點(diǎn)的兩條互相垂直的直線與拋物線相交于不同于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，，且軸，的面積為16． （1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）已知點(diǎn)，，為拋物線上不同的三點(diǎn)，若， 試問：直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．  1．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由條件焦距為，知，從而將代入方程， 可得，，故橢圓方程為． （2）當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線交橢圓于，， 由，可得， ，，，， ， 化簡得， 當(dāng)直線斜率為0時，，，， 即證為定值，且為． 2．【答案】（1）；（2）見解析． 【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， ，， ∴，∴，∴， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）①直線斜率存在，設(shè)直線，，， 聯(lián)立方程，消去得， ，， ，又， 由，得， 即，∴， ∴， ∴．解得，，且均滿足， 當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點(diǎn)，與已知矛盾； 當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點(diǎn)． ②由橢圓的對稱性所得，當(dāng)直線，的傾斜角分別為，，易得直線， ，直線，分別與橢圓交于點(diǎn)，， 此時直線斜率不存在，也過定點(diǎn)， 綜上所述，直線恒過定點(diǎn)． 3．【答案】（1）；（2）過定點(diǎn)． 【解析】（1）不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由題意知，直線，的傾斜角分別為，， 則直線，的方程分別為，． 代入拋物線方程得，的坐標(biāo)分別為，， ∴．解得， 故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）由（1）可得點(diǎn)．由題意可設(shè)直線的方程為． 聯(lián)立，得． 則．∴，． 同理可得，． ∴直線的方程為， 即． ∴ ． 故直線過定點(diǎn)．