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第8章梁的應(yīng)力,熟悉工程上常見梁的彎曲正應(yīng)力、彎曲剪應(yīng)力的概念；掌握常見梁的彎曲正應(yīng)力、彎曲剪應(yīng)力的計(jì)算及強(qiáng)度計(jì)算;熟悉平面圖形的幾何性質(zhì);了解強(qiáng)度理論的概念。,梁在荷載作用下，橫截面上一般都有彎矩和剪力，相應(yīng)地在梁的橫截面上有正應(yīng)力和剪應(yīng)力。,8.1梁的彎曲正應(yīng)力,1、變形幾何關(guān)系,彎曲平面假設(shè)：,變形后，橫截面仍保持平面，且仍與縱線正交。,,2、物理關(guān)系,,,3、靜力學(xué)關(guān)系,,,,,z軸必須通過截面的形心,,橫截面對(duì)y和z軸的慣性積為零，y和z軸為主軸,,,,,8.1.2最大彎曲正應(yīng)力,,,,,,,,,,,,圓形截面的抗彎截面系數(shù),矩形截面的抗彎截面系數(shù),空心圓截面的抗彎截面系數(shù),例8.1圖所示懸臂梁，自由端承受集中荷載F作用，已知：h=18cm，b=12cm，y=6cm，a=2m，F(xiàn)=1.5KN。計(jì)算A截面上K點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力。,解：先計(jì)算截面上的彎矩,,截面對(duì)中性軸的慣性矩,,,A截面上的彎矩為負(fù)，K點(diǎn)是在中性軸的上邊，所以為拉應(yīng)力。,8.2平面圖形的幾何性質(zhì),反映截面形狀和尺寸的某些性質(zhì)的一些量，統(tǒng)稱為截面的幾何性質(zhì)。,8.2.1形心和靜矩,形心坐標(biāo)公式：,靜矩又稱面積矩,,,,,,,組合圖形是幾個(gè)規(guī)則而成的圖形。,圖形組合的靜矩：,圖形組合的形心坐標(biāo)公式：,8.2.2慣性矩、慣性積和平行移軸定理,慣性矩定義為：,,慣性積定義為：,,,極慣性矩定義為：,,同一截面對(duì)不同的平行的軸，它們的慣性矩和慣性積是不同的。,,,,,,平行移軸公式,例8.2計(jì)算圖示T形截面的形心和過它的形心z軸的慣性矩。,選參考坐標(biāo)系ozy,,（2）計(jì)算截面慣性矩,,8.3梁的彎曲剪應(yīng)力,當(dāng)梁的跨度很小或在支座附近有很大的集中力作用，這時(shí)梁的最大彎矩比較小，而剪力卻很大，如果梁截面窄且高或是薄壁截面，這時(shí)剪應(yīng)力可達(dá)到相當(dāng)大的數(shù)值，剪應(yīng)力就不能忽略了。,8.3.1矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力,,,,,Iz代表整個(gè)橫截面對(duì)中性軸矩z的慣性距；而Sz*則代表y處橫線一側(cè)的部分截面對(duì)z軸的靜距。對(duì)于矩形截面，,,,矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力沿截面高度呈拋物線分布；在截面的上、下邊緣,剪應(yīng)力τ=0；在中性軸(y=0),剪應(yīng)力最大，,剪應(yīng)力最大公式：,8.3.2工字形截面梁的彎曲剪應(yīng)力,,腹板上的彎曲剪應(yīng)力沿腹板高度方向也是呈二次拋物線分布，在中性軸處(y=0)，剪應(yīng)力最大，,在腹板與翼緣的交接處(y=h/2)，剪應(yīng)力最小，,,,近似地得表示腹板的剪應(yīng)力,,,或,,8.3.3圓形截面梁的彎曲剪應(yīng)力,,在中性軸上，剪應(yīng)力為最大值τmax,,一般公式：,例8.3梁截面如圖8.16(a)所示，橫截面上剪力FQ=15KN。試計(jì)算該截面的最大彎曲剪應(yīng)力，以及腹板與翼緣交接處的彎曲剪應(yīng)力。截面的慣性矩Iz=8.8410?6m4。,最大彎曲剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上。中性軸一側(cè)的部分截面對(duì)中性軸的靜矩為：,解：1.最大彎曲剪應(yīng)力。