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小升初數(shù)學（奧數(shù)）知識點匯總 一、質(zhì)數(shù)、倍數(shù)、倍數(shù)、約數(shù)、整除問題 1、質(zhì)數(shù)（素數(shù)） ① 只有1和它本身兩個約數(shù)的整數(shù)稱為質(zhì)數(shù)； ② 100以內(nèi)質(zhì)數(shù)共25個：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97； ③ 最小的偶合數(shù)是4，最小的奇合數(shù)是9； ④ 0、1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。 ⑤ 每一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)形式是唯一的。 ⑥ 公因數(shù)只有1的兩個非零自然數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。 2、倍數(shù)、約數(shù)性質(zhì) ① 一個數(shù)最小的倍數(shù)是這個數(shù)本身，沒有最大的倍數(shù)； ② “0”沒有約數(shù)和倍數(shù)，一般認為“1”只有約數(shù)“1”； ③ 假如幾個數(shù)都是某一個數(shù)的倍數(shù)，那么這幾個數(shù)的組合也是某個數(shù)的倍數(shù)。 例如：26、39是13的倍數(shù)，則2639也是13的倍數(shù)。 ④ 一般的數(shù)字的約數(shù)的個數(shù)都是偶數(shù)個，但是平方數(shù)的約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)個。 例如：“9”有3個約數(shù)（1、3、9），“16”有5個約數(shù)（1、二、4、8、16）。 ⑤ 約數(shù)和倍數(shù)必須強調(diào)出是哪個數(shù)字的約數(shù)和倍數(shù)。 ⑥ 一個數(shù)既是它本身的倍數(shù)又是它本身的約數(shù)。 ⑦ 一個數(shù)如果有偶約數(shù)，則這個數(shù)必為偶數(shù)。 3、整除性質(zhì) ① 能被“2”整除的數(shù)的特點：末尾數(shù)字是“0、2、4、6、8”； ② 能被“3（9）”整除的數(shù)的特點：各位上數(shù)字和能被“3（9）”整除； ③ 能被“4（25）”整除的數(shù)的特點：末尾兩位能被“4（25）”整除； ④ 能被“5”整除的數(shù)的特點：末尾數(shù)字是“0或5”； ⑤ 能被“8（125）”整除的數(shù)的特點：這個數(shù)末三位能被“8（125）”整除； ⑥ 能被“7、11、13”整除的數(shù)的特點：這個數(shù)從右向左每三位分成一節(jié)，用奇數(shù)節(jié)的和減去偶數(shù)節(jié)的和，所得到的差能被“7、11、13”整除。如果求余數(shù)時，則奇數(shù)節(jié)和小于偶數(shù)節(jié)和時，需要將奇數(shù)節(jié)和加上若干個“7、11、13”，再相減。 ⑦ 能被“11”整除的數(shù)的另一個特點：這個數(shù)奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差能被11整除。例如：“122518”分析：奇數(shù)位數(shù)字和1+2+1=4，偶數(shù)位數(shù)字和2+5+8=15，差為11，說明這個數(shù)可以被11整除。如果求余數(shù)時，則奇數(shù)位數(shù)字和小于偶數(shù)位數(shù)字和時，需要將奇數(shù)位和加上若干個“11”，再相減。 二、公約數(shù)、公倍數(shù) 1、最大公約數(shù)：公有質(zhì)因數(shù)的乘積。通常用“（ ）”表示。 2、最小公倍數(shù)：公有質(zhì)因數(shù)和獨有公因數(shù)的連乘積。用“[ ]”表示。 3、兩個自然數(shù)的最小公約數(shù)和最大公倍數(shù)的乘積=兩個自然數(shù)的乘積 4、如果兩個自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么它們的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積。例如8和9，它們是互質(zhì)數(shù)，所以（8，9）=1，[8，9]=72。 5、如果兩個自然數(shù)中，較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)，較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。