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綜合檢測二(標準卷)
考生注意：
1．本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁．
2．答卷前，考生務必用藍、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學號填寫在相應位置上．
3．本次考試時間120分鐘，滿分150分．
4．請在密封線內作答，保持試卷清潔完整．
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝2n，n∈A}，則A∩B等于( )
A．{1,4}B．{2,3}C．{2,4}D．{1,2}
答案 C
解析 把n＝1,2,3,4分別代入x＝2n，得x＝2,4,6,8，即B＝{2,4,6,8}，
∵A＝{1,2,3,4}，
∴A∩B＝{2,4}．
2．設i是虛數單位，若復數z＝，則等于( )
A.－i B．1＋i
C．1－i D.＋i
答案 A
解析 ∵復數z＝，∴z＝＝＝＋，
∴＝－.
3．設變量x，y滿足約束條件，則z＝2x－y的最小值為( )
A．－3B．－2C．－1D．2
答案 B
解析 繪制不等式組表示的可行域(陰影部分包含邊界)，結合目標函數可得，目標函數在點A(－1,0) 處取得最小值z＝2x－y＝－2.
4.如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點，＝x＋y，且＝2，則( )
A．x＝，y＝ B．x＝，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝
答案 A
解析 由題可知＝＋，又＝2，所以＝＋B＝＋(－)＝O＋，所以x＝，y＝，故選A.
5．在一次歌手大獎賽上，七位評委為某歌手打出的分數如下：
9．4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7
去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的平均值和方差分別為( )
A．9.4,0.484 B．9.4,0.016
C．9.5,0.040 D．9.5,0.016
答案 D
解析 根據平均值和方差的計算公式知，＝(9.4＋9.4＋9.6＋9.4＋9.7)＝9.5；s2＝[3(9.4－9.5)2＋(9.6－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝0.016.故選D.
6．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，則輸出的S值為( )
A．15B．37C．83D．177
答案 B
解析 執(zhí)行程序，可得
S＝0，i＝1，不符合，返回循環(huán)；
S＝20＋1＝1，i＝3，不符合，返回循環(huán)；
S＝21＋3＝5，i＝5，不符合，返回循環(huán)；
S＝25＋5＝15，i＝7，不符合，返回循環(huán)；
S＝215＋7＝37，i＝9，符合，輸出S＝37.
故選B.
7．在公比為q的正項等比數列{an}中，a4＝1，則當2a2＋a6取得最小值時，log2q等于( )
A.B．－C.D．－
答案 A
解析 2a2＋a6≥2＝2＝2，當且僅當q4＝2時取等號，所以log2q＝＝，故選A.
8.三世紀中期，魏晉時期的數學家劉徽首創(chuàng)割圓術，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的算法．所謂割圓術，就是不斷倍增圓內接正多邊形的邊數求出圓周率的方法．如圖是劉徽利用正六邊形計算圓周率時所畫的示意圖，現向圓中隨機投擲一個點，則該點落在正六邊形內的概率為( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 設圓的半徑為r，則圓的面積S圓＝πr2，正六邊形的面積S正六邊形＝6r2sin60＝r2，所以向圓中隨機投擲一個點，該點落在正六邊形內的概率P＝＝＝，故選A.
9．已知某幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖是由邊長為2的正方形和半徑為1的半圓組成，則該幾何體的體積為( )
A．8＋B．8＋C．4＋D．8＋
答案 D
解析 由三視圖可知幾何體為半圓錐與正方體的組合體，
V＝23＋π122＝8＋.
10．在△ABC中，內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，且asin 2B＋bsin A＝0，若a＋c＝2，則邊b的最小值為( )
A．4B．3C．2D.
答案 D
解析 根據asin2B＋bsinA＝0，由正弦定理可得sinAsin2B＋sinBsinA＝0?cosB＝－，
∵0
0，b>0)的左、右兩支分別交于M，N兩點，且MF1，NF2都垂直于x軸(其中F1，F2分別為雙曲線C的左、右焦點)，則該雙曲線的離心率為( )
A.B.C.－1D.
答案 D
解析 ∵直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于M，N兩點，且MF1，NF2都垂直于x軸，
∴根據雙曲線的對稱性，
設點M(－c，－y)，N(c，y)(y>0)，
則－＝1，即|y|＝，且|MF1|＝|NF2|＝|y|，
又∵直線l的傾斜角為45，
∴直線l過坐標原點，|y|＝c，
∴＝c，整理得c2－ac－a2＝0，
即e2－e－1＝0，解方程得e＝.
