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4.6 教材第5章習(xí)題與上機(jī)題解答 1. 已知系統(tǒng)用下面差分方程描述:,試分別畫出系統(tǒng)的直接型、 級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 式中x(n)和y(n)分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出信號。 ,解： 將原式移項(xiàng)得,將上式進(jìn)行Z變換， 得到,(1) 按照系統(tǒng)函數(shù)H(z)， 根據(jù)Masson公式， 畫出直接型結(jié)構(gòu)如題1解圖（一）所示。,題1解圖（一）,(2) 將H(z)的分母進(jìn)行因式分解：,按照上式可以有兩種級聯(lián)型結(jié)構(gòu): ①,畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（二）（a)所示。 ②,畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（二）（b)所示。,,題1解圖（二）,(3) 將H(z)進(jìn)行部分分式展開：,根據(jù)上式畫出并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（三）所示。,題1解圖（三）,2． 設(shè)數(shù)字濾波器的差分方程為,試畫出系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)。  解： 由差分方程得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為,,畫出其直接型結(jié)構(gòu)如題2解圖所示。,題2解圖,3. 設(shè)系統(tǒng)的差分方程為 y(n)=(a+b)y(n－1)－aby(n－2)+x(n－2)+(a+b)x(n－1)+ab 式中, |a|1， |b|1, x(n)和y(n)分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出信號, 試畫出系統(tǒng)的直接型和級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 解： (1) 直接型結(jié)構(gòu)。 將差分方程進(jìn)行Z變換， 得到 Y(z)=(a+b)Y(z)z－1－abY(z)z－2+X(z)z－2－(a+b)X(z)z－1+ab,按照Masson公式畫出直接型結(jié)構(gòu)如題3解圖（一）所示。,,題3解圖（一）,(2) 級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 將H(z)的分子和分母進(jìn)行因式分解， 得到,按照上式可以有兩種級聯(lián)型結(jié)構(gòu): ①,，,畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題3解圖（二）(a)所示。,②,，,畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題3解圖（二）(b)所示。,題3解圖（二）,4. 設(shè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為,試畫出各種可能的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)， 并指出哪一種最好。  解： 由于系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母各有兩個因式， 因而可以有兩種級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 H(z)=H1(z)H2(z) ①,，,畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題4解圖(a)所示。  ②,，,畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題4解圖（b）所示。,第一種級聯(lián)型結(jié)構(gòu)最好， 因?yàn)橛玫难訒r器少。,題4解圖,5． 題 5圖中畫出了四個系統(tǒng)， 試用各子系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)分別表示各總系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)， 并求其總系統(tǒng)函數(shù)。 解：(1) h(n)=h1(n)*h2(n)*h3(n), H(z)=H1(z)H2(z)H3(z) (2) h(n)=h1(n)+h2(n)+h3(n), H(z)=H1(z)+H2(z)+H3(z) (3) h(n)=h1(n)*h2(n)+h3(n), H(z)=H1(z) H2(z)+H3(z) (4) h(n)=h1(n)*［h2(n)+h3(n)*h4(n)］+h5(n) =h1(n)*h2(n)+h1(n)*h3(n)*h4(n)+h5(n) H(z)=H1(z)H2(z)+H1(z)H3(z)H4(z)+H5(z),題5圖,6． 題6圖中畫出了10種不同的流圖， 試分別寫出它們的系統(tǒng)函數(shù)及差分方程。,解： 圖(a),圖（b）,圖（c） H(z)=a+bz－1+cz－2,圖（d）,圖（e）,圖（f）,圖（g）,圖（h）,圖（i）,圖（j）,題6圖,7. 假設(shè)濾波器的單位脈沖響應(yīng)為 h(n)=anu(n) 0＜a＜1 求出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)， 并畫出它的直接型結(jié)構(gòu)。 解： 濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為,,系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)如題7解圖所示。,題7解圖,8. 已知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 h(n)=δ(n)+2δ(n－1)+0.3δ(n－2)+2.5δ(n－3)+0.5δ(n－5) 試寫出系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)， 并畫出它的直接型結(jié)構(gòu)。  