《高中數(shù)學(xué)講義微專題59新信息背景下的數(shù)列問(wèn)題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)講義微專題59新信息背景下的數(shù)列問(wèn)題（35頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 微專題59 新信息背景下的數(shù)列問(wèn)題 含“新信息”背景的數(shù)列問(wèn)題，以其難度通常位于試卷的最后一題。此類問(wèn)題有以下幾個(gè)難點(diǎn)：一是對(duì)于新的概念與規(guī)則，學(xué)生在處理時(shí)會(huì)有一個(gè)熟悉的過(guò)程，不易抓住信息的關(guān)鍵部分并用于解題之中，二是學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)每一問(wèn)所指向的知識(shí)點(diǎn)，傳統(tǒng)題目通常在問(wèn)法上就直接表明該用哪些知識(shí)進(jìn)行處理，例如“求通項(xiàng)，求和”。但新信息問(wèn)題所問(wèn)的因?yàn)榕c新信息相關(guān)，所以要運(yùn)用的知識(shí)隱藏的較深，不易讓學(xué)生找到解題的方向。三是此類問(wèn)題在設(shè)計(jì)時(shí)通常注重幾問(wèn)之間的聯(lián)系，即前面問(wèn)題的處理是為了最后一問(wèn)做好鋪墊。但學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)其中聯(lián)系，從而導(dǎo)致在處理最后一問(wèn)時(shí)還要重整旗鼓，再加上可能要進(jìn)行的分類討

2、論，解題難度陡然增加。本節(jié)通過(guò)10道例題來(lái)說(shuō)明如何對(duì)這種“新信息”題目進(jìn)行理解與分析，如何尋找到解題的突破口與思路 一、基礎(chǔ)知識(shí)： 1、此類問(wèn)題常涉及的知識(shí)點(diǎn) （1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)與求和公式 （2）數(shù)列的單調(diào)性 （3）放縮法證明不等式 （4）簡(jiǎn)單的有關(guān)整數(shù)的結(jié)論 （5）數(shù)學(xué)歸納法與反證法 2、解決此類問(wèn)題的一些技巧： （1）此類問(wèn)題在設(shè)立問(wèn)題中通常具有“環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)”的特點(diǎn)，第（1）問(wèn)讓你熟悉所創(chuàng)設(shè)的定義與背景，第（2），（3）問(wèn)便進(jìn)行進(jìn)一步的應(yīng)用，那么在解題的過(guò)程中要注意解決前面一問(wèn)中的過(guò)程與結(jié)論，因?yàn)檫@本身就是對(duì)“新信息”的詮釋與應(yīng)用。抓住“新信息”的特點(diǎn)

3、，找到突破口，第（2）（3）問(wèn)便可尋找到處理的思路 （2）盡管此類題目與傳統(tǒng)的數(shù)列“求通項(xiàng)，求和”的風(fēng)格不同，但其根基也是我們所學(xué)的一些基礎(chǔ)知識(shí)與方法。所以在考慮問(wèn)題時(shí)也要向一些基本知識(shí)點(diǎn)靠攏，弄清本問(wèn)所考察的與哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)有關(guān)，以便找到一些線索。 （3）在分類討論時(shí)要遵循“先易后難”的原則，以相對(duì)簡(jiǎn)單的情況入手，可能在解決的過(guò)程中會(huì)發(fā)現(xiàn)復(fù)雜情況與該情況的聯(lián)系，或者發(fā)現(xiàn)一些通用的做法與思路，使得復(fù)雜情況也有章可循。 二、典型例題： 例1：定義：若對(duì)任意，數(shù)列的前項(xiàng)和都為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列為“完全平方數(shù)列”；特別的，若存在，使得數(shù)列的前項(xiàng)和為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列為“部分平方數(shù)列”

4、（1）若數(shù)列為“部分平方數(shù)列”，且，求使數(shù)列的前項(xiàng)和為完全平方數(shù)時(shí)的值 （2）若數(shù)列的前項(xiàng)和，那么數(shù)列是否為“完全平方數(shù)列”？若是，求出的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由 （3）試求所有為“完全平方數(shù)列”的等差數(shù)列 解：（1）思路：依題意可知先求出的表達(dá)式，再根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)尋找到完全平方式即可 時(shí)， 時(shí)， 時(shí)，是完全平方數(shù) （2）思路：若要觀察的前項(xiàng)和是否為完全平方數(shù)，則要先求出的通項(xiàng)公式。由可求得，因?yàn)闉橥耆椒绞?，所以若有些?xiàng)為中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的相反數(shù)，則再求和時(shí)很有可能不是完全平方數(shù)。根據(jù)時(shí)，，可知只有時(shí)，恒大于0，即，所以是“完全平方數(shù)列”；時(shí)，中存在部分項(xiàng)小于0，可知不是“完全平方數(shù)

