《2018屆高三數(shù)學一輪復習： 熱點探究課6 概率與統(tǒng)計中的高考熱點問題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018屆高三數(shù)學一輪復習： 熱點探究課6 概率與統(tǒng)計中的高考熱點問題（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 熱點探究課(六)　 概率與統(tǒng)計中的高考熱點問題 [命題解讀]　1.概率與統(tǒng)計是高考中相對獨立的一個內容，處理問題的方式、方法體現(xiàn)了較高的思維含量．該類問題以應用題為載體，注重考查學生的應用意識及閱讀理解能力、分類討論與化歸轉化能力.2.概率問題的核心是概率計算，其中事件的互斥、對立、獨立是概率計算的核心，排列組合是進行概率計算的工具，統(tǒng)計問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的獲得及分析方法，重點是頻率分布直方圖、莖葉圖和樣本的數(shù)字特征，但近兩年全國卷突出回歸分析的考查.3.離散型隨機變量的分布列及其均值的考查是歷年高考的重點，難度多為中低檔類題目，特別是與統(tǒng)計內容滲透，背景新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計的

2、工具性和交匯性． 熱點1　統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 以實際生活中的事例為背景，通過對相關數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析、抽象概括，作出估計、判斷，常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識交匯考查，考查學生的數(shù)據(jù)處理能力． 　近幾年出現(xiàn)各種食品問題，食品添加劑會引起血脂增高、血壓增高、血糖增高等疾病．為了解“三高”疾病是否與性別有關，醫(yī)院隨機對入院的60人進行了問卷調查，得到了如下的列聯(lián)表： 【導學號：01772430】 患“三高”疾病 不患“三高”疾病 總計 男 6 30 女 總計 36 (1)請將如圖的列聯(lián)表補充完整；若用分層抽樣的方法在患“三高”疾病

3、的人群中抽9人，其中女性抽多少人？ (2)為了研究“三高”疾病是否與性別有關，請計算出統(tǒng)計量K2的觀測值k，并說明是否可以在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為“三高”疾病與性別有關． 下面的臨界值表供參考： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (參考公式K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d) [解]　(1)完善補充列聯(lián)表如下： 患“三高”疾病 不患“三高”疾病 總計 男 24 6 30

4、 女 12 18 30 總計 36 24 60 4分 在患“三高”疾病人群中抽9人，則抽取比例為＝， 所以女性應該抽取12×＝3(人).6分 (2)根據(jù)2×2列聯(lián)表，則K2的觀測值 k＝＝10＞7.879.10分 所以在允許犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為是否患“三高”疾病與性別有關.12分 [規(guī)律方法]　1.將抽樣方法與獨立性檢驗交匯，背景新穎，求解的關鍵是抓住統(tǒng)計圖表特征，完善樣本數(shù)據(jù)． 2．(1)本題常見的錯誤是對獨立性檢驗思想理解不深刻，作出無關錯誤判定．(2)進行獨立性檢驗時，提出的假設是兩者無關． [對點訓練1]　柴靜《穹頂之下》的播出，讓大

5、家對霧霾天氣的危害有了更進一步的認識，對于霧霾天氣的研究也漸漸活躍起來，某研究機構對春節(jié)燃放煙花爆竹的天數(shù)x與霧霾天數(shù)y進行統(tǒng)計分析，得出下表數(shù)據(jù)： x 4 5 7 8 y 2 3 5 6 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程＝x＋； (3)試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預測燃放煙花爆竹的天數(shù)為9的霧霾天數(shù)． [解]　(1)散點圖如圖所示． 4分 (2)xiyi＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106， ＝＝6，＝＝4， x＝42＋52＋72＋82＝154，6分 則＝＝＝1， ＝－＝

6、4－6＝－2， 故線性回歸方程為＝x＋＝x－2.8分 (3)由回歸直線方程可以預測，燃放煙花爆竹的天數(shù)為9的霧霾天數(shù)為7.12分 熱點2　常見概率模型的概率 幾何概型、古典概型、相互獨立事件與互斥事件的概率是高考的熱點，幾何概型主要以客觀題進行考查，求解的關鍵在于找準測度(面積、體積或長度)；相互獨立事件，互斥事件常作為解答題的一問考查，也是進一步求分布列、均值與方差的基礎，求解該類問題要正確理解題意，準確判定概率模型，恰當選擇概率公式． 　近年來，某市為促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設置了相應的垃圾箱，為調查居民生活垃圾分類投放情況，

7、現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1 000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下(單位：噸)： “廚余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 廚余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1)試估計廚余垃圾投放正確的概率； (2)試估計生活垃圾投放錯誤的概率． 【導學號：01772431】 [解]　(1)廚余垃圾投放正確的概率約為 ＝＝. (2)設生活垃圾投放錯誤為事件A，則事件表示生活垃圾投放正確．事件的概率約為“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量與“其他垃圾”箱里其他垃圾量的總和除以生活垃

