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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 第4課時 直線、平面的平行和垂直課時作業(yè) 理 新人教版 考綱索引 1. 直線與平面平行、垂直. 2. 平面與平面平行、垂直. 課標要求 1. 以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點,認識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定定理. 2. 能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行、垂直關(guān)系的簡單命題. 1. 直線與平面平行的判定與性質(zhì) 判定 性質(zhì) 定義 定理 圖形 a　　　? b　　　? a　　　? 條件 　　　? 　　　? 　　　? 　　　? 結(jié)論 　　　? 　　　? a∩α=　　　? 　　　? 2. 面面平行的判定與性質(zhì) 判定 性質(zhì) 定義 定理 圖形 條件 　　　? 　　　? 　　　? 　　　? 結(jié)論 α∥β α∥β a∥b a∥α 3. 直線與平面垂直 定義:如果直線l與平面α的　　　　直線都垂直,則直線l與此平面α垂直.? (1)判定直線和平面垂直的方法: ①定義法. ②利用判定定理:如果一條直線與平面內(nèi)的兩條　　　　直線垂直,則這條直線與這個平面垂直.? ③推論:如果在兩條平行直線中,有一條垂直于平面,那么另一條直線也　　　　這個平面.? (2)直線和平面垂直的性質(zhì): ①直線垂直于平面,則垂直于平面內(nèi)　　　　直線.? ②垂直于同一個平面的兩條直線　　　　.? ③垂直于同一直線的兩平面　　　　.? 4. 平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的判定方法: ①定義法. ②利用判定定理:如果一個平面過另一個平面的　　　　,則這兩個平面互相垂直.? (2)平面與平面垂直的性質(zhì): 如果兩平面互相垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于它們　　　　的直線垂直于另一個平面.? 基礎(chǔ)自測 1. (教材改編)下列條件中,能判定直線l⊥平面α的是(　　). A. l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直 B. l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線垂直 C. l與平面α內(nèi)的某一條直線垂直 D. l與平面α內(nèi)任意一條直線垂直 2. 設(shè)a,b,c是三條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則a⊥b的一個充分條件是(　　). A. a⊥c,b⊥c　　　　　　　B. α⊥β,b?β C. α⊥a,b∥α D. a⊥α,b⊥α 3. (教材改編)給出下列四個命題: ①垂直于同一平面的兩條直線相互平行; ②垂直于同一平面的兩個平面相互平行; ③若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面都平行,那么這兩個平面相互平行; ④若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任一直線,那么這條直線垂直于這個平面. 其中真命題的個數(shù)是(　　). A. 1　　　　B. 2　　　　C. 3　　　　D. 4 4. (課本精選題)已知不重合的直線a,b和平面α. ①若a∥α,b?α,則a∥b;②若a∥α,b∥α,則a∥b;③若a∥b,b?α,則a∥α;④若a∥b,a∥α,則b∥α或b?α. 上面命題中正確的是　　　　.(填序號)? 5. (課本改編)過△ABC所在平面α外一點P,作PO⊥α,垂足為O,連接PA,PB,PC. (1)若PA=PB=PC,∠C=90°,則點O是邊AB的　　　　點.? (2)若PA=PB=PC,則點O是△ABC的　　　　心.? (3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則點O是△ABC的　　　　心.? 指 點 迷 津　 1. 判定定理或性質(zhì)定理使用時,條件要完備.如:證明b∥α?xí)r,不要忽略b?α;用線面平行的性質(zhì)定理時,不要忽略α∩β=b等. 2. 六個平行轉(zhuǎn)化關(guān)系: 3. 六種轉(zhuǎn)化關(guān)系: 考點透析 考向一　直線與平面平行的判定與性質(zhì) 例1　(xx·安徽)如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為8的正方形,四條側(cè)棱長均為.點G,E,F,H分別是棱PB,AB,CD,PC上共面的四點,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH. (1)求證:GH∥EF; (2)若EB=2,求四邊形GEFH的面積. 【審題視點】　利用BC∥平面GEFH,可證得GH∥BC,即可證出GH∥BC.再由PO∥平面GEFH,可證得GK是梯形GEFH的高,由此可求得四邊形GEFH的面積. 變式訓(xùn)練 1. 如圖,在四面體PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,點D,E,F,G分別是棱AP,AC,BC,PB的中點.求證: (1)DE∥平面BCP; (2)四邊形DEFG為矩形. (第1題) 考向二　平面與平面平行的判定與性質(zhì) 例2　(xx·山東高考名校聯(lián)考信息優(yōu)化卷)如圖,沿等腰直角三角形ABC的中位線DE,將平面ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE得到四棱錐A-BCDE. (1)求證:平面ABC⊥平面ACD; (2)過CD的中點M的平面α與平面ABC平行,試求平行α與四棱錐A-BCDE各個面的交線所圍成的多邊形的面積與△ABC的面積之比. 【審題視點】　平面翻折后可得AD⊥平面BCDE.依據(jù)α∥平面ABC得出交線位置,可求面積之比. 變式訓(xùn)練 2. 如圖所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為3的正方體,點E在AA1上,點F在CC1上,G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中點.