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1.4 習(xí)題與上機(jī)題解答 1. 用單位脈沖序列δ(n)及其加權(quán)和表示題1圖所示的序列。,題1圖,解： x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1) +2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6) 2． 給定信號： 2n+5 －4≤n≤－1 6 0≤n≤4 0 其它 (1) 畫出x(n)序列的波形， 標(biāo)上各序列值；  (2) 試用延遲的單位脈沖序列及其加權(quán)和表示x(n)序列；,,,(x(n)=,（3） 令x1(n)=2x(n－2)， 試畫出x1(n)波形；  （4） 令x2(n)=2x(n+2)， 試畫出x2(n)波形；  （5） 令x3(n)=x(2－n)， 試畫出x3(n)波形。  解： (1) x(n)序列的波形如題2解圖（一）所示。 (2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n) +6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4),（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 畫出圖形如題2解圖（二）所示。  (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位， 再乘以2， 畫出圖形如題2解圖（三）所示。  (5) 畫x3(n)時(shí)， 先畫x(－n)的波形(即將x(n)的波形以縱軸為中心翻轉(zhuǎn)180°)， 然后再右移2位， x3(n)波形如題2解圖（四）所示。,題2解圖（一）,題2解圖（二）,,題2解圖（三）,題2解圖（四）,3． 判斷下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 確定其周期。 ,(1),(2),解： （1） 因?yàn)棣? π, 所以 , 這是有理數(shù)， 因此是周期序列， 周期T=14。 （2） 因?yàn)棣? , 所以 =16π, 這是無理數(shù)， 因此是非周期序列。,4． 對題1圖給出的x(n)要求：  (1) 畫出x(－n)的波形；  (2) 計(jì)算xe(n)= ［x(n)+x(－n)］， 并畫出xe(n)波形； (3) 計(jì)算xo(n)= ［x(n)－x(－n)］， 并畫出xo(n)波形;  (4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 將x1(n)與x(n)進(jìn)行比較， 你能得到什么結(jié)論？,解：（1） x(－n)的波形如題4解圖（一）所示。 (2) 將x(n)與x(－n)的波形對應(yīng)相加， 再除以2， 得到xe(n)。 毫無疑問， 這是一個(gè)偶對稱序列。 xe(n)的波形如題4解圖（二）所示。  (3) 畫出xo(n)的波形如題4解圖（三）所示。,,,題4解圖（一）,題4解圖（二）,,,題4解圖（三）,(4) 很容易證明：  x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n) 上面等式說明實(shí)序列可以分解成偶對稱序列和奇對稱序列。 偶對稱序列可以用題中(2)的公式計(jì)算， 奇對稱序列可以用題中(3)的公式計(jì)算。  5． 設(shè)系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述， x(n)與y(n)分別表示系統(tǒng)輸入和輸出， 判斷系統(tǒng)是否是線性非時(shí)變的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(n－n0) n0為整常數(shù) （4）y(n)=x(－n),（5）y(n)=x2(n) （6）y(n)=x(n2) （7）y(n)=  （8）y(n)=x(n)sin(ωn) 解： （1） 令輸入為 x(n－n0) 輸出為 y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2) y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2) =y′(n),故該系統(tǒng)是非時(shí)變系統(tǒng)。 因?yàn)?y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］ =ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］ +3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］ T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2) T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2) 所以 T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。,（2） 令輸入為 x(n－n0) 輸出為 y′(n)=2x(n－n0)+3 y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n) 故該系統(tǒng)是非時(shí)變的。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3 T［ax1(n)］=2ax1(n)+3 T［bx2(n)］=2bx2(n)+3 T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。,,(3) 這是一個(gè)延時(shí)器， 延時(shí)器是線性非時(shí)變系統(tǒng)， 下面證明。 令輸入為 x(n－n1) 輸出為 y′(n)=x(n－n1－n0) y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n) 故延時(shí)器是非時(shí)變系統(tǒng)。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故延時(shí)器是線性系統(tǒng)。,(4) y(n)=x(－n) 令輸入為 x(n－n0) 輸出為 y′(n)=x(－n+n0) y(n－n0)=x(－n+n0)=y′(n) 因此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(－n)+bx2(－n) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 因此系統(tǒng)是非時(shí)變系統(tǒng)。,（5） y(n)=x2(n) 令輸入為 x(n－n0) 輸出為 y′(n)=x2(n－n0) y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n) 故系統(tǒng)是非時(shí)變系統(tǒng)。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2 ≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ =ax21(n)+bx22(n) 因此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。