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1、2019人教版精品教學(xué)資料高中選修數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計案例 3.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 第2課時 殘差分析 A級　基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A，B兩變量的線性相關(guān)性做實驗，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表所示： 分類 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 則哪位同學(xué)的試驗結(jié)果體現(xiàn)A、B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性(　　) A．甲　　　　　　 B．乙 C．丙 D．丁 解析：r越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)，殘差平方和m越小

2、，相關(guān)性越強(qiáng)，所以選D正確． 答案：D 2．為了表示n個點與相應(yīng)直線在整體上的接近程度，我們常用的表示法為(　　) 解析：由回歸直線方程可知，為一個量的估計值，而yi為它的實際值，在最小二乘估計中（yi－a－bxi）2，即（yi－）2. 答案：C 3.甲、乙、丙、丁4位同學(xué)各自對A，B兩變量進(jìn)行回歸分析，分別得到散點圖與殘差平方和如下表所示： 分類 甲 乙 丙 丁 散點圖 殘差平方和 115 106 124 103 哪位同學(xué)的試驗結(jié)果體現(xiàn)擬合A，B兩變量關(guān)系的模型擬合精度高（　?。? A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析：根據(jù)線

3、性相關(guān)的知識，散點圖中各樣本點條狀分布越均勻，同時保持殘差平方和越?。▽τ谝呀?jīng)獲取的樣本數(shù)據(jù)，R2的表達(dá)式中為確定的數(shù)，則殘差平方和越小，R2越大)，由回歸分析建立的線性回歸模型的擬合效果越好，由試驗結(jié)果知丁要好些． 答案：D 4．通過殘差圖我們發(fā)現(xiàn)在采集樣本點過程中，樣本點數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確的是(　　) A．第四個 B．第五個 C．第六個 D．第八個 解析：由題圖可知，第六個的數(shù)據(jù)偏差最大，所以第六個數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確． 答案：C 5．如圖所示，5個(x，y)數(shù)據(jù)，去掉D(3，10)后，下列說法錯誤的是(　　) A．相關(guān)系數(shù)r變大 B．殘差平方和變大 C．相關(guān)指數(shù)R2變大

4、 D．解釋變量x與預(yù)報變量y的相關(guān)性變強(qiáng) 解析：由散點圖知，去掉D后，x與y的相關(guān)性變強(qiáng)，且為正相關(guān)，所以r變大，R2變大，殘差平方和變?。? 答案：B 二、填空題 6．若一組觀測值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之間滿足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1，2，…， n)，且ei恒為0，則R2為________． 解析：由ei恒為0，知yi＝i，即yi－i＝0， 答案：1 7．x，y滿足如下表的關(guān)系： x 0.2 0.6 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 y 0.04 0.36 1 1.4 1.9 2.5

5、 3.2 3.98 4.82 則x，y之間符合的函數(shù)模型為________． 解析：通過數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)y的值與x的平方值比較接近，所以x，y之間的函數(shù)模型為y＝x2. 答案：y＝x2 8．關(guān)于x與y，有如下數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 有如下的兩個模型：(1)＝6.5x＋17.5；(2)＝7x＋17.通過殘差分析發(fā)現(xiàn)第(1)個線性回歸模型比第(2)個擬合效果好．則R________R，Q1________Q2(用大于，小于號填空，R，Q分別是相關(guān)指數(shù)和殘差平方和)． 解析：根據(jù)相關(guān)指數(shù)和殘差平方和的意義知R＞R，Q1＜Q2.

6、 答案：＞?。? 三、解答題 9．在實驗中得到變量y與x的數(shù)據(jù)如下表所示： x 0.066 7 0.038 8 0.033 3 0.027 3 0.022 5 y 39.4 42.9 41.0 43.1 49.2 由經(jīng)驗知，y與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，試求y與x之間的回歸曲線方程，并預(yù)測x0＝0.038時，y0的值． 解：令u＝，由題目所給數(shù)據(jù)可得下表所示的數(shù)據(jù)： 序號 ui yi u uiyi 1 15.0 39.4 225 591 2 25.8 42.9 665.64 1 106.82 3 30.0 41.0 900

7、 1 230 4 36.6 43.1 1 339.56 1 577.46 5 44.4 49.2 1 971.36 2 184.48 合計 151.8 215.6 5 101.56 6 689.76 計算得＝0.29，＝34.32. 所以＝34.32＋0.29u. 所以試求回歸曲線方程為＝34.32＋. 當(dāng)x0＝0.038時，y0＝34.32＋ ≈41.95. 10．關(guān)于x與y有以下數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 已知x與y線性相關(guān)，由最小二乘法得＝6.5. (1)求y與x的線性回歸方程；

8、 (2)現(xiàn)有第二個線性模型：＝7x＋17，且R2＝0.82.若與(1)的線性模型比較，哪一個線性模型擬合效果比較好，請說明理由． 解：(1)依題意設(shè)y與x的線性回歸方程為＝6.5x＋. ＝＝5，＝＝50，因為＝6.5x＋經(jīng)過(，)，所以y與x的線性回歸方程為＝6.5x＋17.5 .所以50＝6.55＋.所以＝17.5. (2)由(1)的線性模型得yi－yi與yi－的關(guān)系如下表所示： yi－yi －0.5 －3.5 10 －6.5 0.5 yi－ －20 －10 10 0 20 由于R＝0.845，R2＝0.82知R＞R2，所以(1)的線性模型擬合效果比

9、較好． B級　能力提升 1．在研究身高和體重的關(guān)系時，得到的結(jié)論是“身高解釋了64%的體重變化，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的36%，所以身高對體重的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多”，則求得的相關(guān)指數(shù)R2≈(　　) A．0.36 B．0.64 C．0.32 D．0.18 解析：根據(jù)相關(guān)指數(shù)的意義知R2≈0.64. 答案：B 2．若某函數(shù)型相對一組數(shù)據(jù)的殘差平方和為89，其相關(guān)指數(shù)為0.95，則總偏差平方和為________，回歸平方和為________． 解析：因為R2＝1－， 0．95＝1－，所以總偏差平方和為1 780；回歸平方和＝總偏差平方和－殘差平方和＝1 780－89＝

10、1 691. 答案：1 780　1 691 3．某運動員訓(xùn)練次數(shù)與成績之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如下： 次數(shù)x 30 33 35 37 39 44 46 50 成績y 30 34 37 39 42 46 48 51 (1)作出散點圖； (2)求出回歸方程； (3)作出殘差圖； (4)計算相關(guān)指數(shù)R2； (5)試預(yù)測該運動員訓(xùn)練47次及55次的成績． 解：(1)作出該運動員訓(xùn)練次數(shù)(x)與成績(y)之間的散點圖，如圖所示，由散點圖可知，它們之間具有線性相關(guān)關(guān)系． (2)＝39.25，＝40.875, ＝13 180， ＝－＝－0.003 88. 所以回歸方程為＝1.0415x－0.003 88. (3)作殘差圖如圖所示，由圖可知，殘差點比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適． (4)計算得相關(guān)指數(shù)R2＝0.985 5，說明了該運動員的成績的差異有98.55%是由訓(xùn)練次數(shù)引起的． (5)由上述分析可知，我們可用回歸方程＝1.041 5x－0.003 88作為該運動員成績的預(yù)報值． 將x＝47和x＝55分別代入該方程可得y≈49和y≈57. 故預(yù)測該運動員訓(xùn)練47次和55次的成績分別為49和57.