,,最大彎曲剪應(yīng)力：,,(2).腹板、翼緣交接處的彎曲剪應(yīng)力,,,交接處的彎曲剪應(yīng)力,8.4梁的強(qiáng)度條件,為了保證梁的安全工作，梁最大應(yīng)力不能超出一定的限度，也即，梁必須要同時(shí)滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。,8.4.1彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件,彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：,,要求梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力σmax不超過材料在單向受力時(shí)的許用應(yīng)力[σ],利用上述強(qiáng)度條件，可以對(duì)梁進(jìn)行三方面的計(jì)算：正應(yīng)力強(qiáng)度校核、截面選擇和確定容許荷載。,8.4.2彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件,最大彎曲剪應(yīng)力作用點(diǎn)處于純剪切狀態(tài)，相應(yīng)的強(qiáng)度條件為：,,要求梁內(nèi)的最大彎曲剪應(yīng)力τmax不超過材料在純剪切時(shí)的許用剪應(yīng)力[τ],在一般細(xì)長(zhǎng)的非薄壁截面梁中，最大彎曲正應(yīng)力遠(yuǎn)大于最大彎曲剪應(yīng)力。,但是，對(duì)于薄壁截面梁與彎矩較小而剪力卻較大的梁，后者如短而粗的梁、集中荷載作用在支座附近的梁等，則不僅應(yīng)考慮彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件，而且彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件也可能起控制作用。,例8.4圖所示外伸梁，用鑄鐵制成，橫截面為T字形，并承受均布荷載q作用。試校該梁的強(qiáng)度。已知荷載集度q=25N/mm，截面形心離底邊與頂邊的距離分別為y1=95mm和y2=95mm，慣性矩Iz=8.8410-6m4，許用拉應(yīng)力[σt]=35MPa，許用壓應(yīng)力[σc]=140Mpa。,解：（1）危險(xiǎn)截面與危險(xiǎn)點(diǎn)判斷。,梁的彎矩如圖示，在橫截面D與B上，分別作用有最大正彎矩與最大負(fù)彎矩，因此，該二截面均為危險(xiǎn)截面。,截面D與B的彎曲正應(yīng)力分布分別如圖示。截面D的a點(diǎn)與截面B的d點(diǎn)處均受壓；而截面D的b點(diǎn)與截面B的c點(diǎn)處均受拉。,由于|MD|>|MB|，|ya|>|yd|,|因此|σa|>|σd|,即梁內(nèi)的最在彎曲壓應(yīng)力σc,max發(fā)生在截面D的a點(diǎn)處。至于最大彎曲拉應(yīng)力σt,max,究竟發(fā)生在b點(diǎn)處，還是c點(diǎn)處，則須經(jīng)計(jì)算后才能確定。,（2）強(qiáng)度校核。,,,梁的彎曲強(qiáng)度符合要求,例8.5懸臂工字鋼梁AB，長(zhǎng)l=1.2m，在自由端有一集中荷載F，工字鋼的型號(hào)為18號(hào)，已知鋼的許用應(yīng)力[σ]=170Mpa，略去梁的自重，(1)試計(jì)算集中荷載F的最大許可值。(2)若集中荷載為45kN，確定工字鋼的型號(hào)。,解：1.梁的彎矩圖如圖示，最大彎矩在靠近固定端處，其絕對(duì)值為：,Mmax=Fl=1.2FNm,F的最大許可值為：,103N=26.2kN,由附錄中查得，18號(hào)工字鋼的抗彎截面模量為,Wz=185103mm3,公式(8.16)得：1.2F≤(18510-6)(170106),(2)最大彎矩值Mmax=Fl=1.245103=54103Nm,按強(qiáng)度條件計(jì)算所需抗彎截面系數(shù)為：,,查附錄可知，22b號(hào)工字鋼的抗彎截面模量為325cm3，所以可選用22b號(hào)工字鋼。