,,（6） y(n)=x(n2) 令輸入為 x(n－n0) 輸出為 y′(n)=x((n－n0)2) y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n) 故系統(tǒng)是非時(shí)變系統(tǒng)。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。,（7） y(n)= x(m) 令輸入為 x(n－n0) 輸出為 y′(n)= =0[DD)]x(m-n0) y(n－n0)= x(m)≠y′(n) 故系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］= ［ax1(m)+bx2(m)］ =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。,,（8） y(n)=x(n) sin(ωn) 令輸入為 x(n－n0) 輸出為 y′(n)=x(n－n0) sin(ωn) y(n－n0)=x(n－n0) sin［ω(n－n0)］≠y′(n) 故系統(tǒng)不是非時(shí)變系統(tǒng)。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n) sin(ωn)+bx2(n) sin(ωn) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。,6． 給定下述系統(tǒng)的差分方程， 試判定系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng)， 并說明理由。  （1） y(n)= x(n－k) （2） y(n)=x(n)+x(n+1) （3） y(n)= x(k) （4） y(n)=x(n－n0) （5） y(n)=ex(n),解：（1）只要N≥1， 該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)， 因?yàn)檩敵鲋慌cn時(shí)刻的和n時(shí)刻以前的輸入有關(guān)。 如果|x(n)|≤M， 則|y(n)|≤M， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 （2） 該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)， 因?yàn)閚時(shí)間的輸出還和n時(shí)間以后（（n+1）時(shí)間）的輸入有關(guān)。如果|x(n)|≤M, 則|y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M, 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 （3） 如果|x(n)|≤M， 則|y(n)|≤ |x(k)|≤|2n0+1|M， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的； 假設(shè)n00， 系統(tǒng)是非因果的， 因?yàn)檩敵鲞€和x(n)的將來值有關(guān)。,（4）假設(shè)n00， 系統(tǒng)是因果系統(tǒng)， 因?yàn)閚時(shí)刻輸出只和n時(shí)刻以后的輸入有關(guān)。 如果|x(n)|≤M, 則|y(n)|≤M， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 （5） 系統(tǒng)是因果系統(tǒng)， 因?yàn)橄到y(tǒng)的輸出不取決于x(n)的未來值。 如果|x(n)|≤M, 則|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 7． 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入序列x(n)如題7圖所示， 要求畫出y(n)輸出的波形。 解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)= x(m)h(n－m),題7圖,y(n)={－2,－1,－0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=－2, －1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},解法（二） 采用解析法。 按照題7圖寫出x(n)和h(n)的表達(dá)式分別為 x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3) h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2) 由于 x(n)*δ(n)=x(n) x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k) 故,y(n)=x(n)*h(n)  =x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2)］ =2x(n)+x(n－1)+ x(n－2) 將x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(n)+2δ(n－1)+δ(n－2) +4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5),8. 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入x(n)分別有以下三種情況， 分別求出輸出y(n)。  （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) （2） h(n)=2R4(n), x(n)=δ(n)－δ(n－2) （3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n) 解： （1） y(n)=x(n)*h(n)= R4(m)R5(n－m) 先確定求和域。 由R4(m)和R5(n－m)確定y（n）對于m的 非零區(qū)間如下: 0≤m≤3 －4≤m≤n,根據(jù)非零區(qū)間， 將n分成四種情況求解：  ① n7時(shí)， y(n)=0,最后結(jié)果為 0 n7 n+1 0≤n≤3 8－n 4≤n≤7 y(n)的波形如題8解圖（一）所示。  (2) y(n) =2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2) =2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5)］ y(n)的波形如題8解圖（二）所示,,,y(n)=,題8解圖（一）,,題8解圖（二）,(3) y(n)=x(n)*h(n) = R5(m)0.5n－mu(n－m) =0.5n R5(m)0.5－mu(n－m) y（n）對于m 的非零區(qū)間為 0≤m≤4, m≤n ① n0時(shí)， y(n)=0 ② 0≤n≤4時(shí)，,=－(1－0.5－n－1)0.5n=2－0.5n,③ n≥5時(shí),最后寫成統(tǒng)一表達(dá)式： y(n)=(2－0.5n)R5(n)+31×0.5nu(n－5),9． 證明線性卷積服從交換律、 結(jié)合律和分配律， 即證明下面等式成立：  （1） x(n)*h(n)=h(n)*x(n) （2） x(n)*(h1(n)*h2(n))=(x(n)*h1(n))*h2(n) （3） x(n)*(h1(n)+h2(n))=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) 證明： （1） 因?yàn)?