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Sw基本概念 山那邊 天更寬 我們已經飛奔在平原上 但沒有山的生活是無法期望的 山那邊的生活更值得向往 別讓自己停留在山角下 別滿足于山這邊的平靜 我不想讓你停在山這邊 讀書與考試 考試消磨著你美妙的大學生活的浪漫情懷 四年磨盡 四年畢業(yè) 四年磨不盡 你會去讀研究生 讀書是你終生的事業(yè) 不讀課業(yè)之書或許可以 人生之書是必須要讀的 以前的前期課程中相關部分 1 關于二階常微分方程的結論2 傅立葉級數相關理論3 線性代數中 基 理論4 矩陣及其對角化的實質5 大學物理6 場論基礎 1 偏微分方程的一些基本概念 1 偏微分方程2 偏微分方程的階3 偏微分方程的解4 線性偏微分方程5 齊次偏微分方程 1 偏微分方程 含有某未知函數及其偏導數的等式稱為偏微分方程許多物理規(guī)律 過程 狀態(tài)都可以用偏微分方程來描述許多不同的物理規(guī)律 過程 狀態(tài)都可以用同一個偏微分方程來描述自變量的個數多于一個 偏微分方程的例子 2 偏微分方程的階 一個偏微分方程中所含偏導數的最高階數稱為該偏微分方程的階例如 3 線性偏微分方程 若一個偏微分方程對其所含所含的未知函數及其偏導數都是一次的 稱該偏微分方程為線性偏微分方程 例如 4 齊次偏微分方程 本課程只著重研究2 4個自變量的二階常系數線性偏微分方程 它的一般形式是 5 偏微分方程的解 任何一個在自變量的某變化區(qū)域內滿足方程 即代入方程后使之成為恒等式 的函數稱為方程的一個解 解的不唯一性 高維和低維的關系 不是高維的結果去掉一個變量就變成低維的結果 高維和低維的關系必須依據嚴格的理論來建立 2 數學物理方程的導出 1 理想弦的橫振動方程 理想弦理想弦是指具有下列性質的彈性物質細線 橫截面的直徑 長度 弦可以任意地變形 弦繃緊時 無論它處于什么位置 內部的張力總是沿著切線方向 物理系統(tǒng) 線密度為r x 的弦 在張力T的作用下處于平衡態(tài) 繃緊 平衡位置與軸重合 該弦受到某種擾動而開始在它的平衡位置附近振動 理想化假設 為簡化討論 做如下理想化假設 弦的運動完全在某一包含x軸的x u平面內進行 u軸垂直于x軸并且在振動的過程中弦上各點做橫u方向 沿u方向u方向 弦上各點沿x方向的位移 沿u方向的位移因而 弦上各點沿x方向的位移可以忽略 我們用t時刻弦上坐標為x的點在u方向的位移u x t 作為描述弦的運動的物理量 弦的運動很微小 微小的意義 u ux的絕對值都遠小于1 弦受到的外力垂直于x軸 力的分布密度 單位長度的弦受到的力 為g x t 理想弦的微小橫振動方程 一維波動方程 2 電報方程3 擴散方程4 熱傳導方程5 靜電場的場位方程6 自由電磁波方程7 Helmholtz方程8 Schodinger方程梁昆淼 數學物理方法郭敦仁 數學物理方法 熱傳導方程的導出 考慮體積V 包面為S 內的溫度u x y z t 的空間分布及隨著時間的變化規(guī)律 3 定解問題 1 科學 一門學科被稱為科學它必須具有 可重復性可描述性可控制性可利用性數學是這些性質的強有力的表示工具 2 數學物理方程 數學物理方程就是物理規(guī)律的數學表示 物理量隨著時間的演化 用對時間的導數表示物理量隨著空間的分布 用對坐標的導數表示物理量隨著時間的演化和隨著空間的分布之間的關系稱為物理規(guī)律 物理規(guī)律的數學表示稱為數學物理方程 3 泛定方程 1 物理規(guī)律 物理規(guī)律是描述物理現象的基礎 在不同的情形下 物理規(guī)律的表現形式是不同的 盡管其物理本質是不變的 如 質點 連續(xù)介質 力學的 電學的 等等 本課程無意討論在不同的情形下 物理規(guī)律的不同的表現形式 只是討論物理規(guī)律的數學特征 本課程感性趣的是 物理規(guī)律的數學形態(tài) 對于某一物理系統(tǒng) 其物理性質大致描述如下 系統(tǒng)的內部 系統(tǒng)的邊界 系統(tǒng)內部的連續(xù)無突變部分 系統(tǒng)內部的不連續(xù)有突變的點在不同的的情形下 物理規(guī)律的表現形式不同 對系統(tǒng)內部的連續(xù)無突變部分 場量在這樣的區(qū)域內連續(xù)且導數存在 物理規(guī)律此時表現為該場量對不同的變量 坐標和時間 的導數之間的關系 這樣的關系式我們把它稱之為泛定方程 例如 波動方程 擴散方程 拉普拉斯方程數學上 常見的物理上的泛定方程不是很多 4 邊界條件 在物理系統(tǒng)的邊界附近 一般來說 物理量是不連續(xù)的 