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章末綜合測評(二)　圓錐曲線與方程 (時間120分鐘，滿分160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分.請把答案填寫在題中橫線上.) 1.雙曲線－＝1的兩條漸近線的方程為________. 【解析】　由雙曲線方程可知a＝4，b＝3，所以兩條漸近線方程為y＝x. 【答案】　y＝x 2.(2015上海高考)已知(2,0)是雙曲線x2－＝1(b＞0)的一個焦點，則b＝________. 【解析】　由題意知c＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝3，所以b＝. 【答案】　 3.若方程＋＝1表示橢圓，則k的取值范圍為________. 【解析】　由題意可知解得3＜k＜5且k≠4. 【答案】　(3,4)∪(4,5) 4.以y＝3為準線的拋物線的標準方程為________. 【解析】　設(shè)拋物線的標準方程為x2＝2py(p＞0)，則－＝3，p＝－6，則拋物線方程為x2＝－12y. 【答案】　x2＝－12y 5.(2015上海高考)拋物線y2＝2px(p＞0)上的動點Q到焦點的距離的最小值為1，則p＝________. 【解析】　依題意，點Q為坐標原點，所以＝1，即p＝2. 【答案】　2 6.橢圓＋＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若PF1＝4，則PF2＝______，∠F1PF2的大小為______. 【解析】　由橢圓的定義知PF1＋PF2＝2a＝23＝6，因為PF1＝4，所以PF2＝2.在△PF1F2中，cos∠F1PF2＝＝－，∴∠F1PF2＝120. 【答案】　2　120 7.已知A(0，－1)、B(0,1)兩點，△ABC的周長為6，則△ABC的頂點C的軌跡方程是________. 【解析】　∵2c＝AB＝2，∴c＝1，∴CA＋CB＝6－2＝4＝2a，∴頂點C的軌跡是以A、B為焦點的橢圓(A、B、C不共線).因此，頂點C的軌跡方程＋＝1(y≠2). 【答案】　＋＝1(y≠2) 8.(2015天津高考改編)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一個焦點為F(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝3相切，則雙曲線的方程為________. 【導學號：24830061】 【解析】　由雙曲線的漸近線bx－ay＝0與圓(x－2)2＋y2＝3相切得＝， 由c＝＝2，解得a＝1，b＝. 【答案】　x2－＝1 9.已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F1(－，0)，點P位于該雙曲線上，線段PF1的中點坐標為(0,2)，則雙曲線的方程是________. 【解析】　∵F1(－，0)，PF1的中點坐標為(0,2)，∴P的坐標為(，4). 又∵雙曲線的一個焦點為F1(－，0)，∴另一個焦點為F2(，0). ∴2a＝|PF1－PF2|＝－＝2.∴a＝1. 又∵c＝，∴b2＝c2－a2＝4.∴雙曲線方程為x2－＝1. 【答案】　x2－＝1 10.已知拋物線C：x2＝y(tǒng)，過點A(0，－1)和點B(t,3)的直線與拋物線C沒有公共點，則實數(shù)t的取值范圍是________. 【解析】　顯然t≠0，直線AB的方程為y＝x－1，代入拋物線方程得2tx2－4x＋t＝0. 由題意Δ＝16－8t2<0，解得t<－或t>. 【答案】　(－∞，－)∪(，＋∞) 11.若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最大值為________. 【解析】　橢圓的左焦點F為(－1,0)，設(shè)P(x，y)， ＝(x，y)(x＋1，y)＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2 ∵－2≤x≤2，∴當x＝2時，有最大值6. 【答案】　6 12.一動圓與兩圓：x2＋y2＝1和x2＋y2－6x＋5＝0都外切，則動圓圓心的軌跡為________. 【解析】　x2＋y2＝1是以原點為圓心，半徑為1的圓，x2＋y2－6x＋5＝0化為標準方程為(x－3)2＋y2＝4，是圓心為A(3,0)，半徑為2的圓.設(shè)所求動圓圓心為P，動圓半徑為r，如圖，則?PA－PO＝1＜AO＝3， 符合雙曲線的定義，結(jié)合圖形可知，動圓圓心的軌跡為雙曲線的一支. 【答案】　雙曲線的一支 13.(2015山東高考)過雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點作一條與其漸近線平行的直線，交C于點P，若點P的橫坐標為2a，則C的離心率為________. 【解析】　先表示出直線的方程和點P的坐標，再將點P的坐標代入直線的方程可得關(guān)于a，b，c的方程，化簡可以求出離心率.如圖所示，不妨設(shè)與漸近線平行的直線l的斜率為，又直線l過右焦點F(c,0)，則直線l的方程為y＝(x－c).因為點P的橫坐標為2a，代入雙曲線方程得－＝1，化簡得y＝－b或y＝b(點P在x軸下方，故舍去)，故點P的坐標為(2a，－b)，代入直線方程得－b＝(2a－c)，化簡可得離心率e＝＝2＋. 【答案】　2＋ 14.已知直線y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若FA＝2FB，則k＝________. 【解析】　過A、B作拋物線準線l的垂線，垂足分別為A1、B1， 由拋物線定義可知，AA1＝AF，BB1＝BF，又∵2FB＝FA，∴AA1＝2BB1，即B為AC的中點.從而yA＝2yB，聯(lián)立方程組?消去x得y2－y＋16＝0， ∴?，消去yB得k＝. 