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4 2二次型的標準形與規(guī)范形 一 用配方法化二次型為標準形 一 用配方法化二次型為標準形 令 實對稱矩陣A 經過非退化線性替換 二次型f化為 存在可逆矩陣C 使得 二 用正交替換化二次型為標準形 實對稱矩陣A 存在正交矩陣Q 使得 存在正交矩陣Q 使得 QTAQ A的所有特征值 實對稱矩陣A 經過正交替換 標準形 二次型化為 例1用正交替換化二次型 為標準形 解二次型對應的矩陣為 特征值 再將單位化 得 將 1 2正交化得 并寫出所作的線性替換 是正交矩陣 是正交矩陣 經過非退化的線性替換 二次型化為 例1考慮二次型 有 稱此二次型是正定二次型 相應的矩陣 為正定矩陣 設實二次型 f x1 x2 xn XTAX AT A 如果對任何 則稱二次型 A稱為正定矩陣 是正定二次型 X x1 x2 xn T o 有 例1二次型 對任何 為正定二次型 X x1 x2 xn T o 二次型f x1 x2 xn x12 x22 xr2 r n 4 3二次型和對稱矩陣的有定性 一 正定二次型和正定矩陣 二次型f x1 x2 xn x12 x22 xr2 r n 對x 0 0 f x1 x2 xn 0 xr 1 xn T o 有 故二次型 不是正定二次型 A 大于零 二 二次型正定性的判別 如何判斷一個矩陣或二次型是否正定呢 以下給出幾個矩陣為正定矩陣的充分必要條件 準則1 準則2 f的正慣性指數(shù)為n f正定 準則3 A的特征值都大于零 對稱矩陣A為正定矩陣 稱為矩陣A的順序主子式 準則4對稱陣A為正定矩陣 A的順序主子式都大于零 例1判別下列矩陣或二次型是否正定 A正定 例1判別下列矩陣或二次型是否正定 解二次型對應的矩陣為 該二次型正定 例2 取何值時 下面的二次型正定 解二次型對應的矩陣為 當時 二次型正定 Ex2 取何值時 下面的二次型正定 B正定 三 二次型的有定性 也不是負定的 有 二次型是正定的 有 二次型是負定的 有 二次型是半正定的 使 有 二次型是半負定的 使 例二次型 不是正定的 半 半 此時 稱為不定的 1 二次型的負定性 矩陣A負定 矩陣正定 即奇數(shù)階順序主子式小于零 偶數(shù)階順序主子式大于零 A的順序主子式都為負