5、列” 解：時(shí)， 時(shí)， 當(dāng)，時(shí)， 的前項(xiàng)和即為，所以為“完全平方數(shù)列” 當(dāng)時(shí)，不是完全平方數(shù) 不是“完全平方數(shù)列” 綜上所述：時(shí)，是“完全平方數(shù)列”，時(shí)，不是“完全平方數(shù)列” （3）思路：依題意可知該等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式應(yīng)為完全平方式，由等差數(shù)列求和公式 出發(fā)，可將其通過(guò)配方向完全平方式進(jìn)行靠攏，可得：，所以有，再根據(jù)利用整數(shù)的特性求解即可。 解：設(shè)所求等差數(shù)列 的首項(xiàng)為，公差為 若為“完全平方數(shù)列” 則，為完全平方式 由①可令 由②令，可得： 代入到③可得： 或 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，

6、 當(dāng)時(shí)，符合上式 綜上所述， 例2：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，設(shè)，． （1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列； （2）若，，求實(shí)數(shù)的最小值； （3）當(dāng)時(shí)，給出一個(gè)新數(shù)列，其中設(shè)這個(gè)新數(shù)列的前項(xiàng)和為，若可以寫成 (且)的形式，則稱為“指數(shù)型和”．問(wèn)中的項(xiàng)是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． （1）思路：證明為等比數(shù)列，可以利用條件中的作為中間橋梁尋找的關(guān)系，則有，只需找到的關(guān)系，由及可得：，進(jìn)而代入解出 解： 為公比是的等比數(shù)列 （2）思路：由（1）可解出，進(jìn)而可求出，由可在的情況下得到關(guān)于的恒成立不等式

7、，從而通過(guò)參變分離可求出的范圍：，再驗(yàn)證是否成立即可 解：由（1）可得： 時(shí)， 時(shí)， 即 當(dāng)時(shí)，成立 （3）思路：時(shí)，可代入求出，從而，利用“指數(shù)型和”的定義，可先求出前項(xiàng)和，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可否寫成的形式，本題不便將變形為的形式，所以考慮利用等式轉(zhuǎn)化為方程是否有解的問(wèn)題。即判斷是否有解。，為偶數(shù)時(shí)， 為奇數(shù)時(shí)，。而只是個(gè)2相乘，所以可通過(guò)對(duì)分解后的每個(gè)因式能否表示為的形式進(jìn)行討論即可。 解：由（1）可得：當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 時(shí)， 假設(shè)中的項(xiàng)存在“指數(shù)型和”，則 使得： 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)： 設(shè)，則 可解

8、得： ，即，為“指數(shù)型和” 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， 若為偶數(shù)，則為奇數(shù)，為奇數(shù) 為奇數(shù)， 若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，為個(gè)奇數(shù)之和也為奇數(shù) 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，不存在“指數(shù)型和” 綜上所述：只有為“指數(shù)型和” 例3：如果存在常數(shù)使得數(shù)列滿足：若是數(shù)列中的一項(xiàng)，則也是數(shù)列中的一項(xiàng)，那么就稱數(shù)列為“兌換數(shù)列”，常數(shù)是它的“兌換系數(shù)” （1）若數(shù)列：是“兌換系數(shù)”為的“兌換數(shù)列”，求和的值 （2）若有窮遞增數(shù)列是“兌換系數(shù)”為的“兌換數(shù)列”，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和 （3）已知有窮等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是，所有項(xiàng)之和是，試判斷數(shù)列是否為“兌換數(shù)列”？如果是，給予證明，并用和表示它的“兌換系數(shù)”；如果不是，

