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1、純彎曲,一般情況下，梁的橫截面上既有剪力，又有彎矩。剪力是相切于橫截面的內(nèi)力系的合力；彎矩是垂直于橫截面的內(nèi)力系的合力。因此，剪力只與橫截面上的切應(yīng)力τ有關(guān)；彎矩只與橫截面上的正應(yīng)力σ有關(guān)。,若梁的某段上各橫截面上的剪力為零，彎矩為常量，則該段梁的彎曲稱為純彎曲。而既有剪力，又有彎矩的梁的彎曲，稱為橫力彎曲。,AC、DB段既有剪力又有彎矩，橫截面上同時(shí)存在正應(yīng)力和切應(yīng)力——橫力彎曲,CD段只有彎矩，橫截面上就只有正應(yīng)力而無(wú)切應(yīng)力——純彎曲。,4－4梁橫截面上的正應(yīng)力梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件,2純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力,矩形截面梁實(shí)驗(yàn)觀察,考慮一段純彎曲梁，若只用靜力平衡條件，不能找出應(yīng)力分布規(guī)律，因此先來(lái)做一個(gè)實(shí)驗(yàn)。,2純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力,實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果,變形前,變形后,（1）變形后mm’nn’仍為直線，但相互傾斜了一個(gè)角度，并仍然垂直于彎曲后的縱向線aa,bb,（2）所有縱向線都彎曲成曲線，靠近底面的縱向線伸長(zhǎng)，靠近頂面的縱向線縮短，而位于其間某一位置的一條縱向線長(zhǎng)度不變。,2純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力,（3）原來(lái)的矩形截面，變形后上部變寬，下部變窄。,假設(shè),根據(jù)實(shí)驗(yàn)觀察到的純彎曲梁外表的變化，可以推斷梁的內(nèi)部變形，從而啟發(fā)人們提出如下假設(shè)：,（1）梁在受力彎曲后，其原來(lái)的橫截面仍為平面，并繞垂直于縱對(duì)稱面的某一軸旋轉(zhuǎn)，但仍垂直于梁變形后的軸線——平面假設(shè)。,2純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力,（2）所有與軸線平行的縱向纖維都是軸向拉伸或壓縮的（即縱向纖維之間無(wú)擠壓）。,變形前,變形后,根據(jù)平面假設(shè)，把梁看成是由無(wú)數(shù)根纖維所組成的。因?yàn)榱旱纳喜坷w維縮短，下部纖維伸長(zhǎng)，所以其中必有一層縱向纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，把它叫做中性層。,中性層和橫截面的交線，叫做中性軸。這樣一來(lái)，彎曲變形的特點(diǎn)可以歸結(jié)為：各橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)，中性層以下的纖維伸長(zhǎng)，中性層以上的纖維縮短。,3、純彎曲時(shí)正應(yīng)力公式的推導(dǎo),變形?應(yīng)變?應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系?應(yīng)力,變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系,3、純彎曲時(shí)正應(yīng)力公式的推導(dǎo)—變形幾何關(guān)系,從純彎曲梁中沿軸線取dx的微段:,中性層位于CC,mm’變形前長(zhǎng)度:,mm’變形后長(zhǎng)度:,mm’位置的線應(yīng)變:,表明:距離中性層為y的任一縱向纖維的線應(yīng)變與y成正比，與r成反比,3、純彎曲時(shí)正應(yīng)力公式的推導(dǎo)—物理關(guān)系,縱向纖維之間無(wú)正應(yīng)力，每一纖維都是單向拉伸或者壓縮，當(dāng)應(yīng)力小于某一限值(比例極限)時(shí)，滿足胡克定律:,代入幾何關(guān)系,得到,3、純彎曲時(shí)正應(yīng)力公式的推導(dǎo)—靜力學(xué)關(guān)系,前面推導(dǎo)了橫截面上的正應(yīng)力分布規(guī)律，但還不能計(jì)算正應(yīng)力，主要是因?yàn)榍拾霃胶椭行暂S的位置均還未知。還需要從靜力學(xué)關(guān)系求出。,取對(duì)稱軸為y軸，中性軸為z軸，過(guò)y，z軸的交點(diǎn)并與梁的縱向線平行的軸為x軸。