8、圾總量，即P()約為＝0.7，所以P(A)約為1－ 0.7＝0.3. [規(guī)律方法]　1.本題求解的關鍵是從圖表中提煉數(shù)據(jù)信息，理解第(1)，第(2)問的含義． 2．第(2)問可直接求解，也可間接求解，即求垃圾投放正確的概率，然后通過1－P()求解． [對點訓練2]　現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲． (1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率； (2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；

9、 (3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記ξ＝|X－Y|，求隨機變量ξ的分布列． [解]　依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的概率為.2分 設“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i＝0,1,2,3,4)．則P(Ai)＝Ci4－i.4分 (1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率 P(A2)＝C22＝.6分 (2)設“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則B＝A3＋A4，且A3與A4互斥，7分 所以P(B)＝P(A3＋A4)＝P(A3)＋P(A4) ＝C3·＋C4＝.8分 (3)依題設，ξ的所有可

10、能取值為0,2,4. 且A1與A3互斥，A0與A4互斥． 則P(ξ＝0)＝P(A2)＝， P(ξ＝2)＝P(A1＋A3)＝P(A1)＋P(A3) ＝C1·3＋C3×＝， P(ξ＝4)＝P(A0＋A4)＝P(A0)＋P(A4) ＝C4＋C4＝.10分 所以ξ的分布列是 ξ 0 2 4 P 12分 熱點3　離散型隨機變量的均值與方差(答題模板) 離散型隨機變量及其分布列、均值與方差及應用是高考的一大熱點，每年均有解答題，屬于中檔題．復習中應強化應用題的理解與掌握，弄清隨機變量的所有取值是正確列隨機變量分布列和求均值與方差的關鍵，對概率的確定與轉化是

11、解題的基礎，準確計算是解題的核心，在備考中應強化解答題的規(guī)范性訓練． 　(本小題滿分12分)(2017·河北名校聯(lián)考)甲、乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽，假設每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結果相互獨立． (1)求甲在4局以內(含4局)贏得比賽的概率； (2)記X為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學期望)． [規(guī)范解答]　用A表示“甲在4局以內(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”，P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.2分 (1)P(A)＝

12、P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) ＝2＋2＋2＝.4分 (2)X的可能取值為2,3,4,5，5分 P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2) ＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2) ＝2＋2＝，7分 P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝ P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝ 2＋2＝，8分 P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝ P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B

13、1)P(A2)P(B3)P(B4)＝ 2＋2＝，10分 P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝. 故X的分布列為 X 2 3 4 5 P 11分 E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.12分 [答題模板]　求離散型隨機變量的均值和方差問題的一般步驟： 第一步：確定隨機變量的所有可能值． 第二步：求第一個可能值所對應的概率． 第三步：列出離散型隨機變量的分布列． 第四步：求均值和方差． 第五步：反思回顧．查看關鍵點、易錯點和答題規(guī)范． [溫馨提示]　1.(1)求解的關鍵在于理解“甲在4局以內”贏得比賽的含義，進而將事件轉化為

14、“三個互斥事件”的概率和． (2)第(2)問中利用對立事件求P(X＝5)的概率． 2．步驟要規(guī)范，善于進行文字符號轉化． 如第(1)問，引進字母表示事件，或用文字敘述正確，得2分；把事件拆分成A＝A1A2＋B1A2A3＋A1B2A3A4，就得2分，計算概率值正確，得1分．第(2)問求出X的四個值的概率，每對一個得1分，列出隨機變量X的分布列得1分． 3．解題過程中計算準確，是得滿分的根本保證． 如第(1)問、第(2)問中概率值的計算要正確，否則不得分，分布列中計算四個概率的和是否為1，若和不為1，就有概率值出現(xiàn)錯誤了，不得分． 圖1 [對點訓練3]　某網(wǎng)站用“10分制”調查一

15、社區(qū)人們的治安滿意度．現(xiàn)從調查人群中隨機抽取16名，如圖1莖葉圖記錄了他們的治安滿意度分數(shù)(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉)． (1)若治安滿意度不低于9.5分，則稱該人的治安滿意度為“極安全”．求從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“極安全”的概率； (2)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)中任選3人，記X表示抽到“極安全”的人數(shù)，求X的分布列、均值與方差． 【導學號：01772432】 [解]　(1)設Ai表示所取3人中有i個人是“極安全”，且i＝0,1,2,3.至多有1人是“極安全”記為事件A，則A＝A0＋A1，2分 所以

