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..2018北京市石景山區(qū)高三（上）期末數(shù) 學(xué)（理） 2018.1第一部分（選擇題 共 40 分）一、選擇題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．已知集合 ， ,則 （ ）??2,10,A????(1)20Bx????AB?IA． 　 B． 　　　C． 　D．?,0,?2．設(shè) 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）i2i?A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．用計(jì)算機(jī)在 之間隨機(jī)選取一個(gè)數(shù) ，則事件“ ”發(fā)生的概率為（ ）01: a13a?A． B． C．D．1324．以角 的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為 軸的非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，角 終邊過(guò)點(diǎn) ，則?x ???2,4P（ ）tan?????????A．B. C．D．13?3?1335． “ ”是“方程 表示雙曲線”的（ ）0m?2208xym?A．充分不必要條件　　　　B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．給定函數(shù)① ，② ，③ ，④ ，其中在區(qū)間 上單調(diào)遞減的函數(shù)序號(hào)12yx?12log()x?1yx??12xy?(0,1)是（ ）A．①④ B．①② C．②③ D．③④7． 《九章算術(shù)》卷五商功中有如下問題：今有芻甍（底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w） ，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無(wú)廣，高一丈，問積幾何．下圖網(wǎng)格紙中實(shí)線部分為此芻甍的三視圖，設(shè)網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為 1丈，那么此芻甍的體積為（ ）A. 3 立方丈 B. 5 立方丈 C. 6 立方丈 D. 12 立方丈..8． 小明在如圖 1 所示的跑道上勻速跑步，他從點(diǎn) 出發(fā)，沿箭頭方向經(jīng)過(guò)點(diǎn) 跑到點(diǎn) ，共用時(shí) ，他的教ABC30s練選擇了一個(gè)固定的位置觀察小明跑步的過(guò)程，設(shè)小明跑步的時(shí)間為 ，他與教練間的距離為 ，表示()ts()ym與 的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖 2 所示，則這個(gè)固定位置可能是圖 1 中的（ ）ytA．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)MNPQ第二部分（非選擇題共 110 分）二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分．9．若 ， ， ，則 的大小關(guān)系為_______.1ln2a?0.83b??????132c?,abc10．執(zhí)行下面的程序框圖，若輸入的 的值為 ，則輸出的 的值是________.x?y11.若實(shí)數(shù) 滿足 則 的取值范圍為_________.,xy3,2,yx?????≤≤ ≥ zy??12.設(shè)常數(shù) ，若 的二項(xiàng)展開式中 項(xiàng)的系數(shù)為 ，則 ______.　aR?5()a7x10?a?13．在 中， 為 上異于 ， 的任一點(diǎn)， 為 的中點(diǎn)，若 ，則ABC?HBCMAHAMBC???urur_________．????14．若集合 且下列四個(gè)關(guān)系：},4321{,?dcba① ；② ；③ ；④ 有且只有一個(gè)是正確的.1??d請(qǐng)寫出滿足上述條件的一個(gè)有序數(shù)組 __________,符合條件的全部有序數(shù)組 的個(gè)數(shù)是),(cba ),(dcba_________.QPN M圖 2圖 1 30t(s)y(m)ODC BA..三、解答題共 6 小題，共 80 分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．15． （本小題共 13 分）如圖，在 中， 為邊 上一點(diǎn)， ， ， ．ABCVD6AD?3B2C?（Ⅰ）若 ，求 的大小；2???（Ⅱ）若 ，求 的面積．316． （本小題共 13 分）摩拜單車和 ofo 小黃車等各種共享單車的普及給我們的生活帶來(lái)了便利.已知某共享單車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：每車使用不超過(guò) 小時(shí)（包含 小時(shí)）是免費(fèi)的，超過(guò) 小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi) 元（不足 小時(shí)的部分按 小時(shí)計(jì)算，1111例如：騎行 小時(shí)收費(fèi)為 元）.