例如18與3，183=6，所以（18，3）=3，[18，3]=18。 6、兩個整數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商是互質(zhì)數(shù)。例如8和14分別除以它們的最大公約數(shù)2，所得的商分別為4和7，那么4和7是互質(zhì)數(shù)。 ▲7、根據(jù)互質(zhì)數(shù)的意義，相鄰的自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)，互質(zhì)數(shù)的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積。 8、解題思路和方法 （1）求公約數(shù)和公倍數(shù)一般采用短除法。 （2）對于比較大的兩個數(shù)求最大公約數(shù)（最大公約數(shù)一般大于11），也可以采用輾轉相除法。輾轉相除法步驟：用大數(shù)（被除數(shù)）除以小數(shù)（除數(shù)）得到余數(shù)，所求最大公約數(shù)就是除數(shù)與余數(shù)的最大公約數(shù)，再次相除，依次類推，直到余數(shù)為0，最后一個除數(shù)既是所求的最大公約數(shù)。注意：用輾轉相除法求幾個數(shù)的最大公約數(shù)，可以先求出其中任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再求這個最大公約數(shù)與第三個數(shù)的最大公約數(shù)，依次求下去，直到最后一個數(shù)為止。最后所得的那個最大公約數(shù)，就是所有這些數(shù)的最大公約數(shù)。 例：求319、377的最大公約數(shù)，即求（319，377）。 解：利用輾轉相除法 （319,377）=（377,319） 377319=1余58 （377,319）=（319,58） 31958=5余29 （319,58）=（58,29） 5829=2余0 （58,29）=29 所以（319,377）=29 三、和差、和倍 1、和差：已知兩個數(shù)的和與差，求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫和差問題（已知順水和逆水速度求船速和水速）。 數(shù)量關系：大數(shù)=（和+差）2；小數(shù)=（和-差）2 2、和倍：有兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或者小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做和倍問題。 數(shù)量關系：兩個數(shù)的和（幾倍+1）=較小的數(shù)；較小的數(shù)倍數(shù)=較大的數(shù) 四、差倍、倍比 1、差倍：有兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或者小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做差倍問題。 數(shù)量關系：兩個數(shù)的差（幾倍-1）=較小的數(shù)；較小的數(shù)倍數(shù)=較大的數(shù) 2、倍比：有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，先求出這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應用題叫做倍比問題。 數(shù)量關系：總量一個數(shù)量=倍數(shù)；另一個數(shù)量倍數(shù)=另一總量 五、方程求解問題 1、定義：把應用題中的未知數(shù)用字母代替，根據(jù)等量關系列出含有未知數(shù)的等式（方程），通過解這個方程而得到的答案，這個過程叫做列方程解應用題。 2、數(shù)量關系：方程等號兩邊數(shù)量相等。 3、解題過程可以概括為“審、設、列、解、驗、答”六字法 ① 審：認真審題，弄清應用題中的已知量和未知量各是什么，問題中的等量關系是什么。 ② 設：把應用題中的未知數(shù)設為。 ③ 列：根據(jù)所設的未知數(shù)和題目中的已知條件，按照等量關系列出方程。 ④ 解：求出所列方程的解。 ⑤ 驗：檢驗方程的解是否正確，是否符合題意。 ⑥ 答：回答題目所問，也就是寫出答問的話。 在列方程解應用題是，一般設未知數(shù)、列方程、解方程、答語。必須檢驗。 注意：設未知數(shù)時要在X后面寫上單位名稱，在方程中已知數(shù)和未知數(shù)都不帶單位名稱，求出的X值也不帶單位名稱，在答語中要寫出單位名稱。 六、年齡問題 解題關鍵：緊緊抓住兩人的年齡差不變，兩人年齡之間的倍數(shù)關系隨著年齡的增長在發(fā)生變化。 