,純彎曲梁上只有正應(yīng)力。把橫截面分成無(wú)數(shù)微面元，在坐標(biāo)（y，z）處的微面元dA上作用著微內(nèi)力σdA。橫截面上這些微內(nèi)力構(gòu)成空間平面力系，并且可以組成三個(gè)內(nèi)力分量：,3、純彎曲時(shí)正應(yīng)力公式的推導(dǎo)—靜力學(xué)關(guān)系,由截面法可知：純彎曲情況下,即橫截面對(duì)z軸的靜矩等于零,表明Z軸（中性軸）通過(guò)截面形心,由此確定了中性軸的位置。,該式自動(dòng)滿足。,3、純彎曲時(shí)正應(yīng)力公式的推導(dǎo)—靜力學(xué)關(guān)系,橫截面對(duì)z軸（中性軸）的慣性矩,1/r為梁軸線變形后的曲率,EIz越大1/r越小,EIz?梁的抗彎剛度,3、純彎曲時(shí)正應(yīng)力公式的推導(dǎo),?,M?該點(diǎn)的彎矩,Iz?截面對(duì)z軸（中性軸）的慣性矩,,3、純彎曲時(shí)正應(yīng)力分布關(guān)系,對(duì)某一截面而言，M和Iz若都是確定的，當(dāng)橫截面的彎矩為正時(shí)，則s(y)沿截面高度的分布規(guī)律:,受壓一側(cè)正應(yīng)力為負(fù)，受拉一側(cè)正應(yīng)力為正,3、純彎曲時(shí)正應(yīng)力分布關(guān)系,由公式可知，某一截面的最大正應(yīng)力發(fā)生在距離中性軸最遠(yuǎn)處。,取,Wz?抗彎截面系數(shù)（抗彎截面模量）,3、純彎曲時(shí)正應(yīng)力分布關(guān)系,實(shí)心矩形截面的抗彎截面系數(shù),實(shí)心圓截面（直徑為d）的抗彎截面系數(shù),,,,,,,,,4、梁橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力,梁在橫力彎曲時(shí)，橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。,在橫力彎曲下，橫截面不再保持平面，而且往往也不能保證縱向纖維之間沒(méi)有擠壓。雖然橫力彎曲和純彎曲之間存在這些差異，但進(jìn)一步的分析表明，用純彎曲梁的正應(yīng)力公式計(jì)算細(xì)長(zhǎng)梁橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力，并不會(huì)引起很大的誤差，其計(jì)算結(jié)果仍能夠滿足工程問(wèn)題的精度要求，因此下面的式子仍然適用:,1、梁橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力,對(duì)于變截面梁，最大彎曲正應(yīng)力并不一定出現(xiàn)在彎矩最大的橫截面上，其大小應(yīng)為:,彎矩最大的截面并不一定是危險(xiǎn)截面。,梁的最大正應(yīng)力不僅和彎矩M有關(guān)，而且和截面的形狀尺寸有關(guān)。,例1受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁如圖所示，試求：（1）1-1截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力；（2）此截面上的最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；（4）已知E=200GPa，求1-1截面的曲率半徑。,解：?畫M圖求截面彎矩,?求應(yīng)力,(壓應(yīng)力),?求曲率半徑,5、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件,等直梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩的橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處，而該點(diǎn)的切應(yīng)力等于零或與該點(diǎn)的正應(yīng)力相比很小。此外，縱截面上由橫向力所引起的擠壓應(yīng)力可略去不計(jì)。因此，可將橫截面上最大正應(yīng)力所在各點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)看作是單軸應(yīng)力狀態(tài)。于是，可以按照單軸應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件的形式來(lái)建立梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件：梁的橫截面上的最大工作正應(yīng)力不超過(guò)材料的許用彎曲正應(yīng)力。