12．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3對x∈(0，＋∞)恒成立，則實數a的取值范圍是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，4]
C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)
答案 B
解析 ∵2xlnx≥－x2＋ax－3對x∈(0，＋∞)恒成立，
∴a≤x＋2lnx＋對x∈(0，＋∞)恒成立，
令f(x)＝x＋2lnx＋，則f′(x)＝1＋－＝.
由f′(x)>0得x>1，即f(x)在(1，＋∞)上為增函數；由f′(x)<0得01＋，
∴兩圓外離，
∴|PD|的最小值為3－1－＝2－1，
∴|＋|的最小值為4－2.
15.已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(0)＝________.
答案 1
解析 由函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象知，A＝2，＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2，
又f＝2sin＝2,
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<，∴φ＝.
∴f(x)＝2sin，f(0)＝2sin＝1.
16．已知拋物線C：y2＝8x，點P(0,4)，點A在拋物線上，當點A到拋物線準線l的距離與點A到點P的距離之和最小時，F是拋物線的焦點，延長AF交拋物線于點B，則△AOB的面積為________．
答案 4
解析 根據拋物線性質知拋物線上一點到準線的距離等于到焦點的距離，故當P，A，F三點共線時達到最小值，由P(0,4)，F(2,0)，可得lAB：2x＋y－4＝0，聯(lián)立拋物線方程可得x2－6x＋4＝0，設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，故|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10，原點到直線lAB：2x＋y－4＝0的距離d＝＝，所以△AOB的面積為10＝4.
三、解答題(本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(12分)設Sn為數列{an}的前n項和，已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通項公式；
(2)設bn＝，求數列{bn}的前n項和．
解 (1)由a＋2an＝4Sn＋3，可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3，
可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即
2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)，由于an>0，可得an＋1－an＝2，又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)，a1＝3，所以{an}是首項為3，公差為2的等差數列，通項公式為an＝2n＋1.
(2)由an＝2n＋1可知bn＝＝＝，設數列{bn}的前n項和為Tn，則Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝.
18．(12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中點，求證：
(1)PA∥平面EDB；
(2)AD⊥PC.
證明 (1)連接AC交BD于O，連接OE，
∵底面ABCD是正方形，∴O為AC中點，
∵在△PAC中，E是PC的中點，
∴OE∥PA，
∵OE?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
(2)∵側棱PD⊥底面ABCD，AD?底面ABCD，
∴PD⊥AD，
∵底面ABCD是正方形，
∴AD⊥CD，
又PD∩CD＝D，PD，CD?平面PCD，
∴AD⊥平面PCD，
又PC?平面PCD，∴AD⊥PC.
19．(12分)十九大報告提出：堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，做到精準扶貧工作．某幫扶單位幫助貧困村種植蜜柚，并利用互聯(lián)網電商渠道進行銷售．為了更好地銷售，現從該村的蜜柚樹上隨機摘下了100個蜜柚進行測重，其質量分布在區(qū)間內(單位：克)，統(tǒng)計質量的數據作出其頻率分布直方圖如圖所示：
(1)按分層抽樣的方法從質量落在，的蜜柚中隨機抽取5個，再從這5個蜜柚中隨機抽2個，求這2個蜜柚質量均小于2000克的概率；
(2)以各組數據的中間數值代表這組數據的平均水平，以頻率代表概率，已知該貧困村的蜜柚樹上大約還有5000個蜜柚待出售，某電商提出兩種收購方案：
A．所有蜜柚均以40元/千克收購；
B．低于2250克的蜜柚以60元/個收購，高于或等于2 250的以80元/個收購．
請你通過計算為該村選擇收益最好的方案．
解 (1)由題得蜜柚質量在[1 750,2 000)和[2 000，2 250)的比例為2∶3，∴分別抽取2個和3個．
記抽取質量在[1750,2000)的蜜柚為A1，A2，質量在[2000,2250)的蜜柚為B1，B2，B3，
則從這5個蜜柚中隨機抽取2個的情況共有以下10種：
A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3，
其中質量均小于2000克的僅有A1A2這1種情況，故所求概率為.