現(xiàn)有甲、乙兩人各自使用該種共享單車一次.設(shè)甲、乙不超過(guò) 小時(shí)還車的概率2.52分別為， ； 小時(shí)以上且不超過(guò) 小時(shí)還車的概率分別為 ， ；兩人用車時(shí)間都不會(huì)超過(guò) 小時(shí).14 1243（Ⅰ）求甲乙兩人所付的車費(fèi)相同的概率；（Ⅱ）設(shè)甲乙兩人所付的車費(fèi)之和為隨機(jī)變量 ，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望 .??E圖 1B DACAB D C圖 2..17． （本小題共 14 分）如圖，在四棱錐 中，底面 為矩形，平面 平面 ， ， ，PABCD?BPCD?AB1C?2AB， 為 中點(diǎn)．2PCD?E（Ⅰ）求證： ； /平 面（Ⅱ）求二面角 的余弦值；APC?（Ⅲ）在棱 上是否存在點(diǎn) ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，說(shuō)明理由．MBAC?PMC18． （本小題共 13 分）已知函數(shù) ．ln())xaf??（Ⅰ）若 ,確定函數(shù) 的零點(diǎn)；1af（Ⅱ）若 ，證明：函數(shù) 是 上的減函數(shù)；()x0,)??（Ⅲ）若曲線 在點(diǎn) 處的切線與直線 平行，求 的值.()yfx?1,f 0xy??aB A D C E P ..19． （本小題共 14 分）已知橢圓 離心率等于 ， 、 是橢圓上的兩點(diǎn).2:1(0)xyCab???12(,3)P(2,)Q?（Ⅰ）求橢圓 的方程；（Ⅱ） 是橢圓上位于直線 兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).當(dāng) 運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足 ，試問直線 的斜率是否,ABPQ,ABABP??AB為定值？如果為定值，請(qǐng)求出此定值；如果不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.20． （本小題共 13 分）如果 項(xiàng)有窮數(shù)列 滿足 ， ，…， ，即 ，則稱有窮數(shù)列n{}na1n?21na?1na?1(,2)inian????為 “對(duì)稱數(shù)列”.例如，由組合數(shù)組成的數(shù)列 就是“對(duì)稱數(shù)列”.{}a 0,,C??(Ⅰ)設(shè)數(shù)列 是項(xiàng)數(shù)為 7 的“對(duì)稱數(shù)列” ，其中 成等比數(shù)列，且 .依次寫出數(shù)列 的nb1234b253,b{}nb每一項(xiàng)；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列 是項(xiàng)數(shù)為 （ 且 ）的“對(duì)稱數(shù)列” ，且滿足 ，記 為數(shù)列{}nc21k?*N?k?1nc???nS的前 項(xiàng)和；n(ⅰ)若 是單調(diào)遞增數(shù)列，且 .當(dāng) 為何值時(shí)， 取得最大值？12,kc? 207kc?k21kS?（ⅱ）若 ，且 ，求 的最小值.08?218kS?..數(shù)學(xué)試題答案一、選擇題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A A D B A C B D二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分．(第 14 題第一空 3 分，(3,2,1,4), (2,3,1,4) (3,1,2,4) (3,1,4,2) (4,1,3,2) (2,1,4,3)任選一個(gè)即可，第二空 2 分)三、解答題共 6 小題，共 80 分．15． （本小題共 13 分）解：（Ⅰ）設(shè) ， ，BAD???C?則 ，…………2 分1tan21tan3A?所以…………5 分t()t????因?yàn)?，0,????所以 ，4??即 ． …………7 分BAC?（Ⅱ）過(guò)點(diǎn) 作 交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ，H?BCH因?yàn)?，23D??所以 ，AC所以 ； …………11 分sin3H??所以 ． …………13 分1522ABCS??16． （本小題共 13 分）題號(hào) 9 10 11 12 13 14答案 abc?13??3,62?1(3,2,1,4); 6AB D C H..解：（Ⅰ）甲乙兩人用車時(shí)間超過(guò) 2 小時(shí)的概率分別為： ，…………1 分14甲乙兩人所付車費(fèi)用相同的概率 ………4 分2p???516??（Ⅱ）隨機(jī)變量 ξ 的所有取值為 . …………5 分0,134??10248???P?516???124P???4?3?316?…………10 分??14P???的分布列為: ?0 1 2 3 4P18565161616…………11 分?jǐn)?shù)學(xué)期望 . ………13 分1502861E??????31746??17． （本小題共 14 分）解：（Ⅰ）證明：設(shè) 與 的交點(diǎn)為 ，連接 .ACBDFE因?yàn)?