即,按上式可對(duì)彎曲梁進(jìn)行強(qiáng)度校核，選擇梁的截面，或確定梁的許可荷載。,5、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件,關(guān)于材料的許用彎曲正應(yīng)力的確定，一般就以材料的許用拉應(yīng)力作為其許用彎曲正應(yīng)力。事實(shí)上，由于彎曲和軸向拉伸時(shí)桿的橫截面上正應(yīng)力的變化規(guī)律不同，材料的彎曲與軸向拉伸時(shí)的強(qiáng)度并不相同，因而在某些設(shè)計(jì)規(guī)范中所規(guī)定的許用彎曲正應(yīng)力就比其許用拉應(yīng)力略高。,對(duì)于用鑄鐵等脆性材料制成的梁，由于材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力不同，而梁橫截面的中性軸往往也不是對(duì)稱軸，因此，梁的最大工作拉應(yīng)力和工作壓應(yīng)力要求分別不超過(guò)材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力。,設(shè)有一受任意橫向荷載作用的梁，在距左端x處取梁中長(zhǎng)為dx的微段進(jìn)行受力分析,在一般情況下，左右兩橫截面上的彎矩并不相同，因而在同一y坐標(biāo)處的正應(yīng)力也不相同。,1、橫力彎曲矩形截面梁的切應(yīng)力,1.1切應(yīng)力公式推導(dǎo)*,4－5梁橫截面上的切應(yīng)力梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件,1.1切應(yīng)力公式推導(dǎo)*,為推導(dǎo)橫截面上的切應(yīng)力的表達(dá)式，還需要知道切應(yīng)力沿截面寬度的變化規(guī)律以及切應(yīng)力的方向。對(duì)狹長(zhǎng)矩形截面，切應(yīng)力沿截面寬度的變化不可能很大，于是，可有下面的假設(shè)：,1）橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力必與側(cè)邊平行。,2）橫截面上距中性層等遠(yuǎn)處各點(diǎn)處的切應(yīng)力大小相等。,1.1切應(yīng)力公式推導(dǎo)*,為了研究橫截面上距離中性層y處的切應(yīng)力τ的數(shù)值，可在該處用一個(gè)平行于中性層，并與中性層距離為y的縱截面pp1，將微段的下半部分截出。,根據(jù)上面的假設(shè)，可得分離體各面上的應(yīng)力如圖所示：,1.1切應(yīng)力公式推導(dǎo)*,研究x方向的平衡,距中性軸為y處的橫線以外部分橫截面積A1對(duì)中性軸的靜矩。,同理可得,1.1切應(yīng)力公式推導(dǎo)*,研究x方向的平衡,頂邊分布的切應(yīng)力的合力dF的大小,由,1.2矩形截面梁的切應(yīng)力公式,橫截面上的剪力,整個(gè)截面對(duì)中性軸的慣性矩,梁橫截面上距中性軸為y的橫線以外部分的面積對(duì)中性軸的靜矩,所求切應(yīng)力點(diǎn)的位置的梁截面的寬度。,上述公式對(duì)組合矩形截面梁亦可使用。,1.2矩形截面梁的切應(yīng)力公式,對(duì)于矩形截面梁，公式可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換,這樣，公式可以改寫為,在截面的兩端，y=h/2,在中性層，y=0,如圖切應(yīng)力分布規(guī)律,1.3橫力彎曲時(shí)其他形狀截面梁的切應(yīng)力-工字形截面梁,工字形截面由翼緣和腹板組成,上翼緣,下翼緣,腹板,由于腹板截面是狹長(zhǎng)矩形，因此前面的假設(shè)仍然適用，若要計(jì)算腹板上距中性軸y處的切應(yīng)力，Sz*是圖中黃色部分面積對(duì)中性軸的靜矩。,經(jīng)計(jì)算可得公式為,沿高度的分布規(guī)律如圖,結(jié)果表明，腹板幾乎全部承擔(dān)了橫截面上的剪力，且最大切應(yīng)力和最小切應(yīng)力相差不大，因此接近均勻分布。,1.4橫力彎曲時(shí)其他形狀截面梁的切應(yīng)力-圓形、圓環(huán)形截面梁,根據(jù)分析結(jié)果，圓形和圓環(huán)形截面梁的最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，并且沿中性軸均勻分布，其值分別為:,圓形截面,圓環(huán)形（薄壁）截面,1.5橫力彎曲時(shí)其他形狀截面梁的切應(yīng)力-T形截面梁,T形截面梁上的切應(yīng)力分布規(guī)律如圖所示：,最大切應(yīng)力位于中性軸，大小為:,橫截面中性軸z一側(cè)面積（上部或下部對(duì)z軸的靜矩）,腹板寬度,1.6組合矩形截面,如圖所示，倒T形截面，若求圖示A點(diǎn)的切應(yīng)力，則在應(yīng)用公式時(shí)b和Sz*應(yīng)該如何計(jì)算？