9、請(qǐng)說(shuō)明理由 （1）思路：依照“兌換數(shù)列”的定義可知，應(yīng)均在數(shù)列中，在第（1）問(wèn)中涉及兩個(gè)變量，故考慮尋找兩個(gè)等量，通過(guò)方程解決。其最重要的等量關(guān)系就是找到是數(shù)列中的哪一項(xiàng)。通過(guò)排序可知，則通過(guò)不等式性質(zhì)可知：，此數(shù)列一共就4項(xiàng)且單調(diào)遞增，所以得，從而解得 解：由已知可得：在“兌換數(shù)列”中，且 也在該數(shù)列中，且 （2）思路：第（1）問(wèn)提供了這樣一個(gè)思路：如果數(shù)列是有限數(shù)列且單調(diào)，則由對(duì)應(yīng)生成的數(shù)列也單調(diào)，且單調(diào)性相反。由“兌換數(shù)列”的定義即可知兩個(gè)數(shù)列中項(xiàng)應(yīng)存在相等關(guān)系。所以利用這個(gè)特征可知在中，由且能夠得到，即，根據(jù)首尾和是個(gè)常數(shù)的特點(diǎn)可知求和時(shí)使用倒序相加法即可得到 解

10、：不妨設(shè)有窮數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 為遞增數(shù)列 即 （3）思路：由（2）可得：若有窮單調(diào)數(shù)列 為“兌換數(shù)列”，則要滿足。那么在等差數(shù)列 中，有性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)，所以就可得到：，且等差數(shù)列若不是常數(shù)列，則為單調(diào)數(shù)列。由這兩點(diǎn)并結(jié)合（2）的思路則可證明等差數(shù)列均為“兌換數(shù)列”，，再通過(guò)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可解出 數(shù)列是“兌換數(shù)列”，證明如下： 設(shè)的公差為 若，則遞增 設(shè)，由可得： 同理，若，則遞減 若，則為常數(shù)列，只需即可，則 為“兌換數(shù)列” 由（2）可知： 例4：設(shè)數(shù)列滿足：①；②

11、所有項(xiàng)；③．[來(lái) 設(shè)集合，將集合中的元素的最大值記為，即是數(shù)列中滿足不等式的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值．我們稱數(shù)列為數(shù)的伴隨數(shù)列．例如，數(shù)列1，3，5的伴隨數(shù)列為1，1，2，2，3． （1）若數(shù)列的伴隨數(shù)列為1，1，1，2，2，2，3，請(qǐng)寫出數(shù)列； （2）設(shè)，求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前30項(xiàng)之和； （3）若數(shù)列的前項(xiàng)和（其中常數(shù)），求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前項(xiàng)和 （1）思路：首先要根據(jù)例子及定義理解什么是“伴隨數(shù)列”，“是數(shù)列中滿足不等式的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值”，則意味著每取一個(gè)值，則可通過(guò)解不等式得到的最大值即為，那么按此規(guī)律可知在（1）中，，，說(shuō)明在中，小于等于3的只有1項(xiàng)，即，，則，所以，同理，

12、則 解： （2）思路：由（1）可知：伴隨數(shù)列中的項(xiàng)即為解不等式得到的最大值，本題已知，則可建立不等式，則對(duì)取每一個(gè)值，計(jì)算的最大值即可。例如，則；，則；以此類推便可尋找到規(guī)律，即時(shí)，，即，抓住這個(gè)規(guī)律即可得到的前30項(xiàng)，進(jìn)而求和 若考慮解關(guān)于的不等式 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 的前30項(xiàng)和為 （3）思路：已知即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合（2）對(duì)“伴隨數(shù)列”定義的使用，即可建立不等式，從而可得到：，根據(jù)項(xiàng)的的特點(diǎn)可考慮以相鄰兩項(xiàng)為一組進(jìn)行求和，則需對(duì)項(xiàng)數(shù)進(jìn)行奇偶分類討論，進(jìn)而得到 ，則 解關(guān)于的不等式

13、 時(shí)，即 當(dāng)時(shí)，即 綜上所述： 例5：對(duì)于數(shù)列，若滿足，則稱數(shù)列為“數(shù)列”，定義變換：將“數(shù)列”中原有的每個(gè)1都變成，原有的每個(gè)0都變成.例如：，則，設(shè)是“數(shù)列”，令 （1）若數(shù)列，求數(shù)列 （2）若數(shù)列共有10項(xiàng)，則數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)相等的數(shù)對(duì)至少有多少對(duì)？請(qǐng)說(shuō)明理由 （3）若，記數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)都是的數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)為，求關(guān)于的表達(dá)式 （1）思路：依題意可知變換的特點(diǎn)為1項(xiàng)分裂為2項(xiàng)，所以可將中的項(xiàng)兩兩一組，再根據(jù)規(guī)則即可還原為，照此方法即可得到 解：由變換的規(guī)則可知： （2）思路：首先可先觀察兩次變換的特點(diǎn)，可知，，發(fā)現(xiàn)無(wú)論是

