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巴特沃斯濾波器 巴特沃斯濾波器是電子濾波器的一種。巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶的頻率響應曲線最平滑。這種濾波器最先由英國工程師斯替芬巴特沃斯（Stephen Butterworth）在1930年發(fā)表在英國《無線電工程》期刊的一篇論文中提出的。 一級巴特沃斯低通濾波器的 波得圖 一級至五級巴特沃斯低通濾波器 二級巴特沃斯低通濾波器 目錄 [隱藏] 1 巴特沃斯濾波器的特性 2 傳遞函數(shù) o 2.1 根據(jù)衰減度求濾波器的階數(shù) o 2.2 幅度最平坦的濾波器 o 2.3 高頻衰減 3 實例 4 規(guī)一化的巴特沃斯多項式 5 與其他類型濾波器的比較 巴特沃斯濾波器的特性 巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶內(nèi)的頻率響應曲線最大限度平坦，沒有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。 在振幅的對數(shù)對角頻率的波得圖上，從某一邊界角頻率開始，振幅隨著角頻率的增加而逐步減少，趨向負無窮大。 一階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻6分貝，每十倍頻20分貝。二階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻12分貝、 三階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻18分貝、如此類推。巴特沃斯濾波器的振幅對角頻率單調(diào)下降，并且也是唯一的無論階數(shù)，振幅對角頻率曲線都保持同樣的形狀的濾波器。只不過濾波器階數(shù)越高，在阻頻帶振幅衰減速度越快。其他濾波器高階的振幅對角頻率圖和低級數(shù)的振幅對角頻率有不同的形狀。 傳遞函數(shù) 巴特沃斯低通濾波器可用如下振幅的平方對頻率的公式表示: 其中, n = 濾波器的階數(shù) ωc =截止頻率 =振幅下降為 -3分貝時的 頻率 ωp = 通頻帶邊緣頻率 1/(1 + ε2) = |H(ω)|2在通頻帶邊緣的數(shù)值. 在二維復平面上 在 s = jω點的數(shù)值= |H(ω)|2, 因此通過解析延拓: 上述函數(shù)的極點等距離地分布在半徑為ωc的圓上 k = 0, 1, 2, ....., n-1 因此, k = 0, 1, 2, ...., n-1 n階巴特沃斯低通濾波器的振幅和頻率關(guān)系可用如下的公式表示： 其中： G 表示濾波器的放大率， H 表示 轉(zhuǎn)移函數(shù)， j 是 虛數(shù)單位， n 表示濾波器的級數(shù)， ω 是信號的 角頻率，以弧度/秒 為單位， ωc 是振幅下降3分貝時的截止頻率。 令截止頻率ωc = 1), 將上列公式規(guī)定一化成為： 根據(jù)衰減度求濾波器的階數(shù) 令 1/A=Gn(ω) 例：在 (ω) = 2 時 Gn(ω)=0.005 A= 200, n=7.6, 取大一號整數(shù)，即需要 8 階巴特沃斯濾波器。 二階巴特沃斯低通濾波器的波特圖 幅度最平坦的濾波器 g的頭(2n-1)次導數(shù)在ω = 0時為零，說明放大率對 ω 是常數(shù)。 因此巴特沃斯濾波器又被稱為最平坦的濾波器。 高頻衰減 因此，n階巴特沃斯低通濾波器的高頻衰減為每十倍頻20n 分貝。 實例 k階巴特沃斯濾波器的考爾第一型電子線路圖如下: 其中： 電容; k = 奇數(shù) 電感; k = 偶數(shù) 規(guī)一化的巴特沃斯多項式 n 多項式因子 Bn(s) 1 (s + 1) 2 s2 + 1.414s + 1 3 (s + 1)(s2 + s + 1) 4 (s2 + 0.7654s + 1)(s2 + 1.8478s + 1) 5 (s + 1)(s2 + 0.6180s + 1)(s2 + 1.6180s + 1) 6 (s2 + 0.5176s + 1)(s2 + 1.414s + 1)(s2 + 1.9318s + 1) 7 (s + 1)(s2 + 0.4450s + 1)(s2 + 1.247s + 1)(s2 + 1.8022s + 1) 8 (s2 + 0.3986s + 1)(s2 + 1.111s + 1)(s2 + 1.6630s + 1)(s2 + 1.9622s + 1) 與其他類型濾波器的比較 下圖是巴特沃斯濾波器（左上）和同階第一類切比雪夫濾波器（右上）、第二類切比雪夫濾波器（左下）、橢圓函數(shù)濾波器（右下）的頻率響應圖。 由圖可見，巴特沃斯濾波器的衰減速度比其他類型濾波器緩慢，但十分平坦，沒有幅度變化。