七、雞兔同籠 1、一般用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然后以兔換雞。如果先假設都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題解決。 2、如果能用方程，二元一次方程求解，最好使用方程求解。 八、相遇問題 1、“相遇”廣義上講，只要兩人在同一地點就算相遇。分兩種情況：（1）迎面相遇（即我們平時說的相遇問題）（2）追及相遇（即我們平時所說的追及問題）。一般題目說的相遇，我們默認是迎面相遇，若題目說只要兩人在同一地點就算作一次相遇，那么兩種情況都要算。 2、數(shù)量關系： ① 總路程=（甲速+乙速）相遇時間 ② 甲乙兩人從同一起點出發(fā)往返運動多次相遇問題，每迎面相遇一次，兩人一起走了2個全程。 ③ 甲乙兩人從兩端點出發(fā)往返運動多次相遇問題，第一次迎面相遇時，兩人走了1個全程，之后沒迎面相遇一次，兩人一起走了2個全程。 3、柳卡圖（了解）：柳卡圖也叫折線圖，解決復雜的行程問題（多次相遇問題）的有效方法。折線圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運動過程中的“相遇次數(shù)”，“相遇地點”，以及“由相遇的地點求出全程”。使用折線示意圖法一般需要我們知道每個物體走完全程所用的時間是多少。 九、追及問題 數(shù)量關系： ① 追及時間=追及路程（快速-慢速） ② 追及路程=（快速-乙速）追及時間 十、列車問題 1、火車過橋：過橋時間=（車長+橋長）車速 2、火車追及：追及時間=（甲車長+乙車長+距離）（甲車速-乙車速） 3、火車相遇：相遇時間=（甲車長+乙車長+距離）（甲車速+乙車速） 十一、行船問題 1、定義：行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度；船只順水航行的速度（順水速度）是船速和水速之和；船只逆水航行的速度（逆水速度）是船速和水速之差。 2、數(shù)量關系： ① 船速=（順水速度+逆水速度）2 ② 水速=（順水速度-逆水速度）2 十二、盈虧問題 1、定義：根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，依次有余（盈），依次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應用題叫做盈虧問題。 2、數(shù)量關系： ①兩次分配中，如果一次盈一次虧，則有： 參加分配總人數(shù)=（盈+虧）分配差 ②兩次分配都是盈或都是虧，則有： 參加分配總人數(shù)=（大盈-小盈）分配差 參加分配總人數(shù)=（大虧-小虧）分配差 十三、工程問題 1、定義：工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關系。這類問題在已知條件中常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一件工作”等，在解題時候，常常用單位“1”表示工作總量。 2、數(shù)量關系：解答工程問題的關鍵是把工作總量看作“1”，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間關系列出算式。 ① 工作量=工作效率工作時間 ② 工作時間=工作量工作效率 ③ 工作時間=總工作量（甲工作效率+乙工作效率） 十四、正反比例問題 1、正比例關系：兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種輛也隨著變化，如果這兩種量中向對應的兩個數(shù)的比值，即商一定，那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。 2、反比例關系：兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中對應的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。 十五、按比例分配問題 比的前后項相加求出總份數(shù)，各部分占總份數(shù)的幾分之幾，再用總量乘以幾分之幾即得各部分量的值。 十六、百分比問題 1、定義：百分數(shù)又叫百分率。是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分數(shù)是一種特殊的分數(shù)。分數(shù)常?？梢酝ǚ?、約分，而百分數(shù)則無需約分。分數(shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，百分數(shù)的分子可以是小數(shù)；百分數(shù)有一個專門的記號“%” 2、數(shù)量關系： ① 百分數(shù)=比較量標準量 ② 標準量=比較量百分數(shù) 十七、商品利潤問題 1、定義：在生產(chǎn)經(jīng)營中，銷售價格高于進貨價的叫盈利，低于進貨價的叫虧本，主要包括成本、利潤、利潤率和虧損、虧損率等方面的問題。 