16、P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝＋＝.4分 (2)由莖葉圖可知，16人中任取1人是“極安全”的概率 P＝＝，依題意，X～B， 則P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3.6分 所以P(X＝0)＝3＝， P(X＝1)＝C××2＝， P(X＝2)＝C×2×＝，P(X＝3)＝3＝.8分 X的分布列為 X 0 1 2 3 P 10分 E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 或E(X)＝np＝. D(X)＝np(1－p)＝3××＝.12分 熱點4　概率與統(tǒng)計的綜合應用 概率與統(tǒng)計作為考查考生應用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點和熱點．主

17、要依托點是統(tǒng)計圖表，正確認識和使用這些圖表是解決問題的關鍵，復習時要在這些圖表上下功夫，把這些統(tǒng)計圖表的含義弄清楚，在此基礎上掌握好樣本特征數(shù)的計數(shù)方法、各類概率的計算方法及均值與方差的運算． 　(2017·濟南調研)2016年底，某城市地鐵交通建設項目已經(jīng)基本完成，為了解市民對該項目的滿意度，分別從不同地鐵站點隨機抽取若干市民對該項目進行評分(滿分100分)，繪制如下頻率分布直方圖，并將分數(shù)從低到高分為四個等級： 滿意度評分 低于 60分 60分 到79分 80分 到89分 不低 于90分 滿意度等級 不滿意 基本滿意 滿意 非常滿意 已知滿意度等級為基本滿意

18、的有680人． (1)若市民的滿意度評分相互獨立，以滿意度樣本估計全市市民滿意度．現(xiàn)從全市市民中隨機抽取4人，求至少有2人非常滿意的概率； (2)在等級為不滿意市民中，老年人占.現(xiàn)從該等級市民中按年齡分層抽取15人了解不滿意的原因，并從中選取3人擔任整改督導員，記X為老年督導員的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望E(X)； (3)相關部門對項目進行驗收，驗收的硬性指標是：市民對該項目的滿意指數(shù)不低于0.8，否則該項目需進行整改，根據(jù)你所學的統(tǒng)計知識，判斷該項目能否通過驗收，并說明理由. 【導學號：01772433】 圖2 [解]　(1)由頻率分布直方圖可知 則10×(0.035＋

19、a＋0.020＋0.014＋0.004＋0.002)＝1，所以a＝0.025， 所以市民非常滿意的概率為0.025×10＝.2分 又市民的滿意度評分相互獨立， 故所求事件的概率P＝1－C04－C13＝1－＝.4分 (2)按年齡分層抽樣抽取15人進行座談，則老年市民抽15×＝5人， 從15人中選取3名整改督導員的所有可能情況為C， 由題知X的可能取值為0,1,2,3， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，6分 X分布列為 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.8分 (3)由頻率分布

20、直方圖，得 (45×0.002＋55×0.004＋65×0.014＋75×0.02＋85×0.035＋95×0.025)×10＝80.7， 所以估計市民滿意度程度的平均得分為80.7. 因此市民滿意度指數(shù)為＝0.807＞0.8， 所以該項目能夠通過驗收.12分 [規(guī)律方法]　1.本題將頻率分布直方圖結合古典概型與均值，立意新穎、構思巧妙．考查學生的識圖能力和數(shù)據(jù)處理能力． 2．求解時注意兩點： (1)明確頻率與概率的關系，頻率可近似替代概率； (2)此類問題中的概率模型多是古典概型，在求解時，要明確基本事件的構成，活用公式，本題X服從超幾何分布，利用其概率公式代入計算． [對

21、點訓練4]　某市教育局為了了解高三學生體育達標情況，對全市高三學生進行了體能測試，經(jīng)分析，全市學生體能測試成績X服從正態(tài)分布N(80，σ2)(滿分為100分)，已知P(X＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，現(xiàn)從該市高三學生中隨機抽取三位同學． (1)求抽到的三位同學該次體能測試成績在區(qū)間[80,85)，[85,95)，[95,100]各有一位同學的概率； (2)記抽到的三位同學該次體能測試成績在區(qū)間[75,85]的人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列和均值． [解]　(1)由X～N(80，σ2)，知P(x≤80)＝.2分 又P(x＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1， 則P(80

22、≤x＜85)＝P(75≤x≤80)＝P(x≤80)－P(x＜75)＝0.2.3分 P(85≤x＜95)＝P(x＞85)－P(x≥95)＝P(x＜75)－P(x≥95)＝0.2.4分 故所求事件的概率P＝0.2×0.2×0.1·A＝0.024.5分 (2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X＜75)＝0.4， 所以ξ服從二項分布B(3,0.4)，6分 P(ξ＝0)＝0.63＝0.216， P(ξ＝1)＝C×0.4×0.62＝0.432， P(ξ＝2)＝C×0.42×0.6＝0.288， P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，8分 所以隨機變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 E(ξ)＝3×0.4＝1.2.12分