14、從1開始還是從0開始，兩次變換后均可得到一對(duì)相鄰的數(shù)，且首尾也相同，這意味著若中若含相鄰的數(shù)，則兩次變換后這兩個(gè)數(shù)生成的數(shù)首尾也將連接成相鄰的數(shù)對(duì)，例如：。進(jìn)而可知：共有10項(xiàng)，那么兩次變換后至少會(huì)有對(duì)，（例如當(dāng)時(shí)） 若作兩次變換：， 中的每一項(xiàng)通過(guò)兩次變換均生成一對(duì)兩項(xiàng)相等的數(shù)對(duì)，所以至少有10對(duì) （3）思路：依題意可將視為一個(gè)數(shù)列，則所求即為該數(shù)列的通項(xiàng)公式。由數(shù)列的知識(shí)可知，求通項(xiàng)公式常用的手段有三種：利用數(shù)列中的項(xiàng)尋找規(guī)律并證明；通過(guò)遞推公式；通過(guò)求和公式。所以若不愿列出具體項(xiàng)尋找規(guī)律，則需要先找到關(guān)于的一個(gè)遞推公式，即尋找第次變換與前幾次變換數(shù)對(duì)的聯(lián)系。由（2）可知，若產(chǎn)生數(shù)對(duì)

15、，則上一步只能為，所以數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)與上一步數(shù)對(duì)（記為）的個(gè)數(shù)相同。即，再考慮數(shù)對(duì)的來(lái)源，共有兩個(gè)，一個(gè)是由上一步的得到，一個(gè)是由上一步的得到 由變換的規(guī)則及（2）可知：中數(shù)對(duì)只能由中的數(shù)對(duì)生成，中的1共有個(gè)（因?yàn)槊恳淮巫儞Q生成相同個(gè)數(shù)的，所以中含個(gè)1，個(gè)0），所以，聯(lián)立兩個(gè)等式可得：，消去即可得到關(guān)于的遞推公式，然后再求得的通項(xiàng)公式即可 解：設(shè)中有個(gè)數(shù)對(duì) ① 另一方面：，且 中和的總個(gè)數(shù)相等 中項(xiàng)有個(gè) 中有個(gè)，有個(gè) 而中的數(shù)對(duì)從處只有兩條途徑能夠得到：一個(gè)是由中的得到（個(gè)），一個(gè)是由中的得到（個(gè)） ② 由①②可得： 由，可得： 當(dāng)

16、為偶數(shù)時(shí) 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)： 綜上所述： 例6：已知數(shù)列是正整數(shù)的一個(gè)全排列，若對(duì)每個(gè)都有或，則稱為數(shù)列 （1）寫出滿足的所有數(shù)列 （2）寫出一個(gè)滿足的數(shù)列的通項(xiàng)公式 （3）在數(shù)列中，記，若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，求證：或 解：（1）或 （2）思路：中的項(xiàng)為的一個(gè)全排列，所以在構(gòu)造最好符合一定的規(guī)律，以便于寫出通項(xiàng)公式，由（1）的啟發(fā)可知的前5個(gè)數(shù)可為第（1）問(wèn)中的一種情況，因?yàn)榛颍粗魂P(guān)心相鄰兩項(xiàng)的差，故可為的一個(gè)排列，且，這樣就保證了在第2組中，相鄰項(xiàng)的差均符合條件，只需驗(yàn)證即可：以為例，則，可知符合題意。按此

17、規(guī)律構(gòu)造，5個(gè)數(shù)為一組，第組的數(shù)為第組對(duì)應(yīng)的數(shù)加上5，從而得到 解：由（1）可知，記為的第一組數(shù) 考慮構(gòu)造數(shù)列滿足，則對(duì)任意的， 或 且當(dāng)時(shí)， 符合要求 綜上所述： （3）思路：若的公差為，則，因?yàn)橹邢噜忢?xiàng)的差為，所以必然由若干個(gè)組成，但不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)且不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)（否則數(shù)列會(huì)出相同項(xiàng)，不符題意） 即可以寫成的形式，且，由此可解得，然后根據(jù)的取值分別進(jìn)行驗(yàn)證，看中的項(xiàng)是否在中（主要抓住），即可判斷出的值只能是 解：為等差數(shù)列 且由或，可得：或 且 ① 若，則 ，不符題意 ② 若，則 ，不符題意 ③ 若，則 當(dāng)時(shí)，，不符題意 當(dāng)時(shí)，