總是存在著這樣那樣的突變 而這種突變反映的是物理系統(tǒng)和外界的相互作用 反映物理系統(tǒng)和外界的相互作用的數學表達式就是數學物理方程中的邊界條件 泛定方程和邊界條件的簡單討論 泛定方程反映的是物理量隨著空間的分布和隨著時間的演化 它反映的是這一類物理量的共性 一般說來不會隨著具體系統(tǒng)而變化 邊界條件反映的是系統(tǒng)與外界的相互作用 外界的情況不同 邊界條件的形式當然也不會相同 因此 針對不同的外界 會出現形形色色的邊界條件 5 自然邊界條件 自然邊界條件出現的物理原因和數學原因 6 銜接條件 在系統(tǒng)內部 由于系統(tǒng)在空間上的不均勻性 會造成物理量的不連續(xù)性 在這種地方泛定方程就無法進行有效的描述 在物理量不連續(xù)或有突變的地方附近 物理量的性質的表述稱為銜接條件 7 初始條件 力學中 大家已經對初始條件已經有了足夠的理解 當物理量隨著時間演化時 系統(tǒng)的 歷史 對于其演化是起著重要作用的 而前一時刻系統(tǒng)的狀態(tài)一旦給定 系統(tǒng)以后的狀態(tài)也隨之確定 因此 欲描述系統(tǒng) 必須知道系統(tǒng)的某一時刻的狀態(tài)對系統(tǒng)的某一時刻的狀態(tài)的描述稱為初始條件 8 定解問題 由面的討論知道 欲確定的描述系統(tǒng) 必須確定地給出 描述物理量隨著空間和時間的演化規(guī)律 泛定方程 系統(tǒng)在過去某一時刻的狀態(tài)的完整描述 初始條件 系統(tǒng)與外界的相互作用的完整描述 邊界條件 系統(tǒng)在空間上的不均勻性 所造成物理量的不連續(xù)性或突變的完整描述 銜接條件 構成的對系統(tǒng)的數學描述稱為定解條件 構成的對系統(tǒng)的數學描述稱為定解問題 4 定解條件例 1 弦振動方程的固定端點條件 對于前面的弦振動系統(tǒng) 選如前坐標及規(guī)定 若弦長為L 其兩端點分別固定于x 0 x L處 則邊界條件可寫為 u 0 t u L t 0 2 弦振動方程的彈性端點條件 考慮棒的縱振動 棒的截面積為S 有一x方向的力F作用在棒之右端 取如圖微元 微元之左端受到其余棒的彈性應力P 根據牛頓定律 有 例 長為L的桿 上端固定在電梯天花板上 桿身豎直 下端自由 當電梯下降到速度V時 突然停止 寫出定解條件 解 坐標系 邊界條件 初始條件 例 長為L的均勻弦 兩端固定 弦中張力為T0 在x h處以橫向力F0拉弦 達到穩(wěn)定時 放手讓其自由振動 寫出定解條件 解 如圖 坐標系 邊界條件 初始條件 利用力平衡條件 3 熱傳導問題的邊界條件 系統(tǒng)與熱源相接觸 第一類邊界條件 熱源 的性質 溫度恒定 熱容量為無窮大 因此 系統(tǒng)與熱源相接觸時 系統(tǒng)的表面溫度u與熱源的溫度T0相等 此時有 系統(tǒng)與熱庫相接觸 第三類邊界條件 熱庫 的性質 無溫度特征之規(guī)定 輻射出恒定的熱流M 熱流M的規(guī)定 M稱為熱流強度 M是單位時間內通過單位橫截面積輻射出的熱量 熱流M的規(guī)定 M稱為熱流強度 M是單位時間內通過單位橫截面積輻射出的熱量 但是 熱流的存在并不一定可以保證該熱流被吸收 這一方面取決于熱庫的熱流 另一方面取決于物體表面的性質 因此 討論熱庫與物體的熱相互作用時 所用的M不是熱庫的熱流 而是熱庫與物體的熱相互作用時的有效熱流 例如 物體表面絕熱時 熱量無法進入物體表面 熱庫形同不存在 此時應視為M 0 Fourier定律 熱傳導定律 單位時間內 沿著n方向流過單位橫截面積的熱量為 Newton定律 自由冷卻定律 在溫度為u0的環(huán)境中 溫度為u的物體在自由冷卻的過程中 在單位時間內 物體與外界通過單位橫截面積表面交換的熱量 物體得到的熱量 為 若系統(tǒng)與熱庫相接觸 環(huán)境溫度為u0 系統(tǒng)的表面法向n與熱庫的熱流M的方向的夾角為f 選單位面積表面為研究對象 由能量守恒律 我們有 Fig 絕熱壁 若系統(tǒng)表面是絕熱的 則形同k1 0 M 0此時 我們有 自由冷卻 例 半徑為R而表面熏黑的長圓柱 受到陽光照射 陽光方向與柱軸垂直 熱流強度為M 如圖 寫出這個圓柱熱傳導問題的邊界條件 解 選如圖坐標系 則 4 LaplaceEq問題的邊界條件 5 銜接條件 5 常見的定解問題的形式 1 波動方程 變化 變化都體現在邊界條件上 2 擴散方程 略 所有的討論都和波動方程相同 只須將方程中的對時間的二階偏導數改為對時間的一階偏導數 去掉初始條件中關于對時間的一階偏導數的初值即可 3 Laplace方程