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大題精做9 圓錐曲線：存在性問題 [2019株洲一模]已知，分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上， 且軸，的周長為6． （1）求橢圓的標準方程； （2）過點的直線與橢圓交于，兩點，設為坐標原點，是否存在常數，使得恒成立？請說明理由． 【答案】（1）；（2）當時，． 【解析】（1）由題意，，，， ∵的周長為6，∴， ∴，，∴橢圓的標準方程為． （2）假設存在常數滿足條件． ①當過點的直線的斜率不存在時，，， ∴， ∴當時，； ②當過點的直線的斜率存在時，設直線的方程為，設，， 聯立，化簡得， ∴，． ∴ ， ∴，解得，即時，； 綜上所述，當時，． 1．[2019宜昌調研]已知橢圓的離心率為，短軸長為． （1）求橢圓的方程； （2）設過點的直線與橢圓交于、兩點，是橢圓的上焦點． 問：是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由． 2．[2019江西聯考]已知點為拋物線的焦點，拋物線上的點滿足(為坐標原點)，且． （1）求拋物線的方程； （2）若直線與拋物線交于不同的兩點，，是否存在實數及定點，對任意實數， 都有？若存在，求出的值及點的坐標；若不存在，請說明理由． 3．[2019廣州一模]已知動圓過定點，且與定直線相切． （1）求動圓圓心的軌跡的方程； （2）過點的任一條直線與軌跡交于不同的兩點，，試探究在軸上是否存在定點（異于點），使得？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由．  1．【答案】（1）；（2）存在直線或． 【解析】（1）∵，，且有，解得，， ∴橢圓的方程為． （2）由題可知的斜率一定存在，設為，設，， 聯立， ∴， ∵，∴為線段的中點，∴……④， 將④代入②解得……⑤ 將④代入③得……⑥ 將⑤代入⑥解得……⑦ 將⑦式代入①式檢驗成立， ∴，即存在直線或合題意． 2．【答案】（1）；（2）存在及點，對任意實數，都有． 【解析】（1）由得點橫坐標為， 由拋物線定義及得，，所以， 所以拋物線的方程為． （2）假設存在實數及定點，對任意實數，都有， 設，，， 聯立，得， 則，，， 由，得 ， 所以，，，當時不滿足題意，所以， 即存在及點，對任意實數，都有． 3．【答案】（1），（2）見解析． 【解析】（1）解法1：依題意動圓圓心到定點的距離與到定直線的距離相等， 由拋物線的定義，可得動圓圓心的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，其中． 動圓圓心的軌跡的方程為． 解法2：設動圓圓心，依題意：． 化簡得，即為動圓圓心的軌跡的方程． （2）假設存在點滿足題設條件． 由可知，直線與的斜率互為相反數，即① 直線的斜率必存在且不為0，設， 由，得．由，得或． 設，，則，． 由①式得， ，即． 消去，，得，， ，，存在點使得．