令m′=n－m, 則,,,(2) 利用上面已證明的結(jié)果， 得到,交換求和號的次序， 得到,,,,,10． 設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=(3/8)0.5nu(n)， 系統(tǒng)的輸入x(n)是一些觀測數(shù)據(jù)， 設(shè)x(n)={x0, x1, x2, …, xk, …}， 試?yán)眠f推法求系統(tǒng)的輸出y(n)。 遞推時(shí)設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零狀態(tài)。,,解：,,n=0時(shí)，,n≥0,,n=1時(shí)，,,,n=2時(shí)，,最后得到,,11． 設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述：,,設(shè)系統(tǒng)是因果的， 利用遞推法求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。,解： 令x(n)=δ(n), 則,,n=0時(shí)，,,n=1時(shí)，,,,n=2時(shí)，,,n=3時(shí)，,,歸納起來， 結(jié)果為,,12. 設(shè)系統(tǒng)用一階差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n)描述， 初始條件y(-1)=0， 試分析該系統(tǒng)是否是線性非時(shí)變系統(tǒng)。  解： 分析的方法是讓系統(tǒng)輸入分別為δ(n)、 δ(n－1)、 δ(n)+δ(n－1)時(shí)， 求它的輸出， 再檢查是否滿足線性疊加原理和非時(shí)變性。  （1） 令x(n)=δ(n), 這時(shí)系統(tǒng)的輸出用y1(n)表示。,,該情況在教材例1.4.1 中已求出， 系統(tǒng)的輸出為 y1(n)=anu(n),(2) 令x(n)=δ(n－1)， 這時(shí)系統(tǒng)的輸出用y2(n)表示。,,n=0時(shí)，,,n=1時(shí)，,,n=2時(shí)，,,,任意 n 時(shí)，,最后得到,(3) 令x(n)=δ(n)+δ(n－1), 系統(tǒng)的輸出用y3(n)表示。,,n=0時(shí)，,n=1時(shí)，,,n=2時(shí)，,n=3時(shí)，,任意 n 時(shí)，,,,最后得到,,由（1）和（2）得到 y1(n)=T［δ(n)］, y2(n)=T［δ(n－1)］ y1(n)=y2(n－1) 因此可斷言這是一個(gè)時(shí)不變系統(tǒng)。 情況（3）的輸入信號是情況（1）和情況（2）輸入信號的相加信號， 因此y3(n)=T［δ(n)+δ(n－1)］。 觀察y1(n)、 y2(n)、 y3(n)， 得到y(tǒng)3(n)=y1(n)+y2(n)， 因此該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。 最后得到結(jié)論： 用差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n), 0a1描寫的系統(tǒng)， 當(dāng)初始條件為零時(shí)， 是一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)。,13． 有一連續(xù)信號xa(t)=cos(2πft+j)， 式中， f=20 Hz, j=π/2。 （1） 求出xa(t)的周期； （2） 用采樣間隔T=0.02 s對xa(t)進(jìn)行采樣， 試寫出采樣信號 的表達(dá)式； （3） 畫出對應(yīng) 的時(shí)域離散信號（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。  解： （1） xa(t)的周期為,,,,（2）,（3） x(n)的數(shù)字頻率ω=0.8π， 故 ， 因而周期N=5， 所以 x(n)=cos(0.8πn+π/2) 畫出其波形如題13解圖所示。,,題13解圖,14. 已知滑動(dòng)平均濾波器的差分方程為,,（1） 求出該濾波器的單位脈沖響應(yīng)； （2） 如果輸入信號波形如前面例1.3.4的圖1.3.1所示， 試求出y(n)并畫出它的波形。 解： （1） 將題中差分方程中的x(n)用δ(n)代替， 得到該濾波器的單位脈沖響應(yīng)， 即,,（2） 已知輸入信號， 用卷積法求輸出。 輸出信號y(n)為,,表1.4.1表示了用列表法解卷積的過程。 計(jì)算時(shí)， 表中x(k)不動(dòng)， h(k)反轉(zhuǎn)后變成h(－k)， h(n－k)則隨著n的加大向右滑動(dòng)， 每滑動(dòng)一次， 將h(n－k)和x(k)對應(yīng)相乘， 再相加和平均， 得到相應(yīng)的y(n)。 “滑動(dòng)平均”清楚地表明了這種計(jì)算過程。 最后得到的輸出波形如前面圖1.3.2所示。 該圖清楚地說明滑動(dòng)平均濾波器可以消除信號中的快速變化， 使波形變化緩慢。,15*. 已知系統(tǒng)的差分方程和輸入信號分別為,,,用遞推法計(jì)算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。  解： 求解程序ex115.m如下：  %程序ex115.m % 調(diào)用filter解差分方程y(n)+0.5y(n－1)=x(n)+2x(n－2) xn=［1， 2， 3， 4， 2， 1， zeros(1， 10)］； %x(n)=單位脈沖序列， 長度N=31 B=［1， 0， 2］； A=［1， 0.5］； %差分方程系數(shù),yn=filter(B， A， xn) %調(diào)用filter解差分方程， 求系統(tǒng)輸 出信號y(n) n=0： length(yn)－1；  subplot(3， 2， 1)； stem(n， yn， ′.′) ； axis(［1， 15， －2， 8］) title(′系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) ′)； xlabel(′n′)； ylabel(′y(n)′) 程序運(yùn)行結(jié)果：,yn =[1.0000 1.5000 4.2500 5.8750 5.0625 6.4688 0.7656 1.6172 -0.8086 0.4043 -0.2021 0.1011 -0.0505 0.0253 -0.0126 0.0063 -0.0032 0.0016 -0.0008 0.0004 -0.0002 0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000] 程序運(yùn)行結(jié)果的y(n)波形圖如題15*解圖所示。,,題15*解圖,16*. 已知兩個(gè)系統(tǒng)的差分方程分別為 （1）y(n)=0.6y(n－1)－0.08y(n－2)+x(n) （2）y(n)=0.7y(n－1)－0.1y(n－2)+2x(n)－x(n－2) 分別求出所描述的系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)。 