,b指的是A點(diǎn)截面寬度,Sz*指的是某塊面積對(duì)中性軸的靜矩，圖示應(yīng)為哪個(gè)面積?,例1,如圖所示矩形截面梁，已知,求危險(xiǎn)截面上a、c、d、e、f五點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力,1）確定危險(xiǎn)截面，首先畫出剪力彎矩圖,危險(xiǎn)截面位于B截面右側(cè),2）計(jì)算截面慣性矩,FS(kN),3）計(jì)算正應(yīng)力,拉,拉,位于中性軸,壓,壓,FS(kN),3）計(jì)算切應(yīng)力,FS(kN),對(duì)于橫力彎曲下的等直梁，其橫截面上一般既有剪力，又有彎矩。梁除滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件外，還要滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件。,2切應(yīng)力強(qiáng)度條件,等直梁的最大切應(yīng)力一般發(fā)生在最大剪力所在的截面的中性軸上各點(diǎn)處，這些點(diǎn)處的正應(yīng)力為0，在略去縱截面間的擠壓應(yīng)力后，最大切應(yīng)力所在點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。于是，可按照純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件來(lái)建立梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件：,?鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時(shí)，要校核切應(yīng)力。,?梁的跨度較短，M較小，而Fs較大時(shí)，要校核切應(yīng)力。,?各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核切應(yīng)力。,,,,,在選擇梁的截面時(shí)，必須同時(shí)滿足正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件。在選擇危險(xiǎn)截面時(shí)，通常先按正應(yīng)力強(qiáng)度選擇截面，再按切應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核。梁的強(qiáng)度大多由正應(yīng)力控制，按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選好截面后，一般并不需要再進(jìn)行切應(yīng)力校核。除非碰到以下特殊情況：,解：?畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力,例2矩形(b?h=0.12m?0.18m）截面木梁如圖，[?]=7MPa，[?]=0.9MPa，試求最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力之比,并校核梁的強(qiáng)度。,A,B,L=3m,?求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度,?應(yīng)力之比,,,,,解：?畫彎矩圖并求危面內(nèi)力,例3T字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的[?L]=30MPa，[?y]=60MPa，其截面形心位于C點(diǎn)，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4，試校核此梁的強(qiáng)度。并說(shuō)明T字梁怎樣放置更合理？,?畫危面應(yīng)力分布圖，找危險(xiǎn)點(diǎn),?校核強(qiáng)度,?T字頭在上面合理，反之失效。,,,,,4–6梁的合理設(shè)計(jì),一、合理配置梁的荷載和支座二、合理選擇截面形狀三、合理設(shè)計(jì)梁的外形,,按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)梁時(shí)，主要是依據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件。