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1、2019人教版精品教學(xué)資料·高中選修數(shù)學(xué) 高中數(shù)學(xué) 2.3.1離散型隨機變量的均值課時作業(yè) 新人教A版選修2-3 一、選擇題 1．已知隨機變量ξ的概率分布如下表所示： ξ 0 1 2 P 且η＝2ξ＋3，則E(η)等于(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 解析：E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝， E(η)＝E(2ξ＋3)＝2E(ξ)＋3＝2×＋3＝. 答案：C 2．隨機變量ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P 0.2 0.5 m 則ξ的數(shù)學(xué)期望是(　　) A．2 B．2

2、.1 C．2.3 D．隨m的變化而變化 解析：∵0.2＋0.5＋m＝1，∴m＝0.3，∴E(ξ)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1. 答案：B 3．某班有的學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，如果從班中隨機地找出5名學(xué)生，那么其中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)ξ～B，則E(－ξ)的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：∵E(ξ)＝5×＝， ∴E(－ξ)＝－E(ξ)＝－，故選D. 答案：D 4．有10張卡片，其中8張標有數(shù)字2,2張標有數(shù)字5，從中任意抽出3張卡片，設(shè)3張卡片上的數(shù)字之和為X，則X的數(shù)學(xué)期望是(　　) A．7.8 B．8

3、 C．16 D．15.6 解析：X的取值為6,9,12，P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝. E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8. 答案：A 5．設(shè)隨機變量ξ的分布列如下表： ξ 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 且E(ξ)＝1.6，則a－b等于(　　) A．0.2 B．0.1 C．－0.2 D．－0.4 解析：根據(jù)題意， 解得所以a－b＝－0.2. 答案：C 6．甲、乙兩臺自動車床生產(chǎn)同種標準件，ξ表示甲車床生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，η表示乙車床生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品中的次品數(shù)

4、，經(jīng)一段時間考察，ξ、η的分布列分別是： ξ 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1 η 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 據(jù)此判定(　　) A．甲比乙質(zhì)量好 B．乙比甲質(zhì)量好 C．甲與乙質(zhì)量相同 D．無法判定 解析：E(ξ)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6， E(η)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7. ∵E(η)>E(ξ)， 故甲比乙質(zhì)量好． 答案：A 二、填空題 7．一射手

5、對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，命中后的剩余子彈數(shù)目X的期望為________． 解析：X的可能取值為3,2,1,0， P(X＝3)＝0.6； P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24； P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096； P(X＝0)＝0.43＝0.064. 所以E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064 ＝2.376. 答案：2.376 8．袋中裝有6個紅球，4個白球，從中任取1個球，記下顏色后再放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)X是取得紅球的次數(shù)，則E(X

6、)＝________. 解析：每一次摸得紅球的概率為＝， 由X～B，則E(X)＝4×＝. 答案： 9．節(jié)日期間，某種鮮花的進價是每束2.5元，售價是每束5元，節(jié)后對沒有賣出的鮮花以每束1.6元處理．根據(jù)前5年節(jié)日期間對這種鮮花需求量ξ(束)的統(tǒng)計(如下表)，若進這種鮮花500束在今年節(jié)日期間銷售，則利潤的均值是________元. ξ 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 解析：節(jié)日期間這種鮮花需求量的均值為E(ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×

7、;0.15＝340(束)． 設(shè)利潤為η，則η＝5ξ＋1.6×(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450， 所以E(η)＝3.4E(ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元)． 答案：706 三、解答題 10．盒中共有9個球，其中有4個紅球、3個黃球和2個綠球，這些球除顏色外完全相同． (1)從盒中一次隨機取出2個球，求取出的2個球顏色相同的概率P； (2)從盒中一次隨機取出4個球，其中紅球、黃球、綠球的個數(shù)分別記為x1，x2，x3，隨機變量X表示x1，x2，x3中的最大數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X)． 解：(1)取到的2個顏色相

8、同的球可能是2個紅球、2個黃球或2個綠球， 所以P＝＝＝. (2)隨機變量X所有可能的取值為2,3,4. {X＝4}表示的隨機事件是“取到的4個球是4個紅球”，故P(X＝4)＝＝； {X＝3}表示的隨機事件是“取到的4個球是3個紅球和1個其他顏色的球，或3個黃球和1個其他顏色的球”，故P(X＝3)＝＝＝； 于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4) ＝1－－＝. 所以隨機變量X的概率分布如下表： X 2 3 4 P 因此隨機變量X的數(shù)學(xué)期望 E(X)＝2×＋3×＋4×＝. 11．如圖所示是某城市通過抽樣得到的居民某年

9、的月均用水量(單位：噸)的頻率分布直方圖． (1)求直方圖中x的值； (2)若將頻率視為概率，從這個城市隨機抽取3位居民(看作有放回的抽樣)，求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解：(1)依題意及頻率分布直方圖知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12. (2)由題意知，X～B(3,0.1)． 因此P(X＝0)＝C×0.93＝0.729，P(X＝1)＝C×0.1×0.92＝0.243；P(X＝2)＝C×0.12×0.9＝0.027； P(X＝3)＝C×0.13＝0.001.

10、故隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 故X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝3×0.1＝0.3. 12．計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年．將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立． (1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率； (2)水電站希望安裝的發(fā)

11、電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系： 年入流量X 40<X<80 80≤X≤120 X>120 發(fā)電機最多可運行臺數(shù) 1 2 3 若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5 000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元．欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺？ 解：(1)依題意，p1＝P(40<x<80)＝＝0.2， p2＝P(80≤x≤120)＝＝0.7， P3＝P(X>120)＝＝0.1. 由二項分布，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為 p＝C(1－p3)4

12、＋C(1－p3)3p3 ＝4＋4×3×＝0.947 7. (2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元)． ①安裝1臺發(fā)電機的情形． 由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1，對應(yīng)的年利潤Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000. ②安裝2臺發(fā)電機的情形． 依題意，當(dāng)40<X<80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 000－800＝4 200，因此P(Y＝4 200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；當(dāng)X≥80時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(

13、X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下 Y 4 200 10 000 P 0.2 0.8 所以，E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840. ③安裝3臺發(fā)電機的情形． 依題意，當(dāng)40<X<80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 000－1 600＝3 400，因此P(Y＝3 400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；當(dāng)80≤X≤120時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 000×2－800＝9 200，因此P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；當(dāng)X>120時，三臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.因此得Y的分布列如下 Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620. 綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機2臺．