解： （1） 系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為 B1=1， A1=［1， －0.6， 0.08］ （2） 系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為 B2=［2， 0， －1］, A2=［1， －0.7， 0.1］,,2.5 習(xí)題與上機(jī)題解答 1． 設(shè)X(ejω)和Y(ejω)分別是x(n)和y(n)的傅里葉變換， 試求下面序列的傅里葉變換：  (1) x(n－n0) (2) x*(n) (3) x(－n) (4) x(n)*y(n) (5) x(n)y(n) (6) nx(n) (7) x(2n) (8) x2(n),,(9),解：（1）,,令n′=n－n0, 即n=n′+n0， 則,,（2）,,（3）,,令n′=－n， 則,,（4） FT［x(n)*y(n)］=X(ejω)Y(ejω) 下面證明上式成立：,,,令k=n－m, 則,,（5）,,,或者,（6） 因?yàn)?,對該式兩邊ω求導(dǎo)， 得到,,因此,（7）,,令n′=2n， 則,,,或者,（8）,,利用（5）題結(jié)果， 令x(n)=y(n), 則,,（9）,,令n′=n/2， 則,,2． 已知,,,≤,求X(ejω)的傅里葉反變換x(n)。,解：,,3. 線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（頻率響應(yīng)函數(shù)）H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)， 如果單位脈沖響應(yīng)h(n)為實(shí)序列， 試證明輸入x(n)=A cos(ω0n+j)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為,,解： 假設(shè)輸入信號x(n)=ejω0n，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為h(n)， 則系統(tǒng)輸出為,,上式說明當(dāng)輸入信號為復(fù)指數(shù)序列時(shí)， 輸出序列仍是復(fù)指數(shù)序列， 且頻率相同， 但幅度和相位取決于網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù)。 利用該性質(zhì)解此題：,,,,,上式中|H(ejω)|是ω的偶函數(shù)， 相位函數(shù)是ω的奇函數(shù)， |H(ejω)|=|H(e-jω)|， θ(ω)=－θ(－ω), 故,,4．設(shè),,將x(n)以4為周期進(jìn)行周期延拓， 形成周期序列 ， 畫出x(n)和 的波形， 求出 的離散傅里葉級數(shù) 和傅里葉變換。,,,解： 畫出x(n)和 的波形如題4解圖所示。,,,題4解圖,或者,,,,5. 設(shè)題5圖所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表示， 不直接求出X(ejω)， 完成下列運(yùn)算或工作：,題5圖,,(1),(2),,(3),,(4) 確定并畫出傅里葉變換實(shí)部Re［X(ejω)］的時(shí)間序列xa(n)；,,(5),(6),,解 (1),,(2),(3),（4） 因?yàn)楦道锶~變換的實(shí)部對應(yīng)序列的共軛對稱部分， 即,,,按照上式畫出xe(n)的波形如題5解圖所示。,題5解圖,(5),,(6) 因?yàn)?,因此,,6． 試求如下序列的傅里葉變換： (1) x1(n)=δ(n－3),(2),(3) x3(n)=anu(n) 0a1 (4) x4(n)=u(n+3)－u(n－4) 解,(1),,(2),,(3),,(4),,,,或者:,,,,,,,7． 設(shè)：  （1） x(n)是實(shí)偶函數(shù)，  （2） x(n)是實(shí)奇函數(shù)，  分別分析推導(dǎo)以上兩種假設(shè)下， 其x(n)的傅里葉變換性質(zhì)。 解：令,,(1) 因?yàn)閤(n)是實(shí)偶函數(shù)， 對上式兩邊取共軛， 得到,,因此 X(ejω)=X*（e－jω） 上式說明x(n)是實(shí)序列， X(ejω)具有共軛對稱性質(zhì)。,,由于x(n)是偶函數(shù)， x(n) sinω是奇函數(shù)， 那么,,因此,,該式說明X(ejω)是實(shí)函數(shù)， 且是ω的偶函數(shù)。  總結(jié)以上, x(n)是實(shí)偶函數(shù)時(shí)， 對應(yīng)的傅里葉變換X(ejω)是實(shí)函數(shù)， 是ω的偶函數(shù)。  （2） x(n)是實(shí)奇函數(shù)。 上面已推出， 由于x(n)是實(shí)序列， X(ejω)具有共軛對稱性質(zhì)， 即 X(ejω)=X*(e－jω),,,由于x(n)是奇函數(shù)， 上式中x(n) cosω是奇函數(shù)， 那么,,因此,,這說明X(ejω)是純虛數(shù)， 且是ω的奇函數(shù)。  8． 設(shè)x(n)=R4(n)， 試求x(n)的共軛對稱序列xe(n)和共軛反對稱序列xo(n)， 并分別用圖表示。 ,解：,,,xe(n)和xo(n)的波形如題8解圖所示。,題8解圖,,9．已知x(n)=anu(n), 0a1， 分別求出其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)的傅里葉變換。 解：,,因?yàn)閤e(n)的傅里葉變換對應(yīng)X(ejω)的實(shí)部， xo(n)的傅里葉變換對應(yīng)X(ejω)的虛部乘以j， 因此,,,10． 若序列h(n)是實(shí)因果序列， 其傅里葉變換的實(shí)部如下式： HR(ejω)=1+cosω 求序列h(n)及其傅里葉變換H(ejω)。  解：,,,,,11． 若序列h(n)是實(shí)因果序列， h(0)=1， 其傅里葉變換的虛部為 HI(ejω)=－sinω 求序列h(n)及其傅里葉變換H(ejω)。  解：,,,,,,12． 設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n), 0a1， 輸入序列為 x(n)=δ(n)+2δ(n－2) 完成下面各題：  (1) 求出系統(tǒng)輸出序列y(n)；  (2) 分別求出x(n)、 h(n)和y(n)的傅里葉變換。  解 (1),,(2),,,13． 已知xa(t)=2 cos(2πf0t)， 式中f0=100 Hz， 以采樣頻率fs=400 Hz對xa(t)進(jìn)行采樣， 得到采樣信號 和時(shí)域離散信號x(n)， 試完成下面各題：  （1） 寫出 的傅里葉變換表示式Xa(jΩ)；  （2） 寫出 和x(n)的表達(dá)式；  （3） 分別求出 的傅里葉變換和x(n)序列的傅里葉變換。  解：,,,上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在， 引入奇異函數(shù)δ函數(shù)， 它的傅里葉變換可以表示成：,（2）,,,,（3）,式中,,,式中 ω0=Ω0T=0.5π rad 上式推導(dǎo)過程中， 指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在， 只有引入奇異函數(shù)δ函數(shù)才能寫出它的傅里葉變換表示式。  14． 求出以下序列的Z變換及收斂域: (1) 2－nu(n) (2) －2－nu(－n－1) (3) 2－nu(－n) (4) δ(n) (5) δ(n－1) (6) 2－n［u(n)－u(n－10)］,,解 (1),,(2),,(3),(4) ZT［δ(n)］=10≤|z|≤∞ (5) ZT［δ(n－1)］=z－10|z|≤∞ (6),,≤,15． 