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第三單元 函數(shù) 第十三課時 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練 1. (xx哈爾濱)拋物線y＝－(x＋)2－3的頂點坐標(biāo)是(　　) A. (，－3) B. (－，－3) C. (，3) D. (－，3) 2. (xx金華)對于二次函數(shù)y＝－(x－1)2＋2的圖象與性質(zhì)，下列說法正確的是(　　) A. 對稱軸是直線x＝1，最小值是2 B. 對稱軸是直線x＝1，最大值是2 C. 對稱軸是直線x＝－1，最小值是2 D. 對稱軸是直線x＝－1，最大值是2 第3題圖 3. (xx長沙中考模擬卷五)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a>0)的對稱軸是直線x＝1，且經(jīng)過點P(3，0)，則a－b＋c的值為(　　) A. 0 　　　B. －1 C. 1 　　　D. 2 4. (xx連云港)已知拋物線y＝ax2(a>0)過A(－2，y1)，B(1，y2)兩點，則下列關(guān)系式一定正確的是(　　) A. y1>0>y2 B. y2>0>y1 C. y1>y2>0 D. y2>y1>0 第5題圖 5. (xx六盤水)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則(　　) A. b>0，c>0 B. b>0，c<0 C. b<0，c<0 D. b<0，c>0 6. 將拋物線y＝3x2－3向右平移3個單位長度，得到新拋物線的表達(dá)式為(　　) A. y＝3(x－3)2－3 B. y＝3x2 C. y＝3(x＋3)2－3 D. y＝3x2－6 7. (xx寧波)拋物線y＝x2－2x＋m2＋2(m是常數(shù))的頂點在(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第二象限 D. 第三象限 第8題圖 8. (xx鄂州)已知二次函數(shù)y＝(x＋m)2－n的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝mx＋n與反比例函數(shù)y＝的圖象可能是(　　) 9. (xx隨州)對于二次函數(shù)y＝x2－2mx－3，下列結(jié)論錯誤的是(　　) A. 它的圖象與x軸有兩個交點 B. 方程x2－2mx＝3的兩根之積為－3 C. 它的圖象的對稱軸在y軸的右側(cè) D. x1 C. 00)的圖象是(　　) 14. (xx長沙中考模擬卷六)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示， 　第14題圖 現(xiàn)有下列結(jié)論：①b2－4ac>0；②abc>0；③>－8；④ 9a＋3b＋c<0.其中，正確結(jié)論的個數(shù)是(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. (xx蘇州)若二次函數(shù)y＝ax2＋1的圖象經(jīng)過點(－2，0)，則關(guān)于x的方程a(x－2)2＋1＝0的實數(shù)根為(　　) A. x1＝0，x2＝4 B. x1＝－2，x2＝6 C. x1＝，x2＝ D. x1＝－4，x2＝0 16. (xx樂山)已知二次函數(shù)y＝x2－2mx(m為常數(shù))，當(dāng)－1≤x≤2時，函數(shù)值y的最小值為－2，則m的值是(　　) A. B. C. 或 D. －或 17. (xx上海)已知一個二次函數(shù)的圖象開口向上，頂點坐標(biāo)為(0，－1)，那么這個二次函數(shù)的解析式可以是______________．(只需寫一個) 18. (xx百色)經(jīng)過A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三點的拋物線解析式是______________． 19. (xx廣州)當(dāng)x＝________時，二次函數(shù)y＝x2－2x＋6有最小值________． 　第20題圖 20. (xx蘭州)如圖，若拋物線y＝ax2＋bx＋c上的P(4，0)，Q兩點關(guān)于它的對稱軸x＝1對稱，則Q點的坐標(biāo)為________． 