18、或，所以可以找到這樣的使之成立（例如第（2）問(wèn)中的結(jié)論） ④ 若，則，可得不符題意 ⑤ 若，則 當(dāng)時(shí)，，不符題意 當(dāng)時(shí)，同③可以找到這樣的使之成立（例如第（2）問(wèn)中的結(jié)論） ⑥ 若，則 ，不符題意 綜上所述，若為等差數(shù)列，則或 例7：若有窮數(shù)列滿足：（1）；（2），則稱該數(shù)列為“階非凡數(shù)列” （1）分別寫出一個(gè)單調(diào)遞增的“3階非凡數(shù)列”和一個(gè)單調(diào)遞減的“4階非凡數(shù)列” （2）設(shè)，若“階非凡數(shù)列”是等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式 （3）記“階非凡數(shù)列”的前項(xiàng)的和為，求證： ① ② 解：（1）3階非凡數(shù)列： 4階非凡數(shù)列： （2）思路：首先明確其通項(xiàng)公式

19、應(yīng)該是關(guān)于和序數(shù)的表達(dá)式，要求得通項(xiàng)公式，關(guān)鍵要確定，因?yàn)榉浅?shù)列的等差數(shù)列為單調(diào)數(shù)列，所以由一方面利用等差數(shù)列性質(zhì)可得到，另一方面也可知該數(shù)列以為分界線，左右兩側(cè)分為正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)（與的符號(hào)有關(guān)），可分進(jìn)行討論。當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，從而可知為負(fù)項(xiàng)，為正項(xiàng)。再由可得，從而用可表示出，另一方面，進(jìn)而均可用表示，所以可求得其通項(xiàng)公式。按同樣的方法可求出時(shí)的通項(xiàng)公式 解：設(shè)等差數(shù)列的公差為 即 當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列 ，且； 且 當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，同理可得： ， 即 （3）①證明：當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ②

20、 思路一：本題的難點(diǎn)在于不知中各項(xiàng)的符號(hào)，但從（1）（2）問(wèn)可得到一個(gè)規(guī)律，任意“歸化數(shù)列”，其正項(xiàng)和為，負(fù)項(xiàng)和為，進(jìn)而可以考慮在求和時(shí)正項(xiàng)一組，負(fù)項(xiàng)一組進(jìn)行放縮。 解：依題意可得：中的項(xiàng)有正有負(fù) 設(shè)中的正項(xiàng)為，負(fù)項(xiàng)為，零項(xiàng)為 而（所有系數(shù)放大為1） （所有系數(shù)變?yōu)椋? 思路二：本題從通項(xiàng)公式入手，考慮，從而，合并同類項(xiàng)即可得到：，聯(lián)想到裂項(xiàng)相消，且由第①問(wèn)可知，可利用放縮及絕對(duì)值不等式得到 解： ，且 即不等式得證 小煉有話說(shuō)：（1）對(duì)于“新概念”的題目，要善于利用具體實(shí)例或

21、者前面的小問(wèn)掌握其規(guī)律，為最后一問(wèn)做準(zhǔn)備。在本題中通過(guò)前兩問(wèn)所總結(jié)出的“正項(xiàng)和為，負(fù)項(xiàng)和為”即為第三問(wèn)的突破口 （2）從一個(gè)已知數(shù)列中抽出若干項(xiàng)形成新數(shù)列，要善于運(yùn)用雙字母進(jìn)行書寫?？蓞⒖急绢}中的寫法?？梢员硎境鲂聰?shù)列的項(xiàng)源自于的第幾項(xiàng)，而表示新數(shù)列中該項(xiàng)的序數(shù)。一種寫法，兩個(gè)含義均顯現(xiàn)其中。 例8：對(duì)于數(shù)列，把作為新數(shù)列的第一項(xiàng)，把或（）作為新數(shù)列的第項(xiàng)，數(shù)列稱為數(shù)列的一個(gè)生成數(shù)列．例如，數(shù)列的一個(gè)生成數(shù)列是．已知數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和． （1）寫出的所有可能值； （2）若生成數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）證明：對(duì)于給定的，的所有可能值組成的集合為 ． （1