,例8.6例8.5中的18號(hào)工字鋼懸臂梁，按正應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算，在自由端可承受的集中荷載F=26.2KN。已知鋼材的抗剪許用應(yīng)力[τ]=100Mpa。試按剪應(yīng)力校核梁的強(qiáng)度，繪出沿著工字鋼腹板高度的剪應(yīng)力分布圖，并計(jì)算腹板所擔(dān)負(fù)的剪力FQ1。,解：（1）按剪應(yīng)力的強(qiáng)度校核。,截面上的剪力FQ=26.2kN。由附錄查得18號(hào)工字鋼截面的幾個(gè)主要尺寸,Iz=1660104mm4,,腹板上的最大剪應(yīng)力,,腹板上的最小剪應(yīng)力為,,（3）腹板所擔(dān)負(fù)剪力的計(jì)算,,可見，腹板所擔(dān)歲的剪力占整個(gè)截面剪力FQ的96.6%。,8.5提高梁強(qiáng)度的措施,在橫力彎曲中，控制梁強(qiáng)度的主要因素是梁的最大正應(yīng)力，梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件,,,8.5.1合理安排梁的受力情況,8.5.2選用合理的截面形狀,矩形截面比圓形截面好，工字形截面比矩形截面好得多,8.5.3采用變截面梁,思考題,1.推導(dǎo)梁平面彎曲正應(yīng)力公式時(shí)作了哪些假設(shè)？在什么條件下才是正確的？為什么要作這些假設(shè)？,2．在什么條件下梁只發(fā)生平面彎曲？,3.什么是中性層和中性軸？直梁平面彎曲時(shí)為什么中性軸通過截面形心？,4.提高粱的彎曲強(qiáng)度有哪些措施？,習(xí)題,8.1一矩形截面梁，梁上作用均布荷載，已知：l=4m，b=14cm，h=21cm，q=2kN/m，,試校核梁的強(qiáng)度。,彎曲時(shí)木材的容許應(yīng)力,8.2簡(jiǎn)支梁承受均布荷載如圖所示。若分別采用截面面積相等的實(shí)心和空心圓截面，且D1=40mm,,試分別計(jì)算它們的最大正應(yīng)力。并問空心截面比實(shí)心截面的最大正應(yīng)力減小了百分之幾？,8.3圖示懸臂梁，橫截面為矩形，承受載荷F1與F2作用，且F1=2F2=5kN。試計(jì)算梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力，及該應(yīng)力所在截面上K點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力。,8.6圖示截面梁，橫截面上剪力FQ=300kN，試計(jì)算：（a）圖中截面上的最大剪應(yīng)力和A點(diǎn)的剪應(yīng)力；（b）圖中腹板上的最大剪應(yīng)力，以及腹板與翼緣交界處的剪應(yīng)力。,8.7圖示矩形截面木梁，許用應(yīng)力[σ]=10Mpa。（1）試根據(jù)強(qiáng)度要求確定截面尺寸b。（2）若在截面A處鉆一直徑為d=60mm的圓孔(不考慮應(yīng)力集中)，試問是否安全。,8.8一對(duì)稱T形截面的外伸梁，梁上作用均布荷載，梁的截面如圖所示。已知：,求梁截面中的的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。,8.13圖示結(jié)構(gòu)，承受集中荷載F作用，試校核橫梁的強(qiáng)度。已知荷載F=12kN，橫梁用No.14工字鋼制成，許用應(yīng)力[σ]=160MPa。,,8.14矩形截面懸臂梁如圖所示，已知l=4m，b/h=2/3,q=10kN/m，[σ]=10MPa。試確定梁橫截面的尺寸。,8.15圖示簡(jiǎn)支梁由22b工字鋼梁制成，上面作用一集中力，材料的許用應(yīng)力[σ]=170MPa，試校核該梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。,8.17如圖所示懸臂梁，自右端作用一集中力F=15kN,拭計(jì)算截面B-B的最大彎曲拉應(yīng)力和最大彎曲壓應(yīng)力。,