21. (xx青島)若拋物線y＝x2－6x＋m與x軸沒有交點，則m的取值范圍是________． 　第22題圖 22. (xx咸寧)如圖，直線y＝mx＋n與拋物線y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)兩點，則關(guān)于x的不等式mx＋n>ax2＋bx＋c的解集是____． 23. (xx鄂州)已知正方形ABCD中A(1，1)、B(1，2)、C(2，2)、D(2，1)，有一拋物線y＝(x＋1)2向下平移m個單位(m>0)與正方形ABCD的邊(包括四個頂點)有交點，則m的取值范圍是________． 24. (6分)設(shè)二次函數(shù)y＝x2＋px＋q的圖象經(jīng)過點(2，－1)，且與x軸交于不同的兩點A(x1，0)，B(x2，0)，M為二次函數(shù)圖象的頂點，求使△AMB的面積最小時的二次函數(shù)的解析式． 25. (8分)(xx云南)已知二次函數(shù)y＝－2x2＋bx＋c圖象的頂點坐標(biāo)為(3，8)，該二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸的交點為A，M是這個二次函數(shù)圖象上的點，O是原點． (1)不等式b＋2c＋8≥0是否成立？請說明理由； (2)設(shè)S是△AMO的面積，求滿足S＝9的所有點M的坐標(biāo)． 26. (8分)(xx北京)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2－4x＋3與x軸交于點A，B(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C. (1)求直線BC的表達(dá)式； (2)垂直于y軸的直線l與拋物線交于點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，與直線BC交于點N(x3，y3)．若x1＜x2＜x3，結(jié)合函數(shù)的圖象，求x1＋x2＋x3的取值范圍． 27. (9分)(xx荊州)已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋(k－5)x＋1－k＝0，其中k為常數(shù)． (1)求證：無論k為何值，方程總有兩個不相等實數(shù)根； (2)已知函數(shù)y＝x2＋(k－5)x＋1－k的圖象不經(jīng)過第三象限，求k的取值范圍； (3)若原方程的一個根大于3，另一個根小于3，求k的最大整數(shù)值． 28. (9分)(xx郴州)設(shè)a、b是任意兩個實數(shù)，用max{a，b}表示a、b兩數(shù)中較大者．例如：max{－1，－1}＝－1，max{1，2}＝2，max(4，3)＝4.參照上面的材料，解答下列問題： (1)max{5，2}＝________，max{0，3}＝________； (2)若max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，求x的取值范圍； (3)求函數(shù)y＝x2－2x－4與y＝－x＋2的圖象的交點坐標(biāo)．函數(shù)y＝x2－2x－4的圖象如圖所示，請你在圖中作出函數(shù)y＝－x＋2的圖象，并根據(jù)圖象直接寫出max{－x＋2，x2－2x－4}的最小值． 第28題圖 能力提升訓(xùn)練 1. (xx天津)已知拋物線y＝x2－4x＋3與x軸相交于點A，B(點A在點B左側(cè))，頂點為M，平移該拋物線，使點M平移后的對應(yīng)點M′落在x軸上，點B平移后的對應(yīng)點B′落在y軸上，則平移后的拋物線解析式為(　　) A. y＝x2＋2x＋1 B. y＝x2＋2x－1 C. y＝x2－2x＋1 D. y＝x2－2x－1 　第2題圖 2. (xx揚(yáng)州)如圖，已知△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A(0，2)、B(1，0)、C(2，1)，若二次函數(shù)y＝x2＋bx＋1的圖象與陰影部分(含邊界)一定有公共點，則實數(shù)b的取值范圍是(　　) A. b≤－2 B. b<－2 C. b≥－2 D. b>－2 3. (xx長沙中考模擬卷二)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)經(jīng)過點M(－1，2)和點N(1，－2)，交x軸于點A，B，交y軸于點C. 