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復(fù)雜電阻網(wǎng)絡(luò)的處理方法 在物理競(jìng)賽過(guò)程中經(jīng)常遇到，無(wú)法直接用串聯(lián)和并聯(lián)電路的規(guī)律求出整個(gè)電路電阻的情況，這樣的電路也就是我們說(shuō)的復(fù)雜電路，復(fù)雜電路一般分為有限網(wǎng)絡(luò)和無(wú)限網(wǎng)絡(luò)。那么，處理這種復(fù)雜電路用什么方法呢？下面，我就結(jié)合自己輔導(dǎo)競(jìng)賽的經(jīng)驗(yàn)談?wù)剰?fù)雜電路的處理方法。 一：有限電阻網(wǎng)絡(luò) 原則上講解決復(fù)雜電路的一般方法，使用基爾霍夫方程組即可。它包含的兩類方程出自于兩個(gè)自然的結(jié)論：（1）對(duì)電路中任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)，流出的電流之和等于流入的電流之和。電路中任何一個(gè)閉合回路，都符合閉合電歐姆定律。下面我介紹幾種常用的其它的方法。 1：對(duì)稱性簡(jiǎn)化 所謂的對(duì)稱性簡(jiǎn)化，就是利用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中可能存在的對(duì)稱性簡(jiǎn)化等效電阻的計(jì)算。它的效果是使計(jì)算得以簡(jiǎn)化，計(jì)算最后結(jié)果必須根據(jù)電阻的串、并聯(lián)公式；電流分布法；極限法等來(lái)完成。 在一個(gè)復(fù)雜的電路中，如果能找到一些完全對(duì)稱的點(diǎn)，那么當(dāng)在這個(gè)電路兩端加上電壓時(shí)，這些點(diǎn)的電勢(shì)一定是相等的，即使用導(dǎo)線把這些點(diǎn)連接起來(lái)也不會(huì)有電流（或把連接這些點(diǎn)的導(dǎo)線去掉也不會(huì)對(duì)電路構(gòu)成影響），充分的利用這一點(diǎn)我們就可以使電路大為簡(jiǎn)化。 例（1）如圖1所示的四面體框架由電阻都為R的6根電阻絲連接而成，求兩頂點(diǎn)A、B間的等效電阻。 圖1 圖2 分析:假設(shè)在A、B兩點(diǎn)之間加上電壓，并且電流從A電流入、B點(diǎn)流處。因?yàn)閷?duì)稱性，圖中CD兩點(diǎn)等電勢(shì)，或者說(shuō)C、D 間的電壓為零。因此，CD間的電阻實(shí)際上不起作用，可以拆去。原網(wǎng)絡(luò)簡(jiǎn)化成簡(jiǎn)單的串、并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，使問(wèn)題迎刃而解。 解：根據(jù)以上分析原網(wǎng)絡(luò)簡(jiǎn)化成如圖2所示的簡(jiǎn)單的串、并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，由串、并聯(lián)規(guī)律得 RAB=R/2 例（2）三個(gè)相同的金屬圈兩兩正交地連成如圖所示的形狀，若每一個(gè)金屬圈的原長(zhǎng)電阻為R，試求圖中A、B兩點(diǎn)之間的等效電阻。 圖3 圖4 圖5 分析：從圖3中可以看出，整個(gè)電阻網(wǎng)絡(luò)相對(duì)于AB的電流流入、流出方式上具有上下對(duì)稱性，因此可上下壓縮成如圖所時(shí)的等效減化網(wǎng)絡(luò)。從如圖4所示的網(wǎng)絡(luò)中可以看出，從A點(diǎn)流到O電流與從O點(diǎn)到B電流必相同；從A1點(diǎn)流到O電流與從O點(diǎn)到B1電流必相同。據(jù)此可以將O點(diǎn)斷開(kāi)，等效成如圖5所示的簡(jiǎn)單網(wǎng)絡(luò)，使問(wèn)題得以求解。 解：根據(jù)以上分析求得RAB=5R/48 例（3）如圖6所示的立方體型電路，每條邊的電阻都是R。求A、G之間的電阻是多少？ 分析: 假設(shè)在A 、G兩點(diǎn)之間加上電壓時(shí)，顯然由于對(duì)稱性D、B、E 的電勢(shì)是相等的，C、F、H的電勢(shì)也是相等的，把這些點(diǎn)各自連起來(lái)，原電路就變成了如圖7所示的簡(jiǎn)單電路。 解:由簡(jiǎn)化電路，根據(jù)串、并聯(lián)規(guī)律解得RAG=5R/6 （同學(xué)們想一想，若求A、F或A、E之間的電阻又應(yīng)當(dāng)如何簡(jiǎn)化？） 例（4）在如圖8所示的網(wǎng)格形網(wǎng)絡(luò)中，每一小段電阻均為R，試求A、B之間的等效電阻RAB。 圖8 圖9 圖10 圖11 分析:由于網(wǎng)絡(luò)具有相對(duì)于過(guò)A、B對(duì)角線的對(duì)稱性，可以折疊成如圖9所示的等效網(wǎng)絡(luò)。而后根據(jù)等電勢(shì)點(diǎn)之間可以拆開(kāi)也可以合并的思想簡(jiǎn)化電路即可。 