,可見(jiàn)，降低最大彎矩，提高彎曲截面系數(shù)，或局部加強(qiáng)彎矩較大的梁段，都能有效降低梁的最大正應(yīng)力，從而提高梁的承載能力，使梁的設(shè)計(jì)更加合理，工程中經(jīng)常采用的措施有：,一、合理配置梁的荷載和支座①合理布置載荷,,,降低,,,,,,,,,,Ｐ,,,,,,（＋）,,,Ｐ,,,,,,,,,,,（＋）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Ｐ,,,,（＋）,,,,,,,,,,,（＋）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,（＋）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,②合理布置支座位置,,,,,,,,,,,（＋）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,（+）,（-）,（-）,,,,,二、合理選擇截面形狀,,,,合理截面：,,★矩形截面,,,z,,,,,,,,,z,★空心圓截面比實(shí)心圓截面合理,,z,,,,,,,,,,,,,,★工字形截面是由矩形演變而成,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,★,,的材料（例鑄鐵），宜采用截面不對(duì)稱于中性軸。,,,,,,,,,,,,,,,,z,,,,,,,,,,z,,,,,,,,,,,,,,,,,北宋李誡于1100年著營(yíng)造法式一書中指出:矩形木梁的合理高寬比h/b=1.5。,英(T.Young)于1807年著自然哲學(xué)與機(jī)械技術(shù)講義一書中指出:矩形木梁的合理高寬比為時(shí)，強(qiáng)度最大。,,,例4試用彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度證明：從圓木（設(shè)d已知）鋸出的矩形截面梁合理高寬比為時(shí)，強(qiáng)度最大。解：要求鋸出的矩形截面梁的彎曲強(qiáng)度最大，則截面的W應(yīng)最大。,,,,,,,,,,,,,,,,將式（2）代入式（1）得：,,★等強(qiáng)度梁,等截面梁：W=常數(shù)，,,等強(qiáng)度梁是變截面梁，且各截面上的最大正應(yīng)力都等于許用應(yīng)力：,,,,,,,,,,,,,,,三、合理設(shè)計(jì)梁的外形,例5圖示懸臂梁為等強(qiáng)度梁，截面為矩形，寬度b=常數(shù)，求高度。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解：,（絕對(duì)值）,彎曲應(yīng)力小結(jié)習(xí)題討論,本章主要討論了直梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力，以及相應(yīng)的強(qiáng)度條件。（1）彎曲正應(yīng)力及其強(qiáng)度條件：,（2）彎曲切應(yīng)力及其強(qiáng)度條件,題1、已知圖示簡(jiǎn)支梁，,,,試為梁選擇四種截面，并比較它們的用料。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,題2、一簡(jiǎn)支梁由材料及尺寸相同的兩根矩形截面桿疊合而成，兩桿間無(wú)聯(lián)系，為光滑接觸，試求當(dāng)兩桿豎疊時(shí)和橫疊時(shí)的最大正應(yīng)力。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,對(duì)軸向拉壓桿，一定要畫出軸力圖（注意正負(fù)號(hào)）對(duì)扭轉(zhuǎn)軸，一定要先算出扭矩或畫出扭矩圖（注意正負(fù)號(hào)）對(duì)彎曲梁，一定要先算出彎矩（如有必要，還要算出剪力）或畫出彎矩圖（剪力圖）,幾點(diǎn)忠告,2.在計(jì)算軸力、扭矩，剪力和彎矩時(shí)，一定要預(yù)設(shè)出正的軸力、扭矩、剪力和彎矩方向。,3.在計(jì)算拉壓桿的總伸長(zhǎng)，扭轉(zhuǎn)軸的總扭轉(zhuǎn)角，彎曲梁的撓度和轉(zhuǎn)角時(shí)，一定要注意軸力、扭矩和彎矩的正負(fù)號(hào)。,4.一些公式要四記住。,5.代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算時(shí)，一定要統(tǒng)一轉(zhuǎn)換成國(guó)際單位制單位。計(jì)算完成后，在轉(zhuǎn)換為工程單位。,