求以下序列的Z變換及其收斂域， 并在z平面上畫出極零點(diǎn)分布圖。  (1) x(n)=RN(n) N=4 (2) x(n)=Arn cos(ω0n+j)u(n)r=0.9, ω0=0.5π rad, j= 0.25 π rad (3),,≤,≤,≤,≤,式中， N=4。,解 (1),,由z4－1=0， 得零點(diǎn)為,,由z3(z－1)=0， 得極點(diǎn)為 z1, 2=0, 1 零極點(diǎn)圖和收斂域如題15解圖(a)所示， 圖中, z=1處的零極點(diǎn)相互對消。,題15解圖,(2),,,,,零點(diǎn)為,,極點(diǎn)為,,極零點(diǎn)分布圖如題15解圖(b)所示。 (3) 令y(n)=R4(n), 則 x(n+1)=y(n)*y(n) zX(z)=［Y(z)］2, X(z)=z－1［Y(z)］2,因?yàn)?,因此,,極點(diǎn)為 z1=0, z2=1 零點(diǎn)為,,在z=1處的極零點(diǎn)相互對消， 收斂域?yàn)?|z|≤∞， 極零點(diǎn)分布圖如題15解圖(c)所示。,,16． 已知,,求出對應(yīng)X(z)的各種可能的序列表達(dá)式。  解： X(z)有兩個(gè)極點(diǎn)： z1=0.5, z2=2， 因?yàn)槭諗坑蚩偸且詷O點(diǎn)為界， 因此收斂域有三種情況： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。  （1）收斂域|z|0.5：,,令,,n≥0時(shí)， 因?yàn)閏內(nèi)無極點(diǎn)，x(n)=0; n≤－1時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) 0 ， 但z=0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改為求圓外極點(diǎn)留數(shù)， 圓外極點(diǎn)有z1=0.5, z2=2， 那么,,(2) 收斂域0.5|z|2:,,n≥0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5，,,n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) 0.5、 0 ， 但 0 是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改成求c外極點(diǎn)留數(shù)， c外極點(diǎn)只有一個(gè)， 即2， x(n)=－Res［F(z), 2］=－2 · 2nu(－n－1) 最后得到,,,（3）收斂域|z|2:,,n≥0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) 0.5、 2，,,n0時(shí)， 由收斂域判斷， 這是一個(gè)因果序列， 因此x(n)=0； 或者這樣分析， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2、 0， 但0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外無極點(diǎn)， 所以x(n)=0。,最后得到,,17． 已知x(n)=anu(n), 0a1。 分別求：  (1) x(n)的Z變換； (2) nx(n)的Z變換； (3) a－nu(－n)的Z變換。 解： (1),,,(2),(3),,18． 已知,,分別求：  （1） 收斂域0.52對應(yīng)的原序列x(n)。 ,解：,,,（1） 收斂域0.5|z|2: n≥0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5， x(n)=Res［F(z), 0.5］=0.5n=2－n n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 0， 但0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改求c外極點(diǎn)留數(shù)， c外極點(diǎn)只有2， x(n)=－Res［F(z), 2］=2n,最后得到 x(n)=2－nu(n)+2nu(－n－1)=2－|n| ∞2: n≥0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2，,,n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2、 0， 但極點(diǎn)0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改成求c外極點(diǎn)留數(shù)， 可是c外沒有極 點(diǎn)， 因此 x(n)=0 最后得到  x(n)=(0.5n－2n)u(n) 19． 用部分分式法求以下X(z)的反變換：,,(1),(2),,解： (1),,,,(2),,,,,20． 設(shè)確定性序列x(n)的自相關(guān)函數(shù)用下式表示：,試用x(n)的Z變換X(z)和x(n)的傅里葉變換X(ejω)分別表示自相關(guān)函數(shù)的Z變換Rxx(z)和傅里葉變換Rxx(ejω)。,解： 解法一,,,令m′=n+m, 則,,解法二,,,因?yàn)閤(n)是實(shí)序列， X(e－jω)=X*(ejω)， 因此,,21． 用Z變換法解下列差分方程：  (1) y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)， y(n)=0 n≤－1 (2) y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)， y(－1)=1， y(n)=0 n－1 (3) y(n)－0.8y(n－1)－0.15y(n－2)=δ(n) y(－1)=0.2, y(－2)=0.5, y(n)=0, 當(dāng)n≤－3時(shí)。 解： (1) y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)， y(n)=0 n≤－1,,,n≥0時(shí)，,,n0時(shí)， y(n)=0 最后得到 y(n)=［－0.5 · (0.9)n+1+0.5］u(n),(2) y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n), y(－1)=1, y(n)=0 n－1,,,,,n≥0時(shí)，,,n0時(shí)， y(n)=0 最后得到 y(n)=［0.45(0.9)n+0.5］u(n),(3) y(n)－0.8y(n－1)－0.15y(n－2)=δ(n) y(－1)=0.2, y(－2)=0.5, y(n)=0, 當(dāng)n－2時(shí) Y(z)－0.8z－1［Y(z)+y(－1)z］－0.15z－2［Y(z)+y(－1)z+y(－2)z2］=1,,,,n≥0時(shí)，,,y(n)=－4.365 · 0.3n+6.375 · 0.5n n0時(shí), y(n)=0 最后得到 y(n)=(－4.365 · 0.3n+6.375 · 0.5n)u(n),22． 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為,,（1） 在z平面上用幾何法證明該系統(tǒng)是全通網(wǎng)絡(luò)， 即|H(ejω)|=常數(shù)； （2） 參數(shù) a 如何取值， 才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定？