解法(a)：簡(jiǎn)化為如圖9所示的網(wǎng)絡(luò)以后，將3、O兩個(gè)等勢(shì)點(diǎn)短接，在去掉斜角部位不起作用的兩段電阻，使之等效變換為如圖10所示的簡(jiǎn)單網(wǎng)絡(luò)。最后不難算得 RAO=ROB=5R/14 RAB= RAO+ROB=5R/7 解法(b)：簡(jiǎn)化為如圖所示的網(wǎng)絡(luò)以后，將圖中的O點(diǎn)上下斷開(kāi)，如圖11所示，最后不難算得 RAB=5R/7 2：電流分布法 設(shè)定電流I從網(wǎng)絡(luò)A電流入，B 電流出。應(yīng)用電流分流思想和網(wǎng)絡(luò)中任意兩點(diǎn)之間不同路徑等電壓的思想，建立以網(wǎng)絡(luò)中的各電阻的電流為未知量的方程組，解出各電流I的比例關(guān)系，然后選取A到B的某一路經(jīng)計(jì)算A、B 間的電壓，再由RAB=UAB/IAB即可算出RAB 例：有如圖12所示的電阻網(wǎng)絡(luò)，求A、B之間的電阻RAB 分析：要求A、B之間的電阻RAB按照電流分布法的思想，只要設(shè)上電流以后，求得A、B 間的電壓即可。 圖12 解：設(shè)電流由A流入，B流出，各支路上的電流如圖所示。根據(jù)分流思想可得 I2=I-I1 I3=I2-I1=I-2I1 A、O間的電壓，不論是從AO看，還是從ACO看，都應(yīng)該是一樣的，因此 I1(2R)=(I-I1)R+(I-2I1)R 解得I1=2I/5 取AOB路徑，可得AB間的電壓 UAB=I1*2R+I4*R 根據(jù)對(duì)稱性 I4=I2=I-I1=3I/5 所以UAB=2I/5*2R+3I/5*R=7IR/5 RAB=UAB/I=7R/5 這種電流分布法事實(shí)上已經(jīng)引進(jìn)了基爾霍夫定律的思想，所以有一定的一般性。 3：Y Δ變換 復(fù)雜電路經(jīng)過(guò)Y Δ變換，可以變成簡(jiǎn)單電路。如圖13和14所示分別為Δ網(wǎng)絡(luò)和Y網(wǎng)絡(luò)，兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)中得6個(gè)電阻滿足怎樣的關(guān)系才能使這兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)完全等效呢 ? 所謂完全等效，就是要求 Uab=Uab,Ubc=Ubc,Uca=Uca Ia=IA,Ib=IB,Ic=IC 在Y網(wǎng)絡(luò)中有 IaRa-IbRb=Uab IcRc-IaRa=Uca Ia+Ib+Ic=0 圖13 圖14 解得Ia=RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa)+ RbUca/(RaRb+RbRc+RcRa) 在Δ網(wǎng)絡(luò)中有 IAB=UAB/RAB ICA=UCA/RCA IA=IAB-ICA 解得IA= （UAB/RAB）-（ UCA/RCA） 因?yàn)橐驣a=IA ，所以 RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa)+ RbUca/(RaRb+RbRc+RcRa)= （UAB/RAB）-（ UCA/RCA） 又因?yàn)橐骍ab= UAB ，Uca= UCA 所以要求上示中對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，即 RAB=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rc -----------------（1） RCA=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rb------------------（2） 用類似的方法可以解得 RBC=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Ra--------------------(3) (1)、（2）、（3）三式是將Y網(wǎng)絡(luò)變換到Δ網(wǎng)絡(luò)的一組變換式。在(1)、（2）、（3）三式中將RAB 、RBC、RCA作為已知量解出Ra、Rb、Rc即可得到Ra=RAB*RCA/(RAB+RBC+RCA)------------（4） Rb=RAB*RBC/(RAB+RBC+RCA) -----------------（5）Rc=RBC*RCA/(RAB+RBC+RCA) -----------------（6） (4)、（5）、（6）三式是將Δ網(wǎng)絡(luò)變換到Y(jié)網(wǎng)絡(luò)的一組變換式。 例（1）求如圖15所示雙T橋網(wǎng)絡(luò)的等效電阻RAB。 圖15 圖16 分析：此題無(wú)法直接用串、并聯(lián)規(guī)律求解，需要將雙T橋網(wǎng)絡(luò)中兩個(gè)小的Y網(wǎng)絡(luò)元變換成兩個(gè)小的Δ網(wǎng)絡(luò)元，再直接用串、并聯(lián)規(guī)律求解即可。 解:原網(wǎng)絡(luò)等效為如圖16所示的網(wǎng)絡(luò)，由此可以算得 RAB=118/93Ω 4：電橋平衡法 如圖19所示的電路稱為惠斯通電橋，圖中R1、R2、R3、R4分別叫電橋的臂，G是靈敏電流計(jì)。