現(xiàn)有以下四個結(jié)論：①b＝－2；②該二次函數(shù)圖象與y軸交于負(fù)半軸；③存在實數(shù)a，使得M，A，C三點在同一條直線上；④若a＝1，則OAOB＝OC2.其中，正確的結(jié)論有(　　) A. ①②③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③ 4. (xx武漢)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax2＋(a2－1)x－a的圖象與x軸的一個交點的坐標(biāo)為(m，0)，若20，y2>0，且y1>y2＞0. 第4題解圖 5. B　【解析】∵圖象開口向下，∴a＜0，∵對稱軸x＝－在y軸右側(cè)，∴－＞0，∴b＞0，又∵圖象與y軸的交點在x軸下方，∴c＜0. 6. A　【解析】由函數(shù)圖象左右平移的規(guī)律遵從“左加右減”可知：當(dāng)y＝3x2－3的圖象向右平移3個單位時，得到新拋物線的表達(dá)式為y＝3(x－3)2－3. 7. A　【解析】對稱軸x＝－＝1，代入表達(dá)式可得y＝m2＋1，∴頂點坐標(biāo)為(1，m2＋1)，∵m2≥0，∴m2＋1≥1，∴頂點坐標(biāo)在第一象限． 8. C　【解析】∵二次函數(shù)y＝(x＋m)2－n的頂點在第二象限，∴－m<0，－n>0，∴m>0，n<0，mn<0，∴一次函數(shù)y＝mx＋n經(jīng)過第一、三、四象限，反比例函數(shù)y＝經(jīng)過第二、四象限． 9. C　【解析】∵b2－4ac＝(－2m)2－41(－3)＝4m2＋12＞0，∴圖象與x軸有兩個交點，A正確；令y＝0得x2－2mx－3＝0，方程的解即拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)，由A知圖象與x軸有兩個交點，故方程有兩個根，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得兩根之積為＝－3，B正確；根據(jù)拋物線對稱軸公式可得對稱軸為x＝－＝－＝m，∵m的值不能確定，故對稱軸是否在y軸的右側(cè)不能確定，C錯誤；∵a＝1＞0，拋物線開口向上，∴對稱軸左側(cè)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，由C知拋物線對稱軸為x＝m，∴當(dāng)x＜m時，y隨x的增大而減小，D正確． 10. A　【解析】∵函數(shù)y＝x2－2x＋b的圖象與坐標(biāo)軸有三個交點，∴圖象與x軸有兩個交點，則(－2)2－4b>0，解得b<1，又∵圖象與y軸有一個交點，∴b≠0，綜上，b的取值范圍是b＜1且b≠0. 11. B　【解析】∵一次函數(shù)y＝(a＋1)x＋a的圖象過第一、三、四象限，∴，解得－1＜a＜0，∵二次函數(shù)y＝ax2－ax＝a(x－)2－a，又∵－1＜a＜0，∴二次函數(shù)y＝ax2－ax有最大值，且最大值為－a. 12. C　【解析】由表格可知當(dāng)x＝1.2時，y的值最接近0，∴x2＋3x－5＝0的一個近似根是1.2. 13. D　【解析】在拋物線y＝－x2＋3中，令y＝0，解得x＝，令x＝0，則y＝3，∴拋物線與x軸圍成封閉區(qū)域(邊界除外)內(nèi)的整點有：(－1，1)，(1，1)，(0，1)，(0，2)，共4個，∴k＝4，∴反比例函數(shù)解析式為y＝，其圖象經(jīng)過點(1，4)，(2，2)，(4，1)，故選D. 14. D　【解析】觀察圖象可知，函數(shù)與x軸有兩個交點，∴Δ＝b2－4ac＞0，故①項正確；函數(shù)圖象開口向上，與y軸交于負(fù)半軸，∴a＞0，c＜0，對稱軸－＝1，∴b＜0，∴abc＞0，故②正確；由②可得對稱軸－＝1，∴b＝－2a，可將拋物線的解析式化為y＝ax2－2ax＋c(a≠0)，由函數(shù)圖象知：當(dāng)x＝－2時，y＞0，即4a－(－4a)＋c＝8a＋c＞0，即＞－8，故③正確；由二次函數(shù)的對稱性可知，當(dāng)x＝3和x＝－1時，y的值相等，觀察圖象可知，當(dāng)x＝－1時，y＜0，∴當(dāng)x＝3時，y＜0，則9a＋3b＋c＜0，故④項正確，綜上所述，正確結(jié)論為①②③④，共4個． 