畫出其極零點(diǎn)分布及收斂域。  解：,,(1),極點(diǎn)為a, 零點(diǎn)為a－1。  設(shè)a=0.6， 極零點(diǎn)分布圖如題22解圖(a)所示。 我們知道|H(ejω)|等于極點(diǎn)矢量的長度除以零點(diǎn)矢量的長度， 按照題22解圖(a)， 得到,,因?yàn)榻铅毓茫?,，且△AOB~△AOC， 故,,，即,,,故H(z)是一個(gè)全通網(wǎng)絡(luò)。  或者按照余弦定理證明:,,,,題22解圖,（2） 只有選擇|a|1才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定。 設(shè)a=0.6， 極零點(diǎn)分布圖及收斂域如題22解圖(b)所示。  23． 設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述： y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1) （1） 求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)， 并畫出極零點(diǎn)分布圖； （2） 限定系統(tǒng)是因果的， 寫出H(z)的收斂域， 并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)； （3） 限定系統(tǒng)是穩(wěn)定性的， 寫出H(z)的收斂域， 并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)。  解：  （1） y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1) 將上式進(jìn)行Z變換， 得到 Y(z)=Y(z)z－1+Y(z)z－2+X(z)z－1,,因此,,,零點(diǎn)為z=0。 令z2－z－1=0， 求出極點(diǎn)：,,,極零點(diǎn)分布圖如題23解圖所示。,,題23解圖,(2) 由于限定系統(tǒng)是因果的， 收斂域需選包含∞點(diǎn)在內(nèi)的收斂域， 即 。 求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)可以用兩種方法， 一種是令輸入等于單位脈沖序列， 通過解差分方程， 其零狀態(tài)輸入解便是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)； 另一種方法是求H(z)的逆Z變換。 我們采用第二種方法。,,,式中,,，,令,,n≥0時(shí)， h(n)=Res［F(z), z1］+Res［F(z), z2］,,因?yàn)閔(n)是因果序列, n0時(shí)， h(n)=0， 故,,(3) 由于限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 收斂域需選包含單位圓在內(nèi)的收斂域， 即|z2||z||z1|,,,n≥0時(shí)， c內(nèi)只有極點(diǎn)z2， 只需求z2點(diǎn)的留數(shù)，,,,n0時(shí)， c內(nèi)只有兩個(gè)極點(diǎn)： z2和z=0， 因?yàn)閦=0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改成求圓外極點(diǎn)留數(shù)， 圓外極點(diǎn)只有一個(gè)， 即z1, 那么,,最后得到,,24． 已知線性因果網(wǎng)絡(luò)用下面差分方程描述： y(n)=0.9y(n－1)+x(n)+0.9x(n－1) （1） 求網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)及單位脈沖響應(yīng)h(n)；  （2） 寫出網(wǎng)絡(luò)頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejω)的表達(dá)式， 并定性畫出其幅頻特性曲線；  （3） 設(shè)輸入x(n)=ejω0n， 求輸出y(n)。 解：  （1） y(n)=0.9y(n－1)+x(n)+0.9x(n－1) Y(z)=0.9Y(z)z－1+X(z)+0.9X(z)z－1,,,令,,n≥1時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.9，,,,n=0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.9 ， 0，,,,,最后得到 h(n)=2 · 0.9nu(n－1)+δ(n),（2）,,極點(diǎn)為z1=0.9, 零點(diǎn)為z2=－0.9。 極零點(diǎn)圖如題24解圖(a)所示。 按照極零點(diǎn)圖定性畫出的幅度特性如題24解圖(b)所示。 （3）,,,,題24解圖,25． 已知網(wǎng)絡(luò)的輸入和單位脈沖響應(yīng)分別為 x(n)=anu(n), h(n)=bnu(n) 0a1, 0b1 （1） 試用卷積法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)；  （2） 試用ZT法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)。  解： （1） 用卷積法求y(n)。,,n≥0時(shí)，,,n0時(shí)， y(n)=0 最后得到,,（2） 用ZT法求y(n)。,,,，,,令,,n≥0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)： a、 b, 因此,,因?yàn)橄到y(tǒng)是因果系統(tǒng), 所以n0時(shí)， y(n)=0。 最后得到,,26． 線性因果系統(tǒng)用下面差分方程描述： y(n)－2ry(n－1) cosθ+r2y(n－2)=x(n) 式中， x(n)=anu(n), 0a1, 0r1, θ=常數(shù)， 試求系統(tǒng)的響應(yīng)y(n)。  解： 將題中給出的差分方程進(jìn)行Z變換，,,,式中,,，,因?yàn)槭且蚬到y(tǒng)， 收斂域?yàn)閨z|max(r, |a|)， 且n0時(shí)， y(n)=0， 故,,c包含三個(gè)極點(diǎn)， 即a、 z1、 z2。,,,,,27． 如果x1(n)和x2(n)是兩個(gè)不同的因果穩(wěn)定實(shí)序列， 求證：,,式中， X1(ejω)和X2(ejω)分別表示x1(n)和x2(n)的傅里葉變換。 解： FT［x1(n)*x2(n)］=X1(ejω)X2(ejω) 進(jìn)行IFT， 得到,,令n=0, 則,,由于x1(n)和x2(n)是實(shí)穩(wěn)定因果序列， 因此,,(1),(2),,(3),由（1）、（2）、（3）式， 得到,,28． 若序列h(n)是因果序列， 其傅里葉變換的實(shí)部如 下式：,,求序列h(n)及其傅里葉變換H(ejω)。,解：,,,求上式的Z的反變換， 得到序列h(n)的共軛對稱序列he(n)為,,,因?yàn)閔(n)是因果序列， he(n)必定是雙邊序列， 收斂域取： a|z|a－1。 n≥1時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)： a，,,n=0時(shí)，,,c內(nèi)有極點(diǎn)： a、 0，,,因?yàn)閔e(n)=he(－n)， 所以,,,,29． 