2、數(shù)量關系： ① 利潤=售價-進貨價 ② 利潤率=（售價-進貨價）進貨價100% ③ 售價=進貨價（1+利潤率） ④ 虧損=進貨價-售價 ⑤ 虧損率=（進貨價-售價）進貨價100% 十八、存款利率問題 1、定義：把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個因素有關。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分數(shù)；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分數(shù)。 2、數(shù)量關系： ① 年（月）利率=利息本金存款年（月）數(shù)100% ② 利息=本金存款年（月）數(shù)年（月）利率 ③ 本利和=本金+利息=本金[1+年（月）利率存款年（月）數(shù)] 十九、溶液濃度問題 1、定義：這類問題研究的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質(zhì)、溶液這幾個量的關系。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。溶質(zhì)的量在溶液中的量占百分比叫濃度，也叫百分比濃度。 2、數(shù)量關系： ① 溶液=溶劑+溶質(zhì) ② 濃度=溶質(zhì)溶液100% 3、一般隨外界因素的變化，溶液的溶劑發(fā)生變化，溶質(zhì)的量不變。 二十、牛吃草問題 1、“牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊增加（或邊吃邊減少）這個因素。 2、數(shù)量關系： ① 草總量=原有草量+草每天增加量天數(shù) ② 草總量=原有草量-草每天減少量天數(shù) 二十一、植樹問題 1、定義：按相等的距離植樹，在距離、棵樹、棵距這3個量之間，已知其中兩個量，求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。 2、數(shù)量關系： ① 線形植樹 棵樹=距離棵距+1 ② 環(huán)形植樹 棵樹=距離棵距 ③ 方形植樹 棵樹=每邊棵樹4-4 ④ 三角形植樹 棵樹=每邊棵樹3-3 ⑤ 面積植樹 棵樹=面積（棵距行距） 二十二、方陣問題 1、定義：將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據(jù)已知條件求總人數(shù)或總物數(shù)，這類應用題叫做方陣問題。 2、數(shù)量關系： ① 方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)關系： 四周人數(shù)=（每邊人數(shù)-1）4 每邊人數(shù)=四周人數(shù)4+1 ② 方陣總人數(shù)的求法： 實心方陣：總人數(shù)=每邊人數(shù)每邊人數(shù) 空心方陣：總人數(shù)=（外邊人數(shù)）2 -（內(nèi)邊人數(shù)）2 內(nèi)邊人數(shù)=外邊人數(shù)-層數(shù)2（實際無人） 內(nèi)層每邊人數(shù)=內(nèi)層人數(shù)4-1（實際無人） ③ 若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則： 總人數(shù)=（每邊人數(shù)-層數(shù)）層數(shù)4 3、方陣問題有實心和空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據(jù)具體情況確定。 二十三、時鐘問題 1、定義：時鐘問題就是研究鐘面上時針和分針關系的問題，如兩針重合（0度）、兩針垂直（15格）、兩針成一線（0格或30格）、兩針夾角成60度（10格）、120度（20格）等。時鐘問題可與追及問題相類比。 2、數(shù)量關系：分針速度是時針的12倍 ① 鐘面的一周為60格，每格6；每個數(shù)字間隔為5格，為30。 ② 分針每分鐘走1格，為6；時針每分鐘走格，為0.5。 二十四、幻方問題 1、定義：把nn個自然數(shù)排在正方形的格子中，使各行、各列以及對角線上的各數(shù)之和都相等，這樣的圖叫幻方。最簡單的幻方是三階幻方。 2、數(shù)量關系： 每行、每列、每條對角線上的各數(shù)和都相等，這個和叫做“幻和”。 ① 三階幻方的幻和中間數(shù)的3倍； ② 五階幻方的幻和中間數(shù)的5倍。 二十五、概率和頻率 1、頻率：在一次試驗中某一事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗總數(shù)的比值。 