求證: (1)E,B,F,D1四點共面; (2)平面A1GH∥平面BED1F. (第2題) 考向三　　直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 例3　(xx·東北三校聯(lián)考)如圖,在四面體ABCD中,O,E分別是BD,BC的中點,AB=AD=,CA=CB=CD=BD=2. (1)求證:BD⊥AC; (2)求三棱錐E-ADC的體積. 【審題視點】　BD⊥AO,BD⊥CO?BD⊥平面AOC?BD⊥AC,AO⊥CO,AO⊥BD?AO⊥平面BDC?VE-ADC. 變式訓(xùn)練 3. (xx·重慶)在如圖所示四棱錐P-ABCD中,底面是以O(shè)為中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M為BC上一點,且BM=. (1)求證:BC⊥平面POM; (2)若MP⊥AP,求四棱錐P-ABMO的體積. (第3題) 考向四　　平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 例4　(xx·煙臺四校達標檢測)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,點P為DD1的中點. (1)求證:平面PAC⊥平面BDD1; (2)求證:PB1⊥平面PAC. 【審題視點】　(1)利用AC⊥面BDD1; (2)利用計算關(guān)系PB1⊥PC,PB1⊥PA. 【方法總結(jié)】　面面垂直的關(guān)鍵是線面垂直.兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù),運用時要注意“平面內(nèi)的直線”. 變式訓(xùn)練 4. (xx·海濱區(qū)期末練習(xí))在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,AC∩BD=O. (1)若AC⊥PD,求證:AC⊥平面PBD; (2)若平面PAC⊥平面ABCD,求證:PB=PD. (第4題) 考向五　　平行與垂直的綜合應(yīng)用 例5　(xx·濟南兩所名校模擬)如圖(1),在梯形BCDE中,BC∥DE,BA⊥DE,且EA=DA=AB=2CB=2,如圖(2),沿AB將四邊形AB-CD折起,使得平面AB-CD與平面ABE垂直,M為CE的中點. (1) (2) (1)求證:AM⊥BE; (2)求三棱錐C -BED的體積. 【審題視點】　取BE中點N,MN∥BC∥DA?MN⊥平面ABE?BE⊥平面AMN?AM⊥BE. 【方法總結(jié)】　平行與垂直之間的轉(zhuǎn)化常用結(jié)論: ①a⊥α,b∥α?a⊥b; ②a∥b,a∥α?b⊥a; ③a∥β,a∥α?a⊥β; ④a⊥α,b∥α?a∥b. 變式訓(xùn)練 5. 如圖,在四面體ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,點E,F分別是AB、BD的中點.求證: (1)直線EF∥平面ACD; (2)平面EFC⊥平面BCD. (第5題) 經(jīng)典考題 典例　(xx·北京)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分別是A1C1,BC的中點. (1)求證:平面ABE⊥平面B1BCC1; (2)求證:C1F∥平面ABE; (3)求三棱錐E-ABC的體積. 【解題指南】　(1)證明BB1⊥AB,從而證得平面ABE⊥平面B1BCC1. (2)證明四邊形FGEC1為平行四邊形,進而可證得C1F∥平面ABE. (3)先計算AB,再求得三棱錐E -ABC的體積. 【解】　(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中, BB1⊥底面ABC, 所以BB1⊥AB. 又AB⊥BC, 所以AB⊥平面B1BCC1. 所以平面ABE⊥平面B1BCC1. (2)如圖,取AB的中點G,連接EG,FG. 因為E,F,G分別是A1C1,BC,AB的中點, 所以FG∥AC,且. 因為AC∥A1C1,且AC=A1C1, 所以FG∥EC1,且FG=EC1, 所以四邊形FGEC1為平行四邊形. 真題體驗 1. (xx·湖北)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分別是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中點.求證: (1)直線BC1∥平面EFPQ; (2)直線AC1⊥平面PQMN. (第1題) 2. (xx·江蘇)如圖所示,在三棱錐P-ABC中,D,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求證: (1)直線PA∥平面DEF; (2)平面BDE⊥平面ABC. (第2題) 參考答案與解析 知識梳理 3. 任一　(1)相交　垂直于　(2)所有　平行　平行 4. 垂線　交線 基礎(chǔ)自測 1. D　2. C　3. B　4.④　5.(1)中　(2)外　(3)垂 考點透析 【例1】　(1)因為BC∥平面GEFH,BC?平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC. 同理可證EF∥BC,因此GH∥EF. (2)連接AC,BD交于點O,BD交EF于點K,連接OP,GK. 因為PA=PC,O是AC的中點, 所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD. 又BD∩AC=O,且AC,BD都在平面ABCD內(nèi), 所以PO⊥平面ABCD. 又平面GEFH⊥平面ABCD,且PO?平面GEFH, 所以PO∥平面GEFH. 因為平面PBD∩平面GEFH=GK, 所以PO∥GK.所以GK⊥平面ABCD. 又EF?平面ABCD,所以GK⊥EF. 變式訓(xùn)練 經(jīng)典考題 真題體驗 1. (1)如圖,連接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方體, 知AD1∥BC1. 因為F,P分別是AD,DD1的中點,所以FP∥AD1. 從而BC1∥FP. 而FP?平面EFPQ,且BC1?平面EFPQ, 故直線BC1∥平面EFPQ. (第1題) (2)如圖,連接AC,BD,A1C1,則AC⊥BD. 由CC1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD, 可得CC1⊥BD. 又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1A1. 而AC1?平面ACC1A1,所以BD⊥AC1. 因為M,N分別是A1B1,A1D1的中點, 所以MN∥BD,從而MN⊥AC1. 同理可證PN⊥AC1. 又PN∩MN=N,所以直線AC1⊥平面PQMN.