(2)方案A好，理由如下：
由頻率分布直方圖可知，蜜柚質量在[1500,1750)的頻率為2500.0004＝0.1，
同理，蜜柚質量在[1 750,2 000)，[2 000,2 250)，[2 250，2 500)，[2 500,2 750)，[2 750,3 000]的頻率依次為0.1，0.15，0.4,0.2,0.05，
若按方案A收購：根據題意各段蜜柚個數依次為500,500,750,2000,1000,250，
于是總收益為
401000＝250[(6＋7)2＋(7＋8)2 ＋(8＋9)3＋(9＋10)8＋(10＋11)4 ＋(11＋12)1]401000
＝2550(26＋30＋51＋152＋84＋23) ＝457500(元)，
若按方案B收購：∵蜜柚質量低于2250克的個數為(0.1＋0.1＋0.15)5000＝1750，
蜜柚質量高于2250克的個數為5000－1750＝3250，
∴收益為175060＋325080＝25020[73＋134]＝365000元，
∴方案A的收益比方案B的收益高，應該選擇方案A.
20．(12分)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為，P(，1)為橢圓上一點．
(1)求E的方程；
(2)已知斜率為，不過點P的動直線l交橢圓E于A，B兩點．證明：直線AP，BP的斜率和為定值．
(1)解 由題知解得a2＝6，b2＝2.即所求E的方程為＋＝1.
(2)證明 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
設l的方程為y＝x＋m(m≠0)．
易知，斜率為且經過P關于x軸的對稱點(，－1)時，直線與橢圓相切，
此時只有一個交點，不合題意，則x1≠且x2≠.
聯(lián)立方程組得
2x2＋2mx＋3m2－6＝0，Δ＝48－12m2>0，即m∈(－2,0)∪(0,2)．
所以x1＋x2＝－m，x1x2＝.
所以kPA＝，kPB＝.
即kPA＋kPB＝＋
＝，
因為x1x2＋(m－2)(x1＋x2)－2(m－1)＝0，
故kPA＋kPB＝0.
所以直線AP，BP的斜率和為定值．
21．(12分)已知函數f(x)＝(2－a)(x－1)－2lnx(a為常數)．
(1)當a＝1時，求f(x)的單調區(qū)間；
(2)若函數y＝f(x)，x∈的圖象與x軸無交點，求實數a的最小值．
解 (1)a＝1時，f(x)＝x－2lnx－1，f′(x)＝1－，
由f′(x)>0得x>2；f′(x)<0得00成立，
即x∈時，a>2－.
令l＝2－，x∈，
則l′(x)＝，
再令m(x)＝2lnx＋－2，x∈，
m′(x)＝<0，于是m在上為減函數，
故m(x)>m＝2－2ln2>0，∴l(xiāng)′(x)>0在上恒成立，
∴l(xiāng)(x)在上為增函數，∴l(xiāng)(x)2－恒成立，只要a∈[2－4ln2，＋∞)，
∴實數a的最小值為2－4ln2.
請在第22～23題中任選一題作答．
22．(10分)直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數)，在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝6cosθ.
(1)求圓C的直角坐標方程；
(2)設圓C與直線l交于點A，B，若點P的坐標為(2,1)，求|PA|＋|PB|的最小值．
解 (1)由ρ＝6cosθ得ρ2＝6ρcosθ，化為直角坐標方程為x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9.
(2)將直線l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，得t2＋2(sinα－cosα)t－7＝0.
由Δ＝4(sinα－cosα)2＋47＞0，故可設t1，t2是上述方程的兩根，
所以t1＋t2＝2(cosα－sinα)，t1t2＝－7，
又由直線過點(2,1)，故結合參數的幾何意義得
|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝＝≥2，當sin2α＝1時取等號．
所以|PA|＋|PB|的最小值為2.
23．(10分)設函數f(x)＝|2x－a|＋|x＋a|(a>0)．
(1)當a＝1時，求f(x)的最小值；
(2)若關于x的不等式f(x)<＋a在x∈[1,2]上有解，求實數a的取值范圍．
解 (1)當a＝1時，
f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝＋＋|x＋1|≥0＋＝，
當且僅當x＝時，取等號．
(2)當x∈[1,2]時，f(x)<＋a?|2x－a|＋x＋a<＋a?|a－2x|<－x?3x－0，所以0
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