《高考數(shù)學一輪復習 第十四章 系列4選講 14.4 課時2 不等式的證明課件 理.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學一輪復習 第十四章 系列4選講 14.4 課時2 不等式的證明課件 理.ppt（45頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

14 4不等式選講 課時1不等式的證明 內(nèi)容索引 基礎知識自主學習 題型分類深度剖析 思想方法感悟提高 練出高分 基礎知識自主學習 1 不等式證明的方法 1 比較法 作差比較法 知道a b a b 0 ab只要證明即可 這種方法稱為作差比較法 作商比較法 由a b 0 1且a 0 b 0 因此當a 0 b 0時 要證明a b 只要證明即可 這種方法稱為作商比較法 a b 0 知識梳理 1 答案 2 綜合法 從已知條件出發(fā) 利用不等式的有關性質(zhì)或定理 經(jīng)過推理論證 最終推導出所要證明的不等式成立 這種證明方法叫綜合法 即 的方法 3 分析法 從待證不等式出發(fā) 逐步尋求使它成立的充分條件 直到將待證不等式歸結為一個已成立的不等式 已知條件 定理等 從而得出要證的不等式成立 這種證明方法叫分析法 即 的方法 由因?qū)Ч?執(zhí)果索因 答案 4 反證法和放縮法 先假設要證的命題不成立 以此為出發(fā)點 結合已知條件 應用公理 定義 定理 性質(zhì)等 進行正確的推理 得到和命題的條件 或已證明的定理 性質(zhì) 明顯成立的事實等 矛盾的結論 以說明假設不正確 從而證明原命題成立 這種方法叫做反證法 在證明不等式時 有時要把所證不等式的一邊適當?shù)胤糯蠡蚩s小 此利于化簡并使它與不等式的另一邊的關系更為明顯 從而得出原不等式成立 這種方法稱為放縮法 5 數(shù)學歸納法 一般地 當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時 可以用以下兩個步驟 證明當n n0時命題成立 假設當n k k N 且k n0 時命題成立 證明n k 1時命題也成立 在完成了這兩個步驟后 就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立 這種證明方法稱為數(shù)學歸納法 2 幾個常用基本不等式 1 柯西不等式 柯西不等式的代數(shù)形式 設a b c d均為實數(shù) 則 a2 b2 c2 d2 當且僅當ad bc時 等號成立 柯西不等式的向量形式 設 為平面上的兩個向量 則 等號當且僅當 共線時成立 ac bd 2 答案 2 算術 幾何平均不等式 答案 解根據(jù)柯西不等式 ma nb 2 a2 b2 m2 n2 考點自測 2 解析答案 1 2 3 12 12 12 a b c 3 解析答案 1 2 3 解 x 0 y 0 1 2 3 解析答案 返回 題型分類深度剖析 證明因為x 0 y 0 x y 0 題型一用綜合法與分析法證明不等式 解析答案 只需證明 a b c 2 3 即證 a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 而ab bc ca 1 故需證明 a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 ab bc ca 即證 a2 b2 c2 ab bc ca 所以原不等式成立 解析答案 思維升華 用綜合法證明不等式是 由因?qū)Ч?用分析法證明不等式是 執(zhí)果索因 它們是兩種思路截然相反的證明方法 綜合法往往是分析法的逆過程 表述簡單 條理清楚 所以在實際應用時 往往用分析法找思路 用綜合法寫步驟 由此可見 分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化 互相滲透 互為前提 充分利用這一辯證關系 可以增加解題思路 開闊視野 思維升華 設a b c均為正數(shù) 且a b c 1 證明 證明由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac得a2 b2 c2 ab bc ca 由題設得 a b c 2 1 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 所以3 ab bc ca 1 解析答案 跟蹤訓練1 解析答案 證明當 a b 0時 不等式顯然成立 當 a b 0時 題型二放縮法證明不等式 解析答案 思維升華 1 在不等式的證明中 放 和 縮 是常用的推證技巧 常見的放縮變換有 利用函數(shù)的單調(diào)性 2 在用放縮法證明不等式時 放 和 縮 均需把握一個度 思維升華 證明由2n n k n k 1 2 n 跟蹤訓練2 原不等式成立 解析答案 例3已知x y z均為實數(shù) 12 12 12 3x 1 3y 2 3z 3 27 題型三柯西不等式的應用 解析答案 2 若x 2y 3z 6 求x2 y2 z2的最小值 解析答案 思維升華 1 使用柯西不等式證明的關鍵是恰當變形 化為符合它的結構形式 當一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時 就可使用柯西不等式進行證明 思維升華 跟蹤訓練3 解析答案 返回 證明由柯西不等式及題意得 返回 思想方法感悟提高 證明不等式的方法和技巧 1 如果已知條件與待證明的結論直接聯(lián)系不明顯 可考慮用分析法 如果待證的命題以 至少 至多 等方式給出或否定性命題 唯一性命題 則考慮用反證法 如果待證不等式與自然數(shù)有關 則考慮用數(shù)學歸納法等 2 在必要的情況下 可能還需要使用換元法 構造法等技巧簡化對問題的表述和證明 尤其是對含絕對值不等式的解法或證明 其簡化的基本思路是去絕對值號 轉(zhuǎn)化為常見的不等式 組 求解 多以絕對值的幾何意義或 找零點 分區(qū)間 逐個解 并起來 為簡化策略 而絕對值三角不等式 往往作為不等式放縮的依據(jù) 3 在使用基本不等式時 等號成立的條件是一直要注意的事情 特別是連續(xù)使用時 要求分析每次使用時等號是否成立 4 柯西不等式使用的關鍵是出現(xiàn)其結構形式 也要注意等號成立的條件 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 已知x y 1 求2x2 3y2的最小值 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 解由柯西不等式可得 x2 y2 z2 12 22 32 x 2y 3z 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 又a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 6 已知a b c R 且2a 2b c 8 求 a 1 2 b 2 2 c 3 2的最小值 解由柯西不等式得 4 4 1 a 1 2 b 2 2 c 3 2 2 a 1 2 b 2 c 3 2 9 a 1 2 b 2 2 c 3 2 2a 2b c 1 2 2a 2b c 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 證明 1 a b 2 2 a2 a 2與b2 b 2不可能同時成立 2 假設a2 a 2與b2 b 2同時成立 則由a2 a 2及a 0得0 a 1 同理 0 b 1 從而ab 1 這與ab 1矛盾 故a2 a 2與b2 b 2不可能同時成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 1 關于x的不等式 x 3 x 4 a的解集不是空集 求a的取值范圍 解 x 3 x 4 x 3 x 4 1 且 x 3 x 4 1 即a的取值范圍是 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 解由柯西不等式 得 即25 1 x y z 2 5 x y z 5 x y z 5 x y z的取值范圍是 5 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 10 已知a b 0 a b 1 x1 x2 0 解因為a b 0 a b 1 x1 x2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 2 求證 ax1 bx2 ax2 bx1 x1x2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 返回 證明方法一由a b 0 a b 1 x1 x2 0 及柯西不等式可得 所以 ax1 bx2 ax2 bx1 x1x2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 方法二因為a b 0 a b 1 x1 x2 0 所以 ax1 bx2 ax2 bx1 x1x2 a2 b2 ab 2x1x2 x1x2 a2 b2 2ab x1x2 a b 2 x1x2 當且僅當x1 x2時 取得等號 所以 ax1 bx2 ax2 bx1 x1x2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回