當(dāng)電橋平衡（即靈敏電流計(jì)的示數(shù)為零）的時(shí)候，我們稱之為電橋平衡。這時(shí)有 I1=I2, I3=I4, I1RI=I3R3, I2R2=I4R4 有這些關(guān)系可以得到 R1/R2=R3/R4 上式稱之為電橋平衡條件，利用此式簡(jiǎn)化對(duì)稱性不明顯的電路，十分方便。 圖19 例:有n 個(gè)接線柱，任意兩個(gè)接線柱之間都接有一個(gè)電阻R求任意兩個(gè)接線柱之間的電阻。 分析：粗看本題根本無(wú)法求解，但是能充分利用電橋平衡的知識(shí)，則能十分方便得求解。 解：如右圖所示，設(shè)想本題求兩接線柱A、B之間的等效電阻，根據(jù)對(duì)稱性易知，其余的接線柱CDE---- 中，任意兩個(gè)接線柱之間的電阻無(wú)電流通過(guò)，故這些電阻都 可以刪除，這樣電路簡(jiǎn)化為:A、B之間連有電阻R，其余（n-2）個(gè)接線柱之間僅有電阻分別與A、B兩點(diǎn)相連，它們之間沒(méi)有電阻相連。即 1/RAB=1/R+1/[2R/(n-2)] 所以 RAB=2R/n 二：無(wú)限電阻網(wǎng)絡(luò) 無(wú)限電阻網(wǎng)絡(luò)分為線型無(wú)限網(wǎng)絡(luò)和面型無(wú)限網(wǎng)絡(luò)，下面我們就這兩個(gè)方面展開(kāi)討論 1：線型無(wú)限網(wǎng)絡(luò) 所謂“線型”就是一字排開(kāi)的無(wú)限網(wǎng)絡(luò)，既然研究對(duì)象是無(wú)限的，就可以利用“無(wú)限”這個(gè)條件，再結(jié)合我們以上講的求電阻的方法就可以解決這類問(wèn)題。 例（1）如圖所示的電路是一個(gè)單邊的線型無(wú)限網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)電阻的阻值都是R，求A、B之間的等效電阻RAB . 圖21 解：因?yàn)槭恰盁o(wú)限”的，所以去掉一個(gè)單元或增加一個(gè)單元不影響等效電阻即RAB應(yīng)該等于從CD往右看的電阻RCD RAB=2R+R*RCD/(R+RCD)=RCD 整理得 RCD2-2RRCD-2R2=0 解得：RCD=（1+31/2）R= RAB 例（2）一兩端無(wú)窮的電路如圖22所示，其中每個(gè)電阻均為r求a、b兩點(diǎn)之間的電阻。 圖22 圖23 解：此電路屬于兩端無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)，整個(gè)電路可以看作是由三個(gè)部分組成的，如圖所示，則 Rab=(2Rx+r)r/(2Rx+2r) 即是無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)，bb1之間的電阻仍為Rx 則 Rx=（31/2-1）r 代入上式中解得Rab=（6-31/2）*r/6 2：面型無(wú)限網(wǎng)絡(luò) 解線性無(wú)限網(wǎng)絡(luò)的指導(dǎo)思想是利用網(wǎng)絡(luò)的重復(fù)性，而解面型無(wú)限網(wǎng)絡(luò)的指導(dǎo)思想是利用四個(gè)方向的對(duì)稱性。 例（1）如圖27所示是一個(gè)無(wú)窮方格電阻絲網(wǎng)絡(luò)的一部分，其中每一小段電阻絲的阻值都是R求相鄰的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)A、B之間的等效電阻。 分析：假設(shè)電流I從A點(diǎn)流入，向四面八方流到 無(wú)窮遠(yuǎn)處，根據(jù)對(duì)稱性，有I/4電流由A點(diǎn)流到 B點(diǎn)。假設(shè)電流I經(jīng)過(guò)無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定后再由四面 八方匯集到 B點(diǎn)后流出，根據(jù)對(duì)稱性，同樣有I/4 電流經(jīng)A點(diǎn)流到B點(diǎn)。 圖27 解:從以上分析看出，AB段的電流便由兩個(gè)I/4疊加而成，為I/2因此 UAB=(I/2)*r A、B之間的等效電阻 RAB=UAB/I=r/2 例（2）有一無(wú)限平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它有大小相同的正六邊型網(wǎng)眼組成，如下圖所示。所有正六邊型每邊的電阻均為R0，求間位結(jié)點(diǎn)a、b間的電阻。 分析：假設(shè)有電流I自a電流入，向四面八方流到無(wú)窮遠(yuǎn)處，那么必有I/3 電流由a流向c，有 I/6電流由c流向b.再假設(shè)有電流I由四面八方匯集b點(diǎn)流出，那么必有I/6電流由f流向 c, 有I/3電流由c流向b. 解：將以上兩種情況結(jié)合，由電流疊加原理可知 Iac=I/3+I/6=I/2(由a流向c) Icb=I/3+I/6=I/2(由c流向b) 因此ab之間的等效電阻為 Rab=Uab/I=(IacR0+IcbR0)/I=R0