15. A　【解析】∵二次函數(shù)y＝ax2＋1的圖象經(jīng)過點(－2，0)，∴代入得(－2)2a＋1＝0，解得a＝－，即－(x－2)2＋1＝0，解得x1＝0，x2＝4. 16. D　【解析】∵二次函數(shù)的對稱軸為x＝m，∴對稱軸不確定，需分情況討論．①當(dāng)m≥2時，此時－1≤x≤2落在對稱軸的左邊，當(dāng)x＝2時，y取得最小值－2，即－2＝22－2m2，解得m＝(舍)；②當(dāng)－10，頂點坐標(biāo)為(0，－1)，可設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝ax2－1，即y＝x2－1(答案不唯一)． 18. y＝－(x－4)(x＋2)　【解析】設(shè)拋物線解析式為y＝a(x－4)(x＋2)，把C(0，3)代入上式得3＝a(0－4)(0＋2)，解得a＝－，故y＝－(x－4)(x＋2)． 19. 1，5　【解析】∵y＝x2－2x＋6＝(x2－2x＋1)＋5＝(x－1)2＋5，∴當(dāng)x＝1時，y＝x2－2x＋6有最小值，且最小值為5. 20. (－2，0)　【解析】∵拋物線上點P和點Q關(guān)于x＝1對稱，P(4，0)，可設(shè)Q(m，0)，∴＝1，解得m＝－2，∴Q(－2，0)． 21. m>9　【解析】∵拋物線y＝x2－6x＋m與x軸沒有交點，∴方程x2－6x＋m＝0無實數(shù)解，即b2－4ac＝(－6)2－4m<0，解得m>9. 22. x<－1或x>4　【解析】觀察題圖，當(dāng)直線在拋物線之上時，即mx＋n＞ax2＋bx＋c，∵A(－1，p)，B(4，q)，∴關(guān)于x的不等式的解集為x<－1或x>4. 23. 2≤m≤8　【解析】∵將拋物線y＝(x＋1)2向下平移m個單位，得到拋物線y＝(x＋1)2－m，由平移后拋物線與正方形ABCD的邊有交點，則當(dāng)點B在拋物線上時，m取最小值，此時(1＋1)2－m＝2，解得m＝2，當(dāng)點D在拋物線上時，m取最大值，此時(2＋1)2－m＝1，解得m＝8，綜上所述，m的取值范圍是2≤m≤8. 24. 解：∵二次函數(shù)y＝x2＋px＋q經(jīng)過點(2，－1)，代入得－1＝22＋2p＋q， 即2p＋q＝－5， ∵x1，x2為x2＋px＋q＝0兩根， ∴x1＋x2＝－p，x1x2＝q， ∴|AB|＝|x1－x2|＝＝， 頂點M(－，)， ∴S△AMB＝|AB|||＝||＝(p2－4q)|4q－p2|＝(p2－4q)， 當(dāng)p2－4q最小時，S△AMB有最小值， ∵p2－4q＝p2＋8p＋20＝(p＋4)2＋4， ∴當(dāng)p＝－4時，p2－4q取最小值4，此時q＝3， 故所求的二次函數(shù)解析式為y＝x2－4x＋3. 25. 解：(1)不等式b＋2c＋8≥0成立．理由如下： ∵二次函數(shù)y＝－2x2＋bx＋c圖象的頂點坐標(biāo)為(3，8)， ∴ 解得， ∴b＋2c＋8＝0， ∴不等式b＋2c＋8≥0成立； (2)由(1)知，b＝12，c＝－10， ∴代入得y＝－2x2＋12x－10， 由已知得點A的坐標(biāo)為(3，0)，設(shè)M(x，－2x2＋12x－10)， 當(dāng)點M在x軸上方時，S＝3(－2x2＋12x－10)＝9， 解得x1＝2或x2＝4； 當(dāng)點M在x軸下方時，S＝3[－(－2x2＋12x－10)]＝9， 解得x3＝3－或x4＝3＋， ∴滿足S＝9的所有點M的坐標(biāo)為(2，6)，(4，6)，(3－，－6)，(3＋，－6)． 26. 解：(1)∵拋物線y＝x2－4x＋3與x軸交于點A，B(點A在點B左側(cè))， ∴令y＝0，則有x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)＝0， 解得x1＝1，x2＝3， ∴A(1，0)，B(3，0)， ∵拋物線y＝x2－4x＋3與y軸交于點C， ∴令x＝0，得y＝3，∴C(0，3)， 設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx＋b(k≠0)， 將B(3，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b，得 ，解得， ∴直線BC的表達(dá)式為y＝－x＋3； (2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， ∴拋物線對稱軸為x＝2，頂點為(2，－1)， ∵l⊥y軸，l交拋物線于點P、Q，交BC于點N，x10， ∴無論k為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根； (2)∵二次函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限， ∴對稱軸x＝>0且不與y軸負(fù)半軸相交，即1－k≥0， 聯(lián)立得，解得k≤1； (3)依題意得，對于y＝x2＋(k－5)x＋1－k， ∵x＝3時，y<0， ∴y＝32＋3(k－5)＋1－k<0， 即2k－5<0，k<， ∴k的最大整數(shù)取2. 28. 解：(1)5，3； (2)由題意知：3x＋1≤－x＋1，解得x≤0； (3)聯(lián)立函數(shù)解析式得， 解得或， 第28題解圖 ∴兩函數(shù)的交點坐標(biāo)為：(3，－1)，(－2，4)； 如解圖，過兩交點作直線即為所求圖象； 觀察解圖可知：max{－x＋2，x2－2x－4}的最小值為－1. 能力提升訓(xùn)練 1. A　【解析】∵拋物線與x軸交于A、B兩點，∴令y＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴A(1，0)，B(3，0)，∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴M(2，－1)．∵要使平移后的拋物線的頂點在x軸上，需將圖象向上平移1個單位，要使B平移后的對應(yīng)點B′落在y軸上，需再向左平移3個單位，∴M′(－1，0)，則平移后二次函數(shù)的解析式為y＝(x＋1)2，即y＝x2＋2x＋1. 2. C　【解析】如解圖，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋1與y軸交于點(0，1)，對稱軸為x＝－，當(dāng)b＝－2時，對稱軸x＝1，拋物線過(0，1)，C(2，1)；當(dāng)b＜－2時，對稱軸x>1，拋物線與△ABC不相交；當(dāng)b＞－2時，對稱軸x<1，拋物線與△ABC相交，綜上所述，b≥－2. 第2題解圖 3. C　【解析】∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)經(jīng)過點M(－1，2)和點N(1，－2)，∴，解得b＝－2，故①正確；∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，a＞0，∴該二次函數(shù)圖象開口向上，∵點M(－1，2)和點N(1，－2)，∴直線MN的解析式為y＝－2x，當(dāng)－1＜x＜1時，二次函數(shù)圖象在y＝－2x的下方，∴該二次函數(shù)圖象與y軸交于負(fù)半軸，故②正確；根據(jù)拋物線圖象的特點，M、A、C三點不可能在同一條直線上，故③錯誤；當(dāng)a＝1時，c＝－1，∴該拋物線的解析式為y＝x2－2x－1，當(dāng)y＝0時，0＝x2－2x＋c，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得x1x2＝c，即OAOB＝|c|，當(dāng)x＝0時，y＝c，即OC＝|c|＝1＝OC2，∴若a＝1，則OAOB＝OC2，故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論有①②④. 4. 0，即m>0，t<0， 又∵拋物線y＝x2－2x－3的頂點坐標(biāo)(1，－4)，得－4≤t<0， 過點P′作P′H⊥x軸，H為垂足，即H(－m，0)， 又∵A(－1，0)，t＝m2－2m－3， 則P′H2＝t2，AH2＝(－m＋1)2＝m2－2m＋1＝t＋4， 當(dāng)點A和H不重合時，在Rt△P′AH中，P′A2＝P′H2＋AH2； 當(dāng)點A和H重合時，AH＝0，P′A2＝P′H2，符合題意， ∴P′A2＝P′H2＋AH2，即P′A2＝t2＋t＋4(－4≤t<0)， 令y′＝t2＋t＋4，則y′＝(t＋)2＋， ∴當(dāng)t＝－時，y′取得最小值， 將t＝－代入t＝m2－2m－3， 得－＝m2－2m－3， 解得m1＝，m2＝， 由m>0，可知m＝不符合題意，應(yīng)舍去， ∴m＝.