2、概率：某一事件所固有的性質(zhì)。 3、頻率是變化的，每次試驗可能不同，概率是穩(wěn)定值不變。 4、在一定條件下頻率可以近似代替概率。 二十六、小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)混合運算 1、定義 ①真分數(shù)：分子小于分母的分數(shù)； ②假分數(shù)：分子大于或者等于分母的分數(shù)； ③帶分數(shù)：是假分數(shù)的另一種形式，由整數(shù)和真分數(shù)組成； ④最簡比：是最簡單的整數(shù)比，前項和后項都是整數(shù)而且互質(zhì)； ⑤比值：是一個數(shù)，可以是整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)。 2、分數(shù)四則運算 ①分數(shù)加減： a.同分母分數(shù)：分母不變，分子相加減 b.異分母分數(shù)：同分（找分母的最小公倍數(shù)） c.帶分數(shù)加減：整數(shù)+/-整數(shù)，分數(shù)+/-分數(shù) ②分數(shù)乘除： a.乘法：分子分子，分母分母，能約分的先在過程中約分 b.除法：除以一個數(shù)等于乘以它的倒數(shù) 3、分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)的互化 ①分數(shù)化為小數(shù)：用分子除以分母； ②小數(shù)化為分數(shù)：小數(shù)數(shù)字不變，有幾位小數(shù)分母就添幾個“0”，最后化簡； ③小數(shù)與百分數(shù)互換：小數(shù)點左右移動兩位； ④分數(shù)百分數(shù)互化：通過將分母化為100轉換。 4、分數(shù)四則混合運算中的技巧 ① 運算順序：先括號，再乘除，最后加減 ② 減變加不變，除變乘不變：當括號前面是“-”或“”時，添去括號時，括號里面一定要變號。 二十七、小數(shù)和分數(shù)轉換問題 1、小數(shù)轉換為分數(shù) ① 純循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)：循環(huán)節(jié)是幾位就用幾個“9”作為分母；循環(huán)節(jié)作為分子；再化簡。 ② 混循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)：分母：前幾位是“9”，位數(shù)與循環(huán)節(jié)相同；后幾位是“0”，位數(shù)與不循環(huán)部分的數(shù)位相同。分子：不循環(huán)部分與第一個循環(huán)節(jié)連成的數(shù)減去不循環(huán)部分組成的數(shù)。 2、分數(shù)轉換為小數(shù) ① 分母只含有2或5的因數(shù)的最簡分數(shù)，可以化為有限小數(shù)。 ② 分母含有2或5以外的因數(shù)的最簡分數(shù)，可以化為混循環(huán)小數(shù)。 ③ 分母只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)（不包括2和5），可以化為純循環(huán)小數(shù)。 二十八、圖形相關問題 一、公式： 1、三角形面積：S=底高 2、圓面積：S= 3、圓錐體積：V= 4、正方體、長方體有：6個面、12條棱、8個角。 5、勾股定理：在一個直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。 二十九、排列組合 1、定義 ① 排列：從n個不同元素中取出m(m≤n）個元素進行排序，所有排列的個數(shù)用 A(n,m）或表示。 規(guī)定0!=1（n！=n(n-1)(n-2)...1，例如6！=6x5x4x3x2x1） ② 組合：從n個不同元素中取出m(m≤n）個元素，不考慮排序。所有組合的個數(shù)用C(n,m) 或表示。 C(n，m)=C(n，n-m）。（n≥m) 2、基本計數(shù)原理 ① 加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。 ② 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1m2m3…mn種不同的方法。 三十、等差數(shù)列 1、定義：一個數(shù)列中，如果從第二項起，每一項與它前面一項的差都相等，這樣的數(shù)列叫做等差數(shù)列。相鄰兩項的差叫做這個等差數(shù)列的公差。 項數(shù)=（末項-首項）公差+1 首項=末項-（項數(shù)-1）公差 末項=首項+（項數(shù)-1）公差 和=（首項+末項）項數(shù)2 2、相關公式： ① 1+2+3+……+n= ② 1+4+9+16+……+= 8