【答案】　 二、解答題(本大題共6小題，共90分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.) 15.(本小題滿分14分)已知拋物線C1的頂點在坐標原點，它的焦點為雙曲線C2：－＝1(a>0，b>0)的一個焦點F，若拋物線C1與雙曲線C2的一個交點是M. (1)求拋物線C1的方程及其焦點F的坐標； (2)求雙曲線C2的方程及離心率e. 【解】　設(shè)拋物線C1的方程為y2＝2px(p＞0)，因為圖象過點M， 則有2＝2p，所以p＝2，則拋物線C1的方程為y2＝4x，焦點F的坐標為(1,0). (2)由雙曲線C2過點M以及焦點為(1,0)和(－1,0)，由雙曲線的定義可知 2a＝－＝，所以a＝，b2＝ ， 所以雙曲線C2的方程為9x2－y2＝1，離心率e＝3. 16.(本小題滿分14分)橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，焦距為2.一雙曲線和該橢圓有公共焦點，且雙曲線的半實軸長比橢圓的半長軸長小4，雙曲線離心率與橢圓離心率之比為7∶3，求橢圓和雙曲線的方程. 【解】　①焦點在x軸上，橢圓為＋＝1(a>b>0)，且c＝. 設(shè)雙曲線為－ ＝1(m>0，n>0)，m＝a－4.因為＝，所以＝，解得a＝7，m＝3. 因為橢圓和雙曲線的焦半距為，所以b2＝36，n2＝4. 所以橢圓方程為＋＝1，雙曲線方程為－＝1. ②焦點在y軸上，橢圓方程為＋＝1，雙曲線方程為－＝1. 17.(本小題滿分14分)如圖1所示，已知斜率為1的直線l過橢圓＋y2＝1的右焦點F，交橢圓于A、B兩點，求弦AB的長. 圖1 【解】　設(shè)A、B兩點的坐標分別為A(x1，y1)、B(x2，y2)，由橢圓方程知a2＝4，b2＝1，c2＝3，所以F(，0)，直線l的方程為y＝x－.將其代入x2＋4y2＝4，化簡整理，得5x2－8x＋8＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝. 所以AB＝|x1－x2| ＝＝＝. 18.(本小題滿分16分)如圖2，已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為4(＋1)，一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任意一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D. 圖2 (1)求橢圓和雙曲線的標準方程； (2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，求證：k1k2＝1. 【解】　 (1)設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意知，＝，2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2. 又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故橢圓的標準方程為＋＝1. 由題意設(shè)等軸雙曲線的標準方程為－＝1(m＞0)，因為等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，所以m＝2，因此雙曲線的標準方程為－＝1. (2)證明：設(shè)P(x0，y0)，則k1＝，k2＝. 因為點P在雙曲線x2－y2＝4上， 所以x－y＝4. 因此k1k2＝＝＝1，即k1k2＝1. 19.(本小題滿分16分)已知直線y＝－x＋2和橢圓＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B兩點，M為AB的中點，若AB＝2，直線OM的斜率為(O為坐標原點)，求橢圓的方程. 【解】　由消去y，整理得(a2＋4b2)x2－8a2x＋16a2－4a2b2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝，x1x2＝. 又設(shè)AB的中點M(xM，yM)，則xM＝＝，yM＝－xM＋2＝. ∵直線OM的斜率kOM＝＝，∴＝，∴a2＝4b2， 從而x1＋x2＝＝4，x1x2＝＝8－2b2. 又∵AB＝2，∴ ＝2，即＝2， 解得b2＝4，∴a2＝4b2＝16，故所求橢圓的方程為＋＝1. 20.(本小題滿分16分)(2016鹽城高二檢測)設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點 為A，上頂點為B.已知AB＝F1F2. (1)求橢圓的離心率. (2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F1，經(jīng)過點F2的直線l與該圓相切于點M，MF2＝2.求橢圓的方程. 【解】　(1)設(shè)橢圓右焦點F2的坐標為(c,0)，由AB＝F1F2，可得a2＋b2＝3c2， 又b2＝a2－c2，則＝.所以橢圓的離心率e＝. (2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2，故橢圓方程為＋＝1. 設(shè)P(x0，y0)，由F1(－c,0)，B(0，c)，有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)， 由已知，有＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0. 又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.① 因為點P在橢圓上，故＋＝1.② 由①和②可得3x＋4cx0＝0，而點P不是橢圓的頂點，故x0＝－，代入①得y0＝，即點P的坐標為.設(shè)圓的圓心為T(x1，y1)，則x1＝＝－c，y1＝＝c， 進而圓的半徑r＝＝c.由已知，有TF＝MF＋r2，又MF2＝2， 故有2＋2＝8＋c2.解得c2＝3.所以所求橢圓的方程為＋＝1.