若序列h(n)是因果序列， h(0)=1， 其傅里葉變換的虛部為,,求序列h(n)及其傅里葉變換H(ejω)。,,解：,令z=ejω, 有,,jHI(ejω)對應(yīng)h(n)的共軛反對稱序列ho(n)， 因此jHI(z)的反變換就是ho(n),,,因?yàn)閔(n)是因果序列， ho(n)是雙邊序列， 收斂域取: a|z|a－1。,,n≥1時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)： a,,,n=0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)： a、 0，,,,因?yàn)閔I(n)=－h(huán)(－n), 所以,,,,,,,教材第3章習(xí)題與上機(jī)題解答 1． 計(jì)算以下序列的N點(diǎn)DFT， 在變換區(qū)間0≤n≤N－1內(nèi)， 序列定義為 (1) x(n)=1 (2) x(n)=δ(n) (3) x(n)=δ(n－n0) 0n0N (4) x(n)=Rm(n) 0mN (5)  (6) ,,,(7) x(n)=ejω0nRN(n) (8) x(n)=sin(ω0n)RN(n) (9) x(n)=cos(ω0n)RN(N) (10) x(n)=nRN(n) 解：,(1),,,（2）,（3）,,,(4),,(5),,,0≤k≤N－1,(6),,,,0≤k≤N－1,(7),,,或,（8） 解法一 直接計(jì)算：,,,,,解法二 由DFT的共軛對稱性求解。 因?yàn)?,所以,,所以,,即,,結(jié)果與解法一所得結(jié)果相同。 此題驗(yàn)證了共軛對稱性。 (9) 解法一 直接計(jì)算:,,,,,解法二 由DFT共軛對稱性可得同樣結(jié)果。  因?yàn)?,,,（10） 解法一,,上式直接計(jì)算較難， 可根據(jù)循環(huán)移位性質(zhì)來求解X(k)。 因?yàn)閤(n)=nRN(n)， 所以 x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n) 等式兩邊進(jìn)行DFT， 得到 X(k)－X(k)WkN+N=Nδ(k),故,,當(dāng)k=0時(shí)， 可直接計(jì)算得出X(0)為,,這樣， X(k)可寫成如下形式：,,解法二 k=0時(shí)，,,k≠0時(shí)，,,,,,所以，,,，即,,2． 已知下列X(k)， 求x(n)=IDFT［X(k)］,(1),(2),,其中， m為正整數(shù)， 0mN/2, N為變換區(qū)間長度。,,,解: （1）,,,n=0, 1, …, N－1,(2),,,,n=0, 1, …, N－1,3． 已知長度為N=10的兩個(gè)有限長序列：,≤,≤,≤,≤,,≤,≤,≤,≤,做圖表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循環(huán)卷積區(qū)間長度L=10。  解: x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)分別如題3解圖（a）、 （b）、 （c）所示。,,,題3解圖,4． 證明DFT的對稱定理， 即假設(shè)X(k)=DFT［x(n)］， 證明 DFT［X(n)］=Nx(N－k) 證： 因?yàn)?,所以,,,由于,,≤,≤,所以 DFT［X(n)］=Nx(N－k) k=0, 1, …, N－1 5． 如果X(k)=DFT［x(n)］， 證明DFT的初值定理,,證: 由IDFT定義式,,可知,,6． 設(shè)x(n)的長度為N， 且 X(k)=DFT［x(n)］ 0≤k≤N－1 令 h(n)=x((n))NRmN(n) m為自然數(shù) H(k)=DFT［h(n)］mN 0≤k≤mN－1 求H(k)與X(k)的關(guān)系式。  解: H(k)=DFT［h(n)］ 0≤k≤mN－1 令n=n′+lN, l=0, 1, …, m－1, n′=0, 1, …, N－1, 則,,,,因?yàn)?所以,,7． 證明: 若x(n)為實(shí)序列， X(k)=DFT［x(n)］N， 則X(k)為共軛對稱序列， 即X(k)=X*（N－k)； 若x(n)實(shí)偶對稱， 即x(n)=x(N－n)， 則X(k)也實(shí)偶對稱； 若x(n)實(shí)奇對稱， 即x(n)=－x(N－n)， 則X(k)為純虛函數(shù)并奇對稱。,證: (1) 由教材(3.2.17)~(3.2.20)式知道， 如果將x(n)表 示為 x(n)=xr(n)+jxi(n) 則 X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k) 其中， Xep(k)=DFT［xr(n)］， 是X(k)的共軛對稱分量； Xop(k)=DFT［jxi(n)］, 是X(k)的共軛反對稱分量。 所以， 如果x(n)為實(shí)序列， 則Xop(k)=DFT［jxi(n)］=0， 故X(k)= DFT［x(n)］=Xep(k)， 即X(k)=X*(N－k)。,（2） 由DFT的共軛對稱性可知， 如果 x(n)=xep(n)+xop(n) 且 X(k)=Re［X(k)］+j Im［X(k)］ 則 Re［X(k)］=DFT［xep(n)］, j Im［X(k)］=DFT［xop(n)］ 所以， 當(dāng)x(n)=x(N－n)時(shí)， 等價(jià)于上式中xop(n)=0, x(n)中只有xep(n)成分， 所以X(k)只有實(shí)部， 即X(k)為實(shí)函數(shù)。 又由（1）證明結(jié)果知道， 實(shí)序列的DFT必然為共軛對稱函數(shù)， 即X(k)=X*(N－k)=X(N－k)， 所以X(k)實(shí)偶對稱。,,同理， 當(dāng)x(n)=－x(N－n)時(shí)， 等價(jià)于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0）， 故X(k)只有純虛部， 且由于x(n)為實(shí)序列， 即X(k)共軛對稱， X(k)=X*(N－k)=－X(N－k), 為純虛奇函數(shù)。 8． 證明頻域循環(huán)移位性質(zhì)： 設(shè)X(k)=DFT［x(n)］， Y(k)=DFT［y(n)］， 如果Y(k)=X((k+l))NRN(k)， 則,,,,,證：,,,令m=k+l, 則,,,9． 已知x(n)長度為N， X(k)=DFT［x(n)］，,,≤,≤,≤,≤,,,≤,≤,求Y(k)與X(k)的關(guān)系式。  解:,,10． 證明離散相關(guān)定理。 若 X(k)=X1* (k)Ｘ2(k) 則,,證： 根據(jù)DFT的惟一性， 只要證明,,即可。,,,,,,令m=l+n， 則,,,所以,,≤,≤,當(dāng)然也可以直接計(jì)算X(k)=X1 *(k)X2(k)的IDFT。,,,,,0≤n≤N－1,,由于,,0≤n≤N－1,所以,,11． 證明離散帕塞瓦爾定理。 若X(k)=DFT［x(n)］， 則,,證：,,,,,12． 已知f(n)=x(n)+jy(n)， x(n)與y(n)均為長度為N的實(shí)序列。 設(shè) F(k)=DFT［f(n)］N 0≤k≤N－1,,(1),(2) F(k)=1+jN 試求X(k)=DFT［x(n)］N， Y(k)=DFT［y(n)］N以及x(n)和y(n)。 