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大題精做4 統(tǒng)計概率：統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 [2019開封一模]大學先修課程，是在高中開設的具有大學水平的課程，旨在讓學有余力的高中生早接受大學思維方式、學習方法的訓練，為大學學習乃至未來的職業(yè)生涯做好準備.某高中成功開設大學先修課程已有兩年，共有250人參與學習先修課程． （1）這兩年學校共培養(yǎng)出優(yōu)等生150人，根據下圖等高條形圖，填寫相應列聯表，并根據列聯表檢驗能否在犯錯的概率不超過的前提下認為學習先修課程與優(yōu)等生有關系？ 優(yōu)等生 非優(yōu)等生 總計 學習大學先修課程 250 沒有學習大學先修課程 總計 150 （2）某班有5名優(yōu)等生，其中有2名參加了大學生先修課程的學習，在這5名優(yōu)等生中任選3人進行測試，求這3人中至少有1名參加了大學先修課程學習的概率． 參考數據： 參考公式：，其中． 【答案】（1）列聯表見解析，有關系；（2）． 【解析】（1）列聯表如下： 優(yōu)等生 非優(yōu)等生 總計 學習大學先修課程 50 200 250 沒有學習大學先修課程 100 900 1000 總計 150 1100 1250 由列聯表可得， 因此在犯錯誤的概率不超過的前提下認為學習先修課程與優(yōu)等生有關系． （2）在這5名優(yōu)等生中，記參加了大學先修課程的學習的2名學生為，， 記沒有參加大學先修課程學習的3名學生為，，． 則所有的抽樣情況如下：，，，，， ，，，，，共10種， 其中沒有學生參加大學先修課程學習的情況有1種，為． 記事件為至少有1名學生參加了大學先修課程的學習，則． 1．[2019駐馬店期末]某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產情況，隨機在這兩條流水線上各抽取40件產品作為樣本，并稱出它們的重量（單位：克），重量值落在內的產品為合格品，否則為不合格品．注：表1是甲流水線樣本的頻數分布表，圖1是乙流水線樣本的頻率分布直方圖． 產品重量（克） 頻數 6 8 14 8 4 （1）根據上面表1中的數據在圖2中作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖； （2）若以頻率作為概率，試估計從兩條流水線上分別任取1件產品，該產品恰好是合格品的概率分別是多少； （3）由以上統(tǒng)計數據完成下面列聯表，并回答有多大的把握認為產品的包裝質量與兩條自動包裝流水線的選擇有關． 甲流水線 乙流水線 合計 合格 不合格 合計 參考公式：，其中． 2．[2019肇慶統(tǒng)測]下圖是某市年至年環(huán)境基礎設施投資額 (單位：億元)的條形圖． （1）若從年到年的五年中，任意選取兩年，則這兩年的投資額的平均數不少于億元的概率； （2）為了預測該市年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據年至年的數據(時間變量的值依次為1，2，，17)建立模型①：；根據年至年的數據(時間變量的值依次為1，2，，7)建立模型②：． （i）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值; （ii）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由． 3．[2019衡水中學]為提高玉米產量，某種植基地對單位面積播種數與每棵作物的產量之間的關系進行了研究，收集了塊試驗田的數據，得到下表： 試驗田編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 （棵/） 4 8 10 （斤/棵） 技術人員選擇模型作為與的回歸方程類型，令，相關統(tǒng)計量的值如下表： 600 44 2721 45642 由表中數據得到回歸方程后進行殘差分析，殘差圖如圖所示： （1）根據殘差圖發(fā)現一個可疑數據，請寫出可疑數據的編號（給出判斷即可，不必說明理由）； （2）剔除可疑數據后，由最小二乘法得到關于的線性回歸方程中的，求關于的回歸方程； （3）利用（2）得出的結果，計算當單位面積播種數為何值時，單位面積的總產量的預報值最大？（計算結果精確到） 附：對于一組數據，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，，． 1．【答案】（1）見解析； （2）從甲流水線上任取1件產品，該產品恰好是合格品的概率為， 從乙流水線上任取1件產品，該產品恰好是合格品的概率為； （3）見解析． 【解析】（1）甲流水線樣本的頻率分布直方圖如下： （2）由表1知甲流水線樣本中合格品數為， 故甲流水線樣本中合格品的頻率為， 由圖1知乙流水線樣本中合格品的頻率為， 據此可估計從甲流水線上任取1件產品，該產品恰好是合格品的概率為； 從乙流水線上任取1件產品，該產品恰好是合格品的概率為． （3）由（2）知甲流水線樣本中合格品數為30，乙流水線樣本中合格品數為． 列聯表如下： 甲流水線 乙流水線 合計 合格 30 36 66 不合格 10 4 14 合計 40 40 80 ∵， ∴有的把握認為產品的包裝質量與兩條自動包裝流水線的選擇有關． 2．【答案】（1）； （2）（i）利用模型①，預測值為億元，利用模型②，預測值為億元；（ii）見解析． 【解析】（1）從條形圖中可知，2011年到2015年這五年的投資額分別為122億、129億、148億、171億、184億，設2011年到2015年這五年的年份分別用，，，，表示， 則從中任意選取兩年的所有基本事件有： ，，，，，，，，，，共10種， 其中滿足兩年的投資額的平均數不少于140億元的所有基本事件有： ，，，，，，，共7種， ∴從2011年到2015年的五年中，任意選取兩年，則這兩年的投資額的平均數不少于140億元的概率為． （2）（i）利用模型①，該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為 (億元)． 利用模型②，該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為 (億元)． （ii）利用模型②得到的預測值更可靠． 理由如下：畫出2001年至2017年環(huán)境基礎設施投資額 (單位：億元)的散點圖 （i）從散點圖可以看出,2001年至2017年的數據對應的點沒有隨機散布在直線上下． 這說明利用2001年至2017年的數據建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢． 2011年相對2010年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加， 2011年至2017年的數據對應的點位于一條直線的附近， 這說明從2011年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢， 利用2011年至2017年的數據建立的線性模型可以較好地描述2011年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預測值更可靠． （ii）從計算結果看，相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元， 由模型①得到的預測值億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理． 說明利用模型②得到的預測值更可靠． 3．【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）可疑數據為第組． （2）剔除數據后，在剩余的組數據中， ， ∴， ∴關于的線性回歸方程為，則關于的回歸方程為． （3）根據（2）的結果并結合條件，單位面積的總產量的預報值， ， 當且僅當時，等號成立，此時， 即當時，單位面積的總產量的預報值最大，最大值是．