22、）思路：由“生成數(shù)列”的定義可知的前三項(xiàng)可能的值為，進(jìn)而通過(guò)不同的組合可求得 解：由已知可得：，且 可能的求和為： 可能的取值為 （2）思路：本題已知的表達(dá)式，可類比在數(shù)列中已知求數(shù)列通項(xiàng)的方式，得到，計(jì)算可得：，由為生成數(shù)列可得： ，通過(guò)合理組合即可得到：，從而得到通項(xiàng)公式 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列 若，則以上各種組合中，只有 （3）思路：由生成數(shù)列的定義可知，所以其共計(jì)中情況。而觀察中元素的個(gè)數(shù)恰好也為個(gè)（從取到個(gè)），且本題無(wú)法一一計(jì)算出，故從可取的值的個(gè)數(shù)與元素個(gè)數(shù)相等作為突破口，若要證取值集合所給集合相

23、等，則可通過(guò)兩個(gè)步驟證明：一是證明的值一定都在中，可通過(guò)，其中為奇數(shù)可得，二是證明對(duì)于不同的生成數(shù)列，其和也必然不同（利用反證法），進(jìn)而再利用可取的值的個(gè)數(shù)與的個(gè)數(shù)均為即可證明結(jié)論 共有種情況 ，即： ，可知為奇數(shù) 滿足且分子為奇數(shù)的共有種 共有種情況 只需證明兩個(gè)不同的生成數(shù)列，其和不同即可 設(shè)數(shù)列為兩個(gè)不同的生成數(shù)列，且和分別記為 則 為生成數(shù)列，所以 或 不同 ，使得 所以種不同的生成數(shù)列，其和共有種可能 只有種可能 ∴可能值必恰為，共個(gè)． 的所有可能值組成的集合為 例9：有限數(shù)列同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件： ① 對(duì)于任意的

24、（），； ② 對(duì)于任意的（），，，三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)數(shù)是數(shù)列中的項(xiàng).[學(xué) （1）若，且，，，，求的值； （2）證明：不可能是數(shù)列中的項(xiàng)； （3）求的最大值 解：（1）由①可知： 考慮，依題意三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)在中 且 均不在中 （2）思路：本題并不容易去證明“不可能”，故考慮用反證法，先假設(shè)可能，再推出矛盾。若均在中，則中至少有一項(xiàng)在里，此時(shí)就會(huì)“創(chuàng)造出一項(xiàng)”位于中，進(jìn)而可知這種“創(chuàng)造”是無(wú)休止的，所生成的新的項(xiàng)要大于之前的每一個(gè)數(shù)（數(shù)列遞增）那么以此類推下去，的項(xiàng)數(shù)會(huì)無(wú)限增加下去，與“為有限數(shù)列”矛盾。所以本題的證明可以以“為有限數(shù)列”為突破口，假定最

25、后的三項(xiàng)為，則，則比都大，那么只能為，即，同理對(duì)于，也可得到，從而推出，與數(shù)列遞增矛盾。所以不可能是數(shù)列中的項(xiàng) 解：（反證法）：假設(shè)是數(shù)列中的項(xiàng) 由②可知：6，10，15中至少有一個(gè)是數(shù)列中的項(xiàng)，則有限數(shù)列的最后一項(xiàng)，且. 由①，. 對(duì)于數(shù)，由②可知：；對(duì)于數(shù)，由②可知：. 所以 ，這與①矛盾. 所以 不可能是數(shù)列中的項(xiàng). （3）思路：本題的主旨在于盡可能構(gòu)造項(xiàng)數(shù)多的，由（

26、2）的證明過(guò)程可提供一條線索，當(dāng)大于1的項(xiàng)超過(guò)3項(xiàng)時(shí)，則不成立，所以可知中至多有3項(xiàng)，且這3項(xiàng)中兩項(xiàng)的乘積等于第三項(xiàng)。同時(shí)還可對(duì)其進(jìn)行推廣得到中至多有3項(xiàng)，絕對(duì)值大于1；然后可將這種思路拓展至其它范圍，比如絕對(duì)值在0至1之間同理也至多只有3項(xiàng)。再補(bǔ)充上，所以的最大值為，可構(gòu)造為 解：的最大值為，證明如下： （1）令，則符合①、②. （2）設(shè)符合①、②，則： ① 中至多有三項(xiàng)，其絕對(duì)值大于1. 假設(shè)中至少有四項(xiàng)，其絕對(duì)值大于1，不妨設(shè)，，，是中絕對(duì)值最大的四項(xiàng)，其中. 則對(duì)有，所以均不是數(shù)列中的項(xiàng)，即是數(shù)列中的項(xiàng)

