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上海交通大學(xué) 概率論第一 二章測(cè)驗(yàn)題 大學(xué)數(shù)學(xué)教研室 童品苗 1 設(shè)袋中有50個(gè)乒乓球 其中20個(gè)是黃球 30個(gè)是白球 今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球 取后不放回 則第二人取得黃球的概率是 2 甲 乙兩人獨(dú)立地向一目標(biāo)各射擊 一次 其命中的概率分別為0 6和0 5 現(xiàn)已知目標(biāo)被射中 則它是被甲射中 的概率為 一 填空題 3 一袋中有N個(gè)球 其中一個(gè)是白球 其余全是黑球 現(xiàn)在每次從袋中取出 一個(gè)球 并放回一個(gè)黑球 這樣繼續(xù) 下去 則第k次取到黑球的概率為 4 隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立 若 且 則概率 5 已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為 則當(dāng)a 時(shí) 有 6 已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為 若隨機(jī)變量Y表示對(duì) 次數(shù) 則 7 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 若已知 則 8 設(shè)隨機(jī)變量X的絕對(duì)值不大于1 且 則概率 分布 分布 若 則 10 一實(shí)習(xí)生用同一臺(tái)機(jī)器接連獨(dú)立地制 若第i個(gè)零件是不合 格品的概率為 表示3個(gè)零件中合格品的個(gè)數(shù) 以X 則 造了3個(gè)相同的零件 二 選擇題 1 將一枚硬幣獨(dú)立地?cái)S兩次 引進(jìn)事 件 則事件 2 設(shè)隨機(jī)事件A與B互不相容 且 則下列結(jié)論中 一定成立的是 3 當(dāng)隨機(jī)事件A與B同時(shí)發(fā)生時(shí) 事件C 發(fā)生 則下列各式中正確的是 4 設(shè)隨機(jī)事件A B C兩兩獨(dú)立 則A B C相互獨(dú)立的充分必要條件是 5 設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品 從中 任取二件 若所取二件中有一件是不合格 品 則另一件也是不合格品的概率為 且 為X的分布函數(shù) 則 對(duì)于任意實(shí)數(shù) 7 設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布 則隨機(jī) 8 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布 對(duì)給定的 滿足 若 且 則概率 9 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f x 對(duì)于任意實(shí)數(shù) 有 分布函數(shù)為F x 三 計(jì)算題 1 設(shè)10件產(chǎn)品中有5件一級(jí)品 3件二級(jí) 品 2件次品 無(wú)放回地抽取 每次取 品的概率 一件 求在取得二 級(jí)品之前 取得一級(jí) 2 已知甲 乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品 其 中甲箱中裝有3件合格品和3件次品 乙 箱中僅裝有3件合格 從甲箱中任取3件 產(chǎn)品放入乙箱后 試求 1 求乙箱中次品件數(shù)X的概率分布 2 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率 3 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 是X的分布函數(shù) 求隨機(jī)變量 的分布函數(shù) 4 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 對(duì)X獨(dú)立地重復(fù)觀察4次 用Y表示觀察 求Y的分布列 四 證明題 設(shè)隨機(jī)事件 且 不超過(guò) 解答 一 填空題 在古典概率中 第k次抽取 1 解 的概率與k無(wú)關(guān) 故從袋中取得黃球的 概率為 2 解 因目標(biāo)被射中 即表示至少 被甲射中的概率為 有一人射中了目標(biāo) 這時(shí)其概率為 3 解 第k次摸到白球的有利事件數(shù)為 若第k次摸到白球 則前k 1次都摸到了 黑球 只考慮前k次摸球 則樣本點(diǎn)總數(shù) 為 于是所求的概率為 代入前式得 4 解 聯(lián)立可解得 即 可解得 于是 5 解 6 解 因?yàn)?于是 即 因此 7 解 可得 由 于是 8 解 9 解 可得 于是 10 解 于是 則 1 解 由題設(shè)條件可知 試驗(yàn)的樣本 因此 二 選擇題 空間為 或 兩兩相互獨(dú)立 因此 但 故應(yīng)選 C 由此可得 2 解 由于 但 故 從而 故選 C 3 解 由條件知 故有 于是 即 故應(yīng)選 B 4 解 故有 則有 若 由此可見(jiàn) 則可推得 相互獨(dú)立 只要 反之顯然成立 故應(yīng)選 A 5 解 所取二件產(chǎn)品中已知有一件是次 品的事件 相當(dāng)于 所取二件產(chǎn)品至少有 一件是次品的事件 則其樣本點(diǎn)數(shù)為 已知一件是次品 則另一件也是次品的事 件 相當(dāng)于二件都是次品 故樣本點(diǎn)為 于是所求概率為 故應(yīng)選 B 6 解 故應(yīng)選 B 可得 由 因此 從而 7 解 分布函數(shù) 由于X服從指數(shù)分布 因此 其分布函數(shù)為 對(duì)于隨機(jī)變量 從而有 故應(yīng)選 D 點(diǎn)x 2處間斷 這是因?yàn)?即 所以x 2為間斷點(diǎn) 而 故應(yīng)選 C 由題設(shè)條件可知 可知 因此 由 如右圖所示 8 解 故應(yīng)選 B 因?yàn)閄是連續(xù)型隨機(jī)變量 故取 任何定值的概率均等于零 即 由正態(tài)分布的 10 解 對(duì)稱性可知 可立即推得 當(dāng) 故應(yīng)選 B 9 解 三 計(jì)算題 設(shè)A表示在取得二級(jí)品之前取得 級(jí)品 取得一級(jí)品 因此 1 解 一級(jí)品的事件 表示第一次取得次品第二次取得 一級(jí)品 為第一 二次取得次品第三次 隨機(jī)變量的可 由題設(shè)條件可知 2 能取值為 0 1 2 3 為 即 則 設(shè) 2 1 解 對(duì)于 易見(jiàn) 對(duì)于 有 因此 分布函數(shù)為 的分布函數(shù) 則 3 解 因此 有 由于 因此 即分布列為 4 解 由已知條件可得 因此有 從而證明了x的值不超過(guò) 四 證明題 即 謝謝大家 測(cè)驗(yàn)結(jié)束 下節(jié)課再見(jiàn) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教師劉志華