解： 將h(n)進(jìn)行Z變換， 得到它的系統(tǒng)函數(shù) H(z)=1+2z－1+0.3z－2+2.5z－3+0.5z－5 畫出它的直接型結(jié)構(gòu)如題8解圖所示。,題8解圖,9. 已知FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為,試畫出該濾波器的直接型結(jié)構(gòu)和線性相位結(jié)構(gòu)。  解： 畫出濾波器的直接型結(jié)構(gòu)、 線性相位結(jié)構(gòu)分別如題9解圖(a)、 (b)所示。,題9解圖,10． 已知FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為: (1) N=6 h(0)=h(5)=15 h(1)=h(4)=2 h(2)=h(3)=3 (2) N=7 h(0)=h(6)=3 h(1)=－h(huán)(5)=－2 h(2)=－h(huán)(4)=1 h(3)=0 試畫出它們的線性相位型結(jié)構(gòu)圖， 并分別說明它們的幅度特性、 相位特性各有什么特點(diǎn)。,,解： 分別畫出（1）、 （2）的結(jié)構(gòu)圖如題10解圖（一）、 （二）所示。 （1） 屬第一類N為偶數(shù)的線性相位濾波器， 幅度特性關(guān)于ω=0, π, 2π偶對稱， 相位特性為線性、 奇對稱。 （2） 屬第二類N為奇數(shù)的線性相位濾波器， 幅度特性關(guān)于ω=0, π, 2π奇對稱， 相位特性具有線性且有固定的π/2相移。,題10解圖（一）,題10解圖（二）,11． 已知FIR濾波器的16個頻率采樣值為： H(0)=12， H(3)~H(13)=0 H(1)=－3－j ， H(14)=1－ j H(2)=1+j， H(15)=－3+j  試畫出其頻率采樣結(jié)構(gòu)， 選擇r=1， 可以用復(fù)數(shù)乘法器。 解：,,N=16,畫出其結(jié)構(gòu)圖如題11解圖所示。,題11解圖,12. 已知FIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上16個等間隔采樣點(diǎn)為: H(0)=12， H(3)~H(13)=0 H(1)=－3－j ， H(14)=1－j H(2)=1+j， H(15)=－3+j 試畫出它的頻率采樣結(jié)構(gòu), 取修正半徑r =0.9, 要求用實(shí)數(shù)乘法器。 解：,將上式中互為復(fù)共軛的并聯(lián)支路合并， 得到,,,,,畫出其結(jié)構(gòu)圖如題12解圖所示。,題12解圖,13． 已知FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為 h(n)=δ(n)－δ(n－1)+δ(n－4) 試用頻率采樣結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)該濾波器。 設(shè)采樣點(diǎn)數(shù)N=5， 要求畫出頻率采樣網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)， 寫出濾波器參數(shù)的計算公式。 解： 已知頻率采樣結(jié)構(gòu)的公式為,,式中,,,它的頻率采樣結(jié)構(gòu)如題13解圖所示。,題13解圖,14. 令： H1(z)=1－0.6z－1－1.414z－2+0.864z－3 H2(z)=1－0.98z－1+0.9z－2－0.898z－3 H3(z)=H1(z)/H2(z) 分別畫出它們的直接型結(jié)構(gòu)。 解： H1(z)、 H2(z)和H3(z)直接型結(jié)構(gòu)分別如題14解圖(a)、 (b)、 (c)所示。,題14解圖,15． 寫出題15圖中系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和單位脈沖響應(yīng)。,題15圖,解：,,取收斂域： |z|1/2， 對上式進(jìn)行逆Z變換， 得到,,16. 畫出題15圖中系統(tǒng)的轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)， 并驗(yàn)證兩者具有相同的系統(tǒng)函數(shù)。  解： 按照題15圖， 將支路方向翻轉(zhuǎn)， 維持支路增益不變， 并交換輸入輸出的位置， 則形成對應(yīng)的轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)， 畫出題15圖系統(tǒng)的轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)如題16解圖所示。 將題16解圖和題15圖對照， 它們的直通通路和反饋回路情況完全一樣， 寫出它們的系統(tǒng)函數(shù)完全一樣， 這里用Masson公式最能說明問題。,,題16解圖,題17圖,17. 用b1和b2確定a1、 a2、 c1和c0， 使題17圖中的兩個系統(tǒng)等效。,解： 題17圖 （a）的系統(tǒng)函數(shù)為,,①,題16圖（b）的系統(tǒng)函數(shù)為,,②,對比式①和式②， 當(dāng)兩個系統(tǒng)等效時， 系數(shù)關(guān)系為 a1=b1, a2=b2 c0=2, c1=－(b1+b2),18. 對于題18圖中的系統(tǒng)， 要求： （1） 確定它的系統(tǒng)函數(shù)； （2） 如果系統(tǒng)參數(shù)為 ① b0=b2=1, b1=2, a1=1.5, a2=－0.9 ② b0=b2=1, b1=2, a1=1, a2=－2 畫出系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖， 并檢驗(yàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解： （1）,,（2）,① b0=b2=1, b1=2, a1=1.5, a2=－0.9,,零點(diǎn)為z=－1(二階)， 極點(diǎn)為 p1, 2=0.750.58j, |p1, 2|=0.773 極零點(diǎn)分布如題18 解圖(a)所示。 由于極點(diǎn)的模小于1， 可知系統(tǒng)穩(wěn)定。 ,題18圖,題18解圖,② b0=b2=1, b1=2, a1=1, a2=－2,,零點(diǎn)為z=－1(二階)， 極點(diǎn)為 p1, 2=0.51.323j, |p1, 2|=1.414 極零點(diǎn)分布如題18解圖(b)所示。 這里極點(diǎn)的模大于1，或者說極點(diǎn)在單位圓外， 如果系統(tǒng)因果可實(shí)現(xiàn)， 收斂域?yàn)閨z|1.414， 收斂域并不包含單位圓， 因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。,19*. 假設(shè)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為,在單位圓上采樣六點(diǎn)， 選擇r＝0.95， 試畫出它的頻率采樣結(jié)構(gòu)， 并在計算機(jī)上用DFT求出頻率采樣結(jié)構(gòu)中的有關(guān)系數(shù)。 解：,,式中， 分母分子多項(xiàng)式各有一個零點(diǎn)z=1， 相互抵消， 因此該系統(tǒng)仍然穩(wěn)定， 屬于FIR系統(tǒng)。 由系統(tǒng)函數(shù)得到單位脈沖響應(yīng)為 h(n)=5δ(n)+5δ(n－1)+5δ(n－2)+3δ(n－3) +3δ(n－4)+3δ(n－5) H(k)=DFT［h(n)］ k=0, 1, 2, …, 5,,按照上式畫出頻率采樣修正結(jié)構(gòu)如題19*解圖所示。 圖中系數(shù) a0k=2Re［H(k)］, a1k=－2Re［rH(k)W6－k］ 求系數(shù)程序ex519.m如下：  %程序ex519.m hn=［5， 5， 5， 3， 3， 3］； r=0.95；  Hk=fft(hn， 6)；  for k=1： 3，  hk(k)=Hk(k)； Wk(k)=exp(－j*2*pi*(k－1)/6)；  end H0=Hk(1)； H3=Hk(4)； r0k=2*real(hk)； r1k=－2*real(r*hk.*Wk),,題19*解圖,程序運(yùn)行結(jié)果：  H(0) = 24 H(3) = 2 r0k = 48 4 0 r1k = －45.6000 3.8000 0 得到 α01=48, α02=4, α11=－45.2, α12=38 進(jìn)一步的說明： 此題h(n)的長度為6， 由單位圓上采樣6點(diǎn)得到頻率采樣結(jié)構(gòu)， 滿足頻率采樣定理。 但如果采樣點(diǎn)數(shù)少于6點(diǎn)， 則不滿足頻率采樣定理， 產(chǎn)生時域混疊現(xiàn)象。,20. 已知FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： （1） H(z)=1+0.8z－1+0.65z－2 （2） H(z)=1－0.6z－1+0.825z－2－0.9z－3 試分別畫出它們的直接型結(jié)構(gòu)和格型結(jié)構(gòu)， 并求出格型結(jié)構(gòu)的有關(guān)參數(shù)。 解： 已知FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)， 設(shè)計相應(yīng)的格型結(jié)構(gòu)需要用到的公式如下： ak=h(k),,l=1, 2, …, N,,式中, N是FIR濾波器的階數(shù)，h(k)是其單位脈沖響應(yīng)， kl是格型結(jié)構(gòu)的系數(shù)。  （1） 畫出直接型結(jié)構(gòu)如題20解圖（a）所示。 h(n)=δ(n)+0.8δ(n－1)+0.65δ(n－2),,,,,k1=0.485 畫出格型結(jié)構(gòu)如題20解圖（b）所示。,(2) 畫出直接型結(jié)構(gòu)如題20解圖（c）所示。 H(z)=1－0.6z－1+0.825z－2－0.9z－3 h(n)=δ(n)－0.6δ(n－1)+0.825δ(n－2)－0.9δ(n－3),,,,k3=－0.9,,,,,,,,k1=0.3 畫出直接型結(jié)構(gòu)如題20解圖（d）所示。,題20解圖,21. 假設(shè)FIR格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的參數(shù)k1=－0.08, k2=0.217, k3=1.0, k4=0.5， 求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)并畫出FIR直接型結(jié)構(gòu)。 解： 用到的公式重寫如下：,,,,1≤k≤l－1; l=1, 2, …, N（該題N=3）,,,,,,最后得到,,畫出它的直接型結(jié)構(gòu)如題21解圖所示。,系統(tǒng)函數(shù)為,,題21解圖,22. 假設(shè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 H(z)=1+2.88z－1+3.4048z－2+1.74z－3+0.4z－4 要求: (1) 畫出系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)以及描述系統(tǒng)的差分方程; (2) 畫出相應(yīng)的格型結(jié)構(gòu)， 并求出它的系數(shù); (3) 判斷系統(tǒng)是否是最小相位。 解： (1) 系統(tǒng)的差分方程為 y(n)=x(n)+2.88x(n－1)+3.4048x(n－2) +1.74x(n－3)+0.4x(n－4) 它的直接型結(jié)構(gòu)如題22解圖（一）所示。,題22解圖（一）,(2) N=4，,,,,,,,,,,,,,,,,,由以上得到 k1=0.863, k2=1.123, k3=0.684, k4=0.4,題22解圖（二）,畫出其格型結(jié)構(gòu)如題22解圖（二）所示。,(3) 由系統(tǒng)函數(shù)求出系統(tǒng)的零點(diǎn)為 －1.0429 + 0.6279i －1.0429－0.6279i －0.3971 + 0.3350i －0.3971－0.3350i 畫出系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖如題22解圖（三）所示。 因?yàn)橄到y(tǒng)有兩個零點(diǎn)在單位圓外， 因此系統(tǒng)不是最小相位系統(tǒng)。,,題22解圖（三）,,