為矩形，所以 為 的中點(diǎn)，B在 中，由已知 為 中點(diǎn)，P?EP所以 ， ……………2 分/F又 平面 ， 平面 ， ……………3 分E?DC?B所以 平面 . ……………4 分/B（Ⅱ）解：取 中點(diǎn) ，連接 . OP因?yàn)?是等腰三角形， 為 的中點(diǎn)，P?..所以 ，POCD?又因?yàn)槠矫?平面 ，AB因?yàn)?平面 ， ，?PC?所以 平面 ． ……………5 分取 中點(diǎn) ，連接 ，ABGO由題設(shè)知四邊形 為矩形，D所以 ，F(xiàn)C?所以 ．　P如圖建立空間直角坐標(biāo)系 ，則 ， ，Oxyz?(1,0)A(,1)C， ， ， ， .(0,1)(,0)D(,)BG， . ……………6 分,2AC??ur,P?ur設(shè)平面 的法向量為 ，()nxyz則 即0,nP??????ru0,.yz????令 ，則 ， ，1z2x所以 . (2,)nr平面 的法向量為 ，PCD(1,0)OG?ur設(shè) ， 的夾角為 ，所以 . ……………9 分nr?6cos3由圖可知二面角 為銳角，A?所以二面角 的余弦值為 . ……………10 分PCB63（Ⅲ）設(shè) 是棱 上一點(diǎn)，則存在 使得 ．M??0,1??PMC??ur因此點(diǎn) ， ， ． ……12 分(0,1)??(,)??ur (,20)A?由 ，即 ．BAC??ur2因?yàn)?，所以在棱 上存在點(diǎn) ，使得 ，??,2?PCBC?此時(shí) ． ……………14 分1PM?A xD CEPyzOBMFG..18． （本小題共 13 分）解：（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)，則…… 1 分1a?ln(1))xf??定義域是 ，令……………2 分(,)??ln(0x是所求函數(shù)的零點(diǎn). ……………3 分ln10,2x??（Ⅱ）當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 的定義域是 ， ………4 分a()fx(1,0)(,)????所以 ，…………5 分2ln1'()xf??令 ，只需證： 時(shí)， ． ……………6 分l()g?0x?()0gx?又 ，221'()(1)xx???故 在 上為減函數(shù)， …………… 7 分g0,)?所以 ， …………… 8 分(ln0x???所以 ，函數(shù) 是 上的減函數(shù)． ……………9 分')f()fx,)?（Ⅲ）由題意知， ，且 ， ………… 10 分1'()|xf? 2ln()'()xaf??所以 ，即有 ， ……………11 分'(1)lnfa??l(1)0a令 ， ，則 ，l()at 1?2')(ta???故 是 上的增函數(shù)，又 ，因此 是 的唯一零點(diǎn)，()t,1??(0t?0)t即方程 有唯一實(shí)根 ，所以 ． ……………13 分ln()a19． （本小題共 14 分）解：（Ⅰ）因?yàn)?，又 ，12cea?22bc??所以 ………2 分24,3b設(shè)橢圓方程為 ,代入 ,得 ……4 分21xyc??()224,16,cab??橢圓方程為…………5 分26（Ⅱ）當(dāng) 時(shí)， 斜率之和為 …………6 分APQB??,PA0..設(shè) 斜率為 ，則 斜率為 …………7 分PAkPBk?設(shè) 方程為 ，與橢圓聯(lián)立得3(2)yx??23()48ykx??????代入化簡(jiǎn)得： 248)(91)0kkx??，(2,3)P12()3x?同理 ， ，2284k?21634kx??122483kx???1212()ABykx???即直線 的斜率為定值 . …………14 分20． （本小題共 13 分）解:(Ⅰ) 因?yàn)閿?shù)列 是項(xiàng)數(shù)為 7 的“對(duì)稱數(shù)列” ，所以 ……………1 分{}nb531b?又因?yàn)?成等比數(shù)列，其公比 ，1234, 32q所以數(shù)列 的 7 項(xiàng)依次為：9，3，1， ，1，3，9 . ……………3 分{}nb（Ⅱ）(ⅰ)由 是單調(diào)遞增數(shù)列且數(shù)列 是“對(duì)稱數(shù)列”且滿足 可知 是公差為12,kc? {}nc12nc???12,kc?2 的等差數(shù)列， 是公差為 的等差數(shù)列 …5 分21??212kkScc???121()kk??([07]07??…………7 分2436k?所以當(dāng) 時(shí)， 取得最大值. ……8 分19?21kS?（ⅱ）因?yàn)?即 .1nc??1nc??所以 即 .2??2?于是 ………10 分114()kkccck???..因?yàn)閿?shù)列 是“對(duì)稱數(shù)列”{}nc所以 21221kkSc?????21()kcc???? 1(2)(2)1()kck???40因?yàn)?即 解得 或218k?24008k?k09所以 …………12 分9?當(dāng) 是公差為 的等差數(shù)列時(shí)滿足 ，且 ，12,kc? 12c?218kS??此時(shí) ，所以 的最小值為 . ………13 分0?09【注：若有其它解法，請(qǐng)酌情給分】