27、 同理：也是數(shù)列中的項(xiàng) 但 ，與①矛盾 ②中至多有三項(xiàng)，其絕對(duì)值大于0且小于1. 假設(shè)中至少有四項(xiàng)，其絕對(duì)值大于0且小于1，類似（?。┑贸雒? ③中至多有兩項(xiàng)絕對(duì)值等于1. ④中至多有一項(xiàng)等于0. 綜合①②③④可知中至多有9項(xiàng). 由（1），（2）可得，的最大值為9. 例10：對(duì)于實(shí)數(shù)，將滿足“且為整數(shù)”的實(shí)數(shù)稱為實(shí)數(shù)的小數(shù)部分，用記號(hào)表示，對(duì)于實(shí)數(shù)，無(wú)窮數(shù)列滿足如下條件： 其中. （1）若，求數(shù)列； （2）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有，求符合要求的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合． （3）若是有理數(shù)，設(shè) （是整數(shù)，是正整數(shù)，、互質(zhì)），問(wèn)對(duì)于大于的任意正整數(shù)，是否都

28、有成立，并證明你的結(jié)論． （1）思路：按照題目規(guī)則可知即為的小數(shù)部分，所以只有確定介于哪兩個(gè)整數(shù)之間，才能夠求出。由得，，由得，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)，且計(jì)算的過(guò)程與計(jì)算相同，可猜想，考慮到可由求出，所以用數(shù)學(xué)歸納法即可證明 解： 猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)時(shí)， 假設(shè)時(shí)，，則時(shí) 成立 （2）思路：由（1）的過(guò)程可知本題在計(jì)算各項(xiàng)時(shí)關(guān)鍵要把握住“”里面數(shù)的范圍， ，意味著故的范圍是本問(wèn)的關(guān)鍵，由得，所以要對(duì)分為進(jìn)行分類討論，從而確定的結(jié)果，得到關(guān)于的方程，求解即可 依題意可知 當(dāng)時(shí)， ，解得： 當(dāng)時(shí)， ，解得： 當(dāng)時(shí)， ，解得：

29、綜上所述： （3）思路：因?yàn)椋瑥亩?，所以也可寫成“”的形式，且，所以均可表示為的形式，依?guī)則可知一旦，則后面的項(xiàng)均為0，所以要證明大于的任意正整數(shù)，，則需要在中尋找出得0的項(xiàng)。本題已知遞推公式，所以考慮以相鄰項(xiàng)的關(guān)系入手，即尋找與的關(guān)系，，確定的范圍是關(guān)鍵，對(duì)于且可知利用帶余除法得到，從而中，所以，再由即可得到，從而可知為遞減數(shù)列，且均為正整數(shù)。則有，此處便可發(fā)現(xiàn)突破口，小于的正整數(shù)共有個(gè)，但中小于的項(xiàng)共有個(gè)，則里面必含，即證明結(jié)論 解：該結(jié)論成立，證明如下： ，即，為正有理數(shù)或0 設(shè)，則有 ，即 若，則可知，所以當(dāng)時(shí)，均有 若，可設(shè) ，依假設(shè)可知

30、 由可得： 為遞減數(shù)列，且 對(duì)于給定的，若均不為0， 則即小于的整數(shù)有個(gè) 但小于的正整數(shù)為共個(gè)，所以矛盾 中至少有一個(gè)為0，即存在，使得 從而 ，均有，即 三、歷年好題精選 1、(2016，北京西城一模)設(shè)數(shù)列和的項(xiàng)均為，則將數(shù)列和的距離定義為. （1）該出數(shù)列和數(shù)列的距離 （2）設(shè)為滿足遞推關(guān)系的所有數(shù)列的集合，和為中的兩個(gè)元素，且項(xiàng)數(shù)均為，若，，和的距離小于，求得最大值； （3）記是所有項(xiàng)數(shù)列或的集合，，且由任何兩個(gè)元素的距離大于或等于，證明：中的元素個(gè)數(shù)小于或等于. 2、已知數(shù)列滿足，且當(dāng)時(shí)，，記． （1）寫出的所有可能的值； （2）求的