解: 由DFT的共軛對稱性可知 x(n) X(k)=Fep(k) jy(n) jY(k)=Fop(k),,方法一 （1）,,,,,,,0≤n≤N－1,由于,,0≤n, m≤N－1,所以 x(n)=an 0≤n≤N－1 同理 y(n)=bn 0≤n≤N－1 （2） F(k)=1+jN,,,,，,,方法二 令,,只要證明A(k)為共軛對稱的，B(k)為共軛反對稱， 則就會(huì)有 A(k)=Fep(k)=X(k), B(k)=Fop(k)=jY(k) 因?yàn)?,，共軛對稱,,,，共軛反對稱,所以,,,由方法一知 x(n)=IDFT［X(k)］=anRN(n) y(n)=IDFT［Y(k)］=bnRN(n) 13． 已知序列x(n)=anu(n)， 0a1, 對x(n)的Z變換X(z)在單位圓上等間隔采樣N點(diǎn)， 采樣序列為,,求有限長序列IDFT［X(k)］N。  解: 我們知道， , 是以2π為周期的周期函數(shù)， 所以,,,①,以N為周期， 將 看作一周期序列 的DFS系數(shù)， 則,,,,②,由式①知 為,,③,將式③代入式②得到,由于,,所以,,由題意知,,所以根據(jù)有關(guān)X(k)與xN(n)的周期延拓序列的DFS系數(shù)的關(guān)系有,,,,由于0≤n≤N－1， 所以,,≥,≥,因此,,說明： 平時(shí)解題時(shí)， 本題推導(dǎo),的過程可省去， 直接引用頻域采樣理論給出的結(jié)論（教材中式（3.3.2）和(3.3.3)）即可。 14． 兩個(gè)有限長序列x(n)和y(n)的零值區(qū)間為 x(n)=0 n0, 8≤n y(n)=0 n0, 20≤n 對每個(gè)序列作20點(diǎn)DFT， 即 X(k)=DFT［x(n)］ k=0, 1, …, 19 Y(k)=DFT［y(n)］ k=0, 1, …, 19 試問在哪些點(diǎn)上f(n)與x(n)*y(n)值相等, 為什么？,解: 如前所述， 記fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFT［F(k)］=x(n) 20 y(n)。 fl(n)長度為27， f(n)長度為20。 由教材中式（3.4.3）知道f(n)與fl(n)的關(guān)系為,,,只有在如上周期延拓序列中無混疊的點(diǎn)上， 才滿足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7≤n≤19,15． 已知實(shí)序列x(n)的8點(diǎn)DFT的前5個(gè)值為0.25, 0.125-j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0。  （1） 求X(k)的其余3點(diǎn)的值； ,（2）,,求X1(k)=DFT［x1(n)］8；,（3）,,，求,,。,解： （1）因?yàn)閤(n)是實(shí)序列， 由第7題證明結(jié)果有X(k)=X*(N－k)， 即X(N－k)=X*(k), 所以， X（k）的其余3點(diǎn)值為 {X(5), X(6), X(7)}={0.125+j0.0518, 0, 0.125+j0.3018 （2） 根據(jù)DFT的時(shí)域循環(huán)移位性質(zhì)，,(3),,16． x(n)、 x1(n)和x2(n)分別如題16圖(a)、 (b)和(c)所示， 已知X(k)=DFT［x(n)］8。 求,,和,,［注: 用X(k)表示X1(k)和X2(k)。］,解： 因?yàn)閤1(n)=x((n+3))8R8(n), x2(n)=x((n－2))8R8(n)， 所以根據(jù)DFT的時(shí)域循環(huán)移位性質(zhì)得到,,,17． 設(shè)x(n)是長度為N的因果序列， 且,,,,試確定Y(k)與X(ejω)的關(guān)系式。,,解： y(n)是x(n)以M為周期的周期延拓序列的主值序列， 根據(jù)頻域采樣理論得到,,18． 用微處理機(jī)對實(shí)數(shù)序列作譜分析， 要求譜分辨率F≤50 Hz， 信號最高頻率為 1 kHz， 試確定以下各參數(shù)： (1) 最小記錄時(shí)間Tp min；  (2) 最大取樣間隔Tmax；  (3) 最少采樣點(diǎn)數(shù)Nmin；  (4) 在頻帶寬度不變的情況下， 使頻率分辨率提高1倍（即F縮小一半）的N值。 ,解: （1） 已知F=50 Hz， 因而,,（2）,,（3）,,（4） 頻帶寬度不變就意味著采樣間隔T不變， 應(yīng)該使記錄時(shí)間擴(kuò)大1倍， 即為0.04 s， 實(shí)現(xiàn)頻率分辨率提高1倍（F變?yōu)樵瓉淼?/2）。,,19． 已知調(diào)幅信號的載波頻率fc=1 kHz， 調(diào)制信號頻率fm=100 Hz， 用FFT對其進(jìn)行譜分析， 試求：  (1) 最小記錄時(shí)間Tp min; (2) 最低采樣頻率fs min; (3) 最少采樣點(diǎn)數(shù)Nmin。,解： 調(diào)制信號為單一頻率正弦波時(shí)， 已調(diào)AM信號為 x(t)=cos(2πfct+jc)［1+cos(2πfmt+jm)］ 所以， 已調(diào)AM信號x(t) 只有3個(gè)頻率： fc、 fc+fm、 fc－fm。 x(t)的最高頻率fmax=1.1 kHz， 頻率分辨率F≤100 Hz（對本題所給單頻AM調(diào)制信號應(yīng)滿足100/F=整數(shù)， 以便能采樣到這三個(gè)頻率成分）。 故,,(1),(2),,(3),,（注意， 對窄帶已調(diào)信號可以采用亞奈奎斯特采樣速率采樣， 壓縮碼率。 而在本題的解答中， 我們僅按基帶信號的采樣定理來求解。 ） 20． 在下列說法中選擇正確的結(jié)論。 線性調(diào)頻Z變換可以用來計(jì)算一個(gè)有限長序列h(n)在z平面實(shí)軸上諸點(diǎn){zk}的Z變換H(zk)， 使,(1) zk=ak, k=0, 1, …, N－1, a為實(shí)數(shù)， a≠1;  (2) zk=ak, k=0, 1, …, N－1, a為實(shí)數(shù)， a≠1;  (3) (1)和(2)都不行， 即線性調(diào)頻Z變換不能計(jì)算H(z)在z平面實(shí)軸上的取樣值。  解： 在chirp-Z變換中， 在z平面上分析的N點(diǎn)為 zk=AW－k k=0, 1, …, N－1 其中 所以 當(dāng)A0=1, ω0=0, W0=a－1, j=0時(shí)，  zk=ak 故說法（1）正確, 說法（2）、 （3）不正確。 ,,,21． 我們希望利用h(n)長度為N=50的FIR濾波器對一段很長的數(shù)據(jù)序列進(jìn)行濾波處理， 要求采用重疊保留法通過DFT(即FFT)來實(shí)現(xiàn)。 所謂重疊保留法， 就是對輸入序列進(jìn)行分段(本題設(shè)每段長度為M=100個(gè)采樣點(diǎn))， 但相鄰兩段必須重疊V個(gè)點(diǎn)， 然后計(jì)算各段與h(n)的L點(diǎn)(本題取L=128)循環(huán)卷積， 得到輸出序列ym(n)， m表示第m段循環(huán)卷積計(jì)算輸出。 最后， 從ym(n)中選取B個(gè)樣值， 使每段選取的B個(gè)樣值連接得到濾波輸出y(n)。,(1) 求V；  (2) 求B；  (3) 確定取出的B個(gè)采樣應(yīng)為ym(n)中的哪些樣點(diǎn)。  解: 為了便于敘述， 規(guī)定循環(huán)卷積的輸出序列ym(n)的序列標(biāo)號為n=0, 1, 2, …, 127。  先以h(n)與各段輸入的線性卷積ylm(n)分析問題， 因?yàn)楫?dāng)h(n)的50個(gè)樣值點(diǎn)完全與第m段輸入序列xm(n)重疊后， ylm(n)才與真正的濾波輸出y(n)相等， 所以，