31、最大值 3、設(shè)數(shù)列共有項(xiàng)，記該數(shù)列前項(xiàng)中的最大項(xiàng)為，該數(shù)列后項(xiàng)中的最小項(xiàng)為，. （1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）試構(gòu)造一個(gè)數(shù)列，滿足，其中是公差不為零的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，使得對(duì)于任意給定的正整數(shù)，數(shù)列都是單調(diào)遞增的，并說(shuō)明理由. 4、設(shè)是關(guān)于的次多項(xiàng)式，數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，對(duì)于任意的正整數(shù)都成立 （1）若，求證：數(shù)列是等比數(shù)列 （2）試確定所有的自然數(shù)，使得能成等差數(shù)列 5、（2016，上海五校聯(lián)考） 數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱數(shù)列是“E數(shù)列” （1）數(shù)列的前項(xiàng)和，判斷數(shù)列是否

32、為“E數(shù)列”，并說(shuō)明理由 （2）數(shù)列是等差數(shù)列，其首項(xiàng)，公差，若數(shù)列 是“E數(shù)列”，求的值 （3）證明：對(duì)任意的等差數(shù)列，總存在兩個(gè)“E數(shù)列”，使得成立 習(xí)題答案： 1、解析：（1）由公式可得： （2）由可得： 數(shù)列為周期是4的周期數(shù)列 中， 中， 由可知，越大，其距離越大 時(shí)， （3）證明，假設(shè)中的元素個(gè)數(shù)大于或等于17個(gè) 或 可能的組合為： 中的數(shù)列必有三個(gè)相同的 設(shè)這三個(gè)數(shù)列分別為： 其中 因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)列中每?jī)蓚€(gè)的距離大于或等于3 所以

33、中，至少有3個(gè)成立 或 中必有一個(gè)成立 同理中必有一個(gè)成立，中必有一個(gè)成立 即“中至少有兩個(gè)成立”，或“中至少有兩個(gè)成立”中必有一個(gè)成立 和中必有一個(gè)成立，與題意矛盾 假設(shè)不成立 中的元素個(gè)數(shù)小于或等于16個(gè) 2、解:（1）由題設(shè)，滿足條件的數(shù)列的所有可能情況有： ； ；； ； 所以，的所有可能的值為：，，，，． （2）由， 可設(shè)，則或（，），因?yàn)椋? ． 因?yàn)?，所以，且為奇?shù)，是由 個(gè)1和個(gè)構(gòu)成的數(shù)列． 所以 則當(dāng)?shù)那绊?xiàng)取，后項(xiàng)取時(shí)最大， 此時(shí)． 證明如下：假設(shè)的前項(xiàng)中恰有項(xiàng)取，則 的后項(xiàng)中恰有項(xiàng)取，其中， ，，．

34、 ． 所以的最大值為． 3、解析：（1）單調(diào)遞增 （2）由題意可得：，由可得： 即單調(diào)遞增 ，所以 是公差為2的等差數(shù)列 （3）構(gòu)造數(shù)列，其中，可知是遞增數(shù)列 ， ，可知單調(diào)遞增，滿足題意 4、解析：（1）證明：若，則為常數(shù)，設(shè) 是公比為的等比數(shù)列 （2）解：若，由（1）可得不符題意，舍去 若，設(shè) 兩式相減可得： 若為首項(xiàng)是1，公差為的等差數(shù)列， 則 ，即為常數(shù)列 若，設(shè) 同理，若為首項(xiàng)是1，公差為的等差數(shù)列， 則 ，且 ，符合題意 時(shí)，存在為等差數(shù)列 當(dāng)時(shí)，若為等差數(shù)列，則為不高于二次的多項(xiàng)式，所以 綜上所述：時(shí)，存在為等差數(shù)列 5、解析：（1）時(shí)， 時(shí)， 當(dāng)時(shí)，，假設(shè)存在使得 則 不是“E數(shù)列” （2）由的條件可得： 為“E數(shù)列” （3）若等差數(shù)列（為常數(shù)） 則的前項(xiàng)和是該數(shù)列的第項(xiàng) 為“E數(shù)列” 對(duì)任意等差數(shù)列，設(shè) 則令 根據(jù)上式可知均為“E數(shù)列